浅谈如何在培智生活数学教学中应用教具

■内蒙古自治区呼和浩特市特殊教育学校 闫翌勃

在特殊教育学校进行生活数学教学工作时，我们常发现培智学生难以计算。在教学中，教师无奈反复教导培智学生背诵记忆算式，却效率极低。如何改变这一现象，减轻教师工作压力，帮助培智学生掌握基本的计算能力、融入正常社会生活，是特教教师面临的难题。

一、现象背后的原因

产生上述现象的根源并不在于计算本身，而是培智学生没有数前概念及无法建立数量对应关系。不理解什么是“数”，就不能处理数与数之间相互作用的关系，也就是计算，因此造成短板效应。

二、解决方法及理论依据

要补齐这一短板，则需帮助培智学生从具体事物抽象出数的概念。通过模拟数学起源时代生产生活环境的教学情景，利用教具进行实物教学，并逐渐过渡到使用抽象的语言文字，是一种有效手段。

我目前所采用的教案中，用模拟数学文物的教具构建与数学起源时期类似的教学环境，引导培智学生与之互动，以建立数量对应，这是一个关键步骤。

关于计算的数学文物类型大致分为实物计数型和刻痕计数型两类。实物计数类，如“结绳记事”、算筹、算珠等，这一类文物在同一文明中的起源较早，最终演化为类似算盘等计算工具，或棋类游戏（如围棋）；出现较晚的刻痕计数类，如出土于刚果民主共和国的“伊尚戈骨头”、出土于我国河南许昌的赭石涂染刻痕骨片，以及著名的“河图”“洛书”等，这一类文物发展形成了牌类游戏（如各类骨牌、纸牌等），并且继续发展出更丰富的刻画符号最终进化为文字。

因此，我们在生活数学教学过程中也应遵循这一历史规律，在低年级段启蒙时期采用实物计数类教具，逐步过渡到刻痕计数类教具或更进一步使用文字符号类教具。在数量对应教学中，我让学生从不同的事物中抽象出其共同数的概念，再通过语言和书写训练将数字用语言表达出来或以文字书写记录下来。

三、在课程中的实施方法

（一）十以内加法（不进位加法）教学

十以内加法以5+3 为例。选择一个棋路作为个位在上方放置竖式题卡，先放置5 颗黑子代表上方加数，再放置3颗白子代表下方加数，最后通过点数棋子得到总数8作为和。

进行计算先要把数字转换成它所代表的量（如棋子），再通过操作进行计算。例如：计算两数加法时，人脑所要做的就是把两个加数转化为对应的量分别用黑白棋子表示，不考虑颜色区分两个量就自然转化为一个量，我只需把棋子代表的量转化为数字就是和。

在这一过程中，实际上我们并没有做什么，只是进行了“数—量—数”的转化过程，相加本身是自然规律替我们完成的，智力正常者这一过程完全是在意识中进行的。但培智学生则需要教具加以辅助，也就是由数转量再由量转数过程中以实物教具充当媒介。数与量之间的转化是通过点数这项技能完成的，因此我们在生活数学教学过程中必须重视点数技能的训练与应用。

（二）十以内减法（不退位减法）教学

十以内减法以上题的验算8-3为例。选择一个棋路作为个位在上方放置竖式题卡，按从上到下顺序先放置8颗棋子代表被减数，取走3颗棋子放入棋盒代表减数，最后通过点数棋盘剩下棋子还剩5颗作为差。

远古人类在处理原有物品数量和消耗数量的关系时形成了减法运算。与加法不同，加法运算的加数与和从本质上讲都是正数，但假设减法的被减数与差是正数，则减数为负数就是消耗的量。我们在计算时需要把被减数转换为对应的正量（如上题的全部棋子），再把减数转换为负量（放入棋盒的棋子），棋盘上剩下的就是差（也是正数）。要时刻记住在这一过程中，棋盘上的棋子代表正数，收回棋盒中的棋子代表负数。

正负数概念是远古人类在生产劳动过程中对应产出与消耗形成的，代表了人类对自然界更加深入的了解。我国传统哲学中的阴阳学说正是基于这一数学概念而产生的，其实验算与计算的关系就互为阴阳，验算在我们的计算教学中是必须强调的。这样做在提高计算正确率的同时，也能使学生建立动态的数学观念。

（三）十以上加法（进位加法）教学

以25+7为例，在教学中我们如下进行。选一个棋路为个位，则其左侧棋路依次为十位、百位、千位……依据读题顺序先用黑子十位2子、个位5子表示上方加数25，再用白子在个位放7子代表下方加数7。

此时，个位上5 下7 超过（或达到）10 子，取走上面10子，换来在十位添加一子参加十位运算。按照从低位到高位顺序，此时个位有2 子，十位上2 下1共3子，所以25+7=32。相比不进位加法，多了“满十进一”步骤。

十进制计数制的产生是基于我们与生俱来的计算工具——手指。正是因为正常情况下人类都有十根手指，所以我们在用手指进行计算时无法表示10以上的数，这正是十进制产生的原因。基于十进制产生了数位的概念，使我们能够计算更大的数字。

（四）十以上减法（退位减法）教学

我们以上题的验算32-7 为例。用黑子在十位摆放3子，个位摆放2子代表被减数32。个位2-7不够，从十位取走一子换个位10颗白子。现在个位有12 子，从中拿走7 子放入棋盒。则现在个位5 子，十位2子，32-7=25。

基于“满十进一”“借一补十”操作，该方法可以计算任意多位数加减法。只需将多位数计算分解为逐位加减，则每个数位的加减计算只与其相邻的数位相关，实际上就是多次进行一位数或两位数加减。

（五）表内乘法教学

表内乘法教学中，我常采用两种教具，蒙台梭利乘法板和《清华简算表》。蒙台梭利乘法板利用二维点阵方法推导乘法口诀。而在日常教学中我常使用围棋来替代乘法板以简化教具。例如：3×7的计算。

每行放置3颗棋子，摆放7行（或每行7颗，摆放3行），通过点数得到共21子。推导得到口诀：三七二十一，因此3×7=21。通过该方法推导得到乘法口诀加深印象，有助于学生对乘法口诀的记忆与理解，可以避免单纯靠背诵口诀而出现的反复忘记。虽然在教学早期进度较慢，但会给学生打下更扎实的基础。

当使用蒙台梭利乘法板推导乘法口诀打下一定基础之后，可以采用《清华简算表》进行教学。我们把《清华简算表》中关于表内乘法部分内容制作成10根“竹简”。其中：每根“竹简”对应从1×1=1、……1×9=9、2×1=2、……2×9=18……到9×1=9、……9×9=81等九条乘法口诀。拉直纵横两条红绳套则相交处为红蓝两数乘积。《清华简算表》属于文字符号类教具，所表达的数理关系更为抽象概括，可以更快速查找乘法口诀，进行验算。但必须强调一点，文字符号类教具必须是在熟练掌握实物计数类教具基础上才能使用。

（六）表内除法教学

我在教学中常使用围棋模拟蒙氏除法板进行教学。以有余除法19÷5为例。

点数19颗黑子做被除数，点数5颗白子做除数。将白子放在棋盘上方，黑子依次放在白子下方。摆满3行则商为3，还剩4子则余数为4。因此19÷5=3……4。

除法计算一直以来是生活数学教学中的难点。其原因是学生并没能理解除法运算的过程。除法并不只是乘法的逆运算，而是和减法有密切关系，尤其是有余除法中更加明显。如上题中19÷5计算过程就是从19中连续减5（除数）可以减3（商）次还剩4（余数）。正如乘法是多个相同加数相加的简便运算，除法可以理解为从一个较大被减数（被除数）中减去一个减数（除数）可以减几次（商），还剩几（余数）的运算。

基于以上计算手段的组合，我们可以利用围棋或类似功能的教具计算任意整数、小数范围内四则运算。这将在另外的文章中予以说明。

综上，教具在数学课程中的作用极其重要。其作用主要在于辅助学生把抽象的数理概念转化为具体事物，再通过操作教具进行计算，并在这一过程中学习数学。而这一过程正是远古人类在从事劳动生产活动过程中发展出数学学科的漫长过程的缩影。通过用模拟数学文物的教具为学生搭建解决对应数学问题的教学环境，并引导学生在与环境互动过程中学习数学知识，这一方法既符合恩格斯对人类进化史的论证，又符合蒙台梭利教育学原理，能够为培智学生学习生活数学与教师的教学工作带来帮助。