闭区间上连续函数性质的推广

陈亦佳，李志成

（玉溪师范学院 数学与信息技术学院，云南 玉溪 653100）

0 引 言

实数的连续性和闭区间的紧致性，使闭区间上的连续函数具有许多丰富性质，例如有界性、最值性、介值性及一致连续性.开区间和半开区间是非紧致的，其上的连续函数就未必具有上述性质.本文主要在闭区间连续函数的性质的基础上，把紧致的闭区间推广到非紧致的开区间、半开区间和无限区间.另一方面，实变函数是数学分析的继续、深化和推广，基于实变函数，我们可以进一步把区间推广到可测集，把连续函数推广到可测函数，得到在可测集上可测函数的性质.基于上述分析，本文得到了几个不同形式的闭区间连续函数性质的推广，并分别给出了他们的证明，使闭区间连续函数的性质得到了丰富.下面介绍本文所涉及的定理和引理：

有界性定理[1]若函数f(x) 在闭区间[a,b] 连续，则函数f(x) 在闭区间[a,b] 上有界，即，有

最值性定理[1]若函数f(x) 在闭区间[a,b] 连续，则函数f(x) 在闭区间[a,b] 能取到最小值m和最大值M，即，使且，有

定义1[2]设E是一个实数子集.若对任何实数子集A有

则E称为Lebesgue 可测集，或简称可测集.

定义2[2]设函数f的定义域是可测集D.若对任何实数α，集合

是可测集，则称f是D上的可测函数.

定义3[2]设是Rn中一族开集.如果，则{Gλ}称为E的一个开覆盖.若E的任一开覆盖中存在有限个开集仍构成E的一个开覆盖，则E称为紧集.

引理1[2]设f在可测集D上可测，则存在D上的简单函数列，使对每一收敛于f(x) .此外：

（i）当f非负时，对每一单增收敛于f(x) ，

（ii）当f有界时，在D上一致收敛于f(x) .

引理2[2]设F是一个紧集，是一列沿F连续的函数.若在F上一致收敛于f，则f也沿F连续.

引理3[2]设f是可测函数D上的简单函数.则对任何ε＞0 ，有沿D连续的函数f*使

Egoroff 定理[2]设f和都是测度有限的集D上的几乎处处有限的可测函数.若fn在D上几乎处处收敛于f，则对任何ε＞0 ，有D的闭子集F，使，并且fn在F上一致收敛于f.

1 闭区间连续函数性质推广到开区间及无限区间

定理1函数f(x) 在开区间(a,b) 上连续，且，则函数f(x)在开区间(a,b)上有界.

证明由于，则由局部有界性，或，有

又由于f(x) 在上连续，由有界性定理可知，，有

定理2设函数f(x) 在区间( -∞,b) 上连续，且，则f(x)在区间( -∞,b)上有界.

证明由于，则由局部有界性，∃M1＞0 ，∃δ＞0 ，对于，有

类似可证：

推论1函数f(x) 在区间(a, +∞) 上连续，且则函数f(x)在区间(a, +∞)上有界.

推论2函数f(x) 在区间( -∞, +∞) 上连续且则函数f(x)在区间( -∞, +∞)上有界.

定理3设函数f(x) 在开区间(a,b) 上连续，且则

证明（1）将函数f(x) 在闭区间[a,b] 上作连续开拓，令

则F(x) 是[a,b] 上的连续函数，从而F(x) 在[a,b] 上可取得最大值.不妨设最大值为，由已知条件可知，

则f(x) 在(a,b) 内的1x处取到最大值.

（2）另一方面，由于F(x) 是[a,b] 上的连续函数，所以F(x) 在[a,b] 上可取得最小值.不妨设最小值为F(x2)，.由已知条件可知，

则f(x) 在(a,b) 内的2x处取到最小值.

定理4函数f(x) 在无穷区间( -∞,b) 上连续，且则

证明（1）由则对于，∃X＞0 ，当x＜-X时，有

将函数f(x) 在[ -X,b]上作连续开拓，令

由于F(x)在[ -X,b]连续，则F(x)在[ -X,b]存在最大值M.

若f(ξ1)＜M，则

若f(ξ1)=M，则

将函数f(x) 在[ -X,b]上作连续开拓，令

由于F(x)在[ -X,b]连续，则F(x)在[ -X,b]存在最小值m.

若f(ξ2)＞m，则

若f(ξ2)=m，则

类似可证：

推论3若函数f(x) 在无穷区间(a, +∞)上连续，并则

推论4若函数f(x) 在无穷区间( -∞, +∞)上连续，且为有限值），则

2 闭区间连续函数性质推广到可测集上的可测函数

定理5设f是可测集D上几乎处处有限的可测函数，则对任何ε＞0 ，有沿D连续的函数f* ，使并且

证明不失一般性设f在D上处处有限.先设是有界可测集，由引理4，有D上的简单函数列使得

现对每一n≥1 ，由引理6，存在沿D连续的函数使得

令

则

再由引理5，f沿F连续.构造函数f* ，由于是开集，其中开区间族两两不相交.定义

则显然f作为F上的函数可以开拓成沿D的连续函数f* ，且

此时

从而

和

对一般的D⊂R，此时对每一整数n，令

则Dn都是有界的.从而由上段证明，对每一n，存在Dn的闭子集Fn，使f沿Fn连续，并且

则f作为F上的函数可以开拓成D上的连续函数f* ，使

并且

从而

和

类似可证：

推论5若f是[a,b] 上几乎处处有限的可测函数，则对任何ε＞0 ，有[a,b] 上连续函数f* ，使并且

3 结 论

对连续函数性质的研究是数学分析最基本、最核心的知识点之一，因此这个课题研究一直都很热门，也很有意义.本文在前人的研究基础上，探讨把闭区间上连续函数的性质推广到开区间或无穷区间.实变函数是数学分析的继续、深化和推广，本文又基于实变函数理论.利用Lebesgue 测度理论，把连续函数推广到可测函数，把区间推广到可测集.并得到几个不同形式的推广，并进行严格证明，使闭区间连续函数的性质得到推广，使之应用更为广泛.