高考中静电场图像问题的归类与求解策略

赵发虎

(新疆乌苏市第一中学)

静电场不仅仅是高中物理教材中的重要章节,也是高考的高频考点。特别是静电场图像问题,更是对学生理解、推理、分析综合等能力的考查。静电场的图像问题考查内容包括学生对坐标轴、截距、斜率以及面积等物理意义的理解,也就是对静电场中电场、电场力、电势、电势差、电势能等物理概念深入理解。能体现学生对运动学、牛顿运动定律、功能关系、动能定律、能量守恒定律的应用能力和推理能力。

一、微元思维

y=f(x)是一个连续函数,Δy=f(x+Δx)-f(x)=f′(x)Δx+(Δx)2。O(Δx)是比Δx高阶的无穷小,当Δx→0,O(Δx)=0,即Δy=f′(x)Δx,即为dy=f′(x)dx。举例说明,函数y=x2,其Δy=(x+Δx)2-x2,Δy=2xΔx+(Δx)2与f′(x)Δx+(Δx)2相比较,f′(x)=2x,O(Δx)=(Δx)2。

图1

二、静电场图像的斜率或面积的物理含义

按照静电场的空间、时间、运动、电场、电场力、电势、电势能等概念,笔者把图像进行归类,通过函数形式,得出以下表格结论。表格中x表示两点沿电场线方向的距离,F表示电场力。

vt图像Ex图像Φx图像Epx图像斜率α=ΔvΔt无意义E=ΔΦΔxF=ΔEpΔx面积x=v·ΔtU=|E·Δx|无意义无意义

三、静电场中图像问题的归类与求解策略

1 y-x图像

1.1 定性判断

【例1】五个带电粒子分别是氕核、氘核、氚核、α粒子、电子。它们依次先后以相同的速度从坐标原点沿x轴正方向射入一匀强电场中,电场方向与y轴平行,不计重力,粒子运动轨迹如图2所示,五种粒子的轨迹分别是

图2

( )

A.②③④③① B.④③②③①

C.①③②③④ D.④②③②①

1.2 定量计算

【例2】在xOy平面内,存在一个沿y轴负方向的匀强电场(图中未画出),由A点以初速度v0沿x正方向射出一质量为m,带电荷量为+q的粒子,运动轨迹如图3所示,B和C是粒子运动轨迹与坐标轴的交点,其中d为常数,粒子所受重力忽略不计,求:

图3

(1)A点的坐标;

(2)匀强电场的电场强度大小;

(3)粒子分别在B、C两点的速度。

求解策略,紧抓两条主线。

主线一:电场力的性质。电场线方向、疏密→电场强度方向、大小→(电荷仅受电场力时)加速度大小、方向。

主线二:电场能的性质。电荷受到电场力做正功,电荷的电势能减小,反之增大;正电荷(电荷的电荷量不变)的电势能与电势变化相同,反之相反。

2 v-t图像

2.1 定性判断

【例3】在一个静电场中,一带正电的粒子从A点由静止释放,恰能沿AC线段做往复运动。粒子从A运动到C过程中的v-t图像如图4所示。B是AC的中点。A、B、C的场强大小分别为EA、EB,EC。设A、B、C的电势分别为φA、φB、φC,粒子在A、B、C的电势能分别为EpA、EpB、EpC,不计重力,则有

图4

( )

A.EA>EBB.EpA>EpB

C.φB>φCD.UAB=UBC

2.2 定量计算

【例4】如图5甲所示,直线是空间中一条电场线,A、B、C是直线上的三个点,一个带负电粒子从A点由静止释放,从A运动到C过程中的v-t图像如图5所示。已知B点的斜率最大,A点电势为零,粒子比荷是108C/kg,粒子重力忽略不计。下列说法正确的是

乙

( )

甲

A.B位置的场强E=2×10-4N/C

B.B、C位置的电势分别4 V和7 V

C.A、B、C位置之间电势差UAB=8 V、UBC=16.5 V

D.若粒子的质量已知,则可以计算出粒子在A、B、C点处的电势能

求解策略:

(1)v-t图像的斜率→加速度大小、方向→电场强度的大小、方向。

(1)速度大小变化→电场力是动力或者阻力→电场力做功情况→电荷的电势能变化。

(2)动能变化→电荷电势能变化→位置的电势变化。

3 E-t图像

【例5】两块面积和间距均足够大的金属板水平放置,如图6甲所示,金属板与可调电源相连形成电场,规定沿y轴正方向的电场强度为正。电场强度随时间的变化规律如图6乙所示。板间O点放置一粒子源。沿x轴正方向发射初速度为v0的粒子。粒子的质量为m、电荷量为+q、粒子重力不计,图中物理量均为已知量。求:

甲

(1)零时刻释放的粒子在t=0.5T的速度大小;

(2)零时刻释放的粒子在t=2T时刻的坐标;

图7

求解策略:

(1)电荷的正负→电场力的方向→电场力做功情况→电荷的运动性质。

(2)电场的大小→电荷的加速度大小、方向。

(3)电荷的运动性质,画出v-t图像,解决相应问题。

4 E-x图像

4.1 定性判断

【例6】(原创)电场中有一条电场线与x轴重合,x轴上各点的电场强度E与位置x的关系如图8所示,x轴正方向为电场强度正方向,带正电粒子沿x轴运动,不计粒子重力。则下列说法正确的是

图8

( )

A.x2和x4处电势相等

B.粒子在x3位置的电势能最大

C.粒子由x1运动到x4的过程中做加速度先增大后减小的加速运动

D.粒子由x2运动到x3的过程中电场力做功大于由x3运动到x4的过程

4.2 定量计算

【例7】电场中有一条电场线与x轴重合,x轴上各点的电场强度与位置的关系如图9所示,图中物理量已知。带电粒子质量为m,电荷量为+q,从O点沿x轴正方向运动,OA=AB=BC=d。已知O点电势为零,粒子重力不计,规定电场强度正方向是x轴正方向。则下列结论正确的是

图9

( )

A.粒子在B点时电势为零

B.OA、AB、BC之间电势差之比为2∶1∶1

C.A、B、C位置的电势之比为2∶3∶2

D.粒子在A、B、C三点的电势能之比为2∶3∶4

【解析】OB段电场为正,场强方向沿x轴正方向,沿电场线方向,电势降低,故B点电势小于零,A选项错误;BC段电场为负,方向沿x轴负方向,电势升高,E-x图线与x轴所围图形面积表示电势差,UOA=E0d,UAB=0.5E0d,UBC=-0.5E0d,OA、AB、BC之间电势差之比2∶1∶-1,B选项错误;UOA=φO-φA,A点电势-E0d,同理,B点电势-1.5E0d,C点电势-E0d,C选项正确;Ep=qφ,粒子电荷量为正,粒子电势能与电势成正比,粒子在A、B、C位置的电势能为之比2∶3∶2,D选项错误。

求解策略:

(1)E>0,电场强度方向与规定的方向相同;E<0,电场强度方向与规定的方向相反。

(2)根据图像可以判断电场强度大小变化规律

(3)E-x图像与x轴所围成的面积,反映两点间电势差。

(4)动能定理,若电荷仅受到电场力,电场力做功等于动能变化量,与图像和x轴围成面积有关。

5 φ-x图像

5.1 定性判断

【例8】在x轴上有两个点电荷,其静电场的电势φ在x轴上分布如图10所示。下列说法正确的有

图10

( )

A.两个点电荷带同种电荷

B.试探电荷在B点电势能最大

C.从O到C,电场强度先增大后减小,B点场强最大

D.带负电的粒子从A运动到C的过程中,受到的电场力先做正功后做负功

5.2 定量计算

【例9】空间中存在两个等量的点电荷,以它们连线为x轴。图11是其静电场的电势φ在x轴上分布,有一个电子沿x轴正方向运动,依次通过A、B、C、D四点。下列说法正确

( )

A.A、B两点的电场强度之比是1∶9

B.B、C两点的电场强度之比是45∶32

C.A、C之间电势差是0.2 V

D.电子从C运动到D,电场力做功8×10-20J

求解策略:

(1)φ-x图像中电势的大小随位置变化,若已知电场在空间的分布,也可以判断电场强度的方向。

(2)φ-x图像的斜率表示该位置电场强度的大小。φ-x图像存在极值的时候,斜率为零,电场强度为零。

(3)从φ-x图像中电势的变化,判断电荷的电势能变化,分析电场力做功情况。

(4)若已知电荷的电荷量,通过两点间电势差,求解电场力做功。

6 Ep-x图像

【例10】(原创)在光滑的水平绝缘桌面上,存在一个与桌面平行的电场,一个绝缘带电小球,质量m,电荷量+q,将其从O点释放,恰好沿直线运动,先后经过桌面上A、B、C三点,如图12所示为小球电势能与位置关系,OA=AB=0.5BC。下列说法正确的是

图12

( )

A.小球在B点的动能是20 J

B.OB之间电势差等于CB之间电势差

C.小球运动到C点速度为零

D.小球从A运动C过程中,加速度先减小后增大

求解策略:

(1)Ep-x图像反映电势能的变化,W=-ΔEp判断电场力做功。

(2)若已知电荷的电性、电荷量,判断出电势随位置的变化。

(3)图像的斜率大小等于电场力的大小。斜率的正负也能反映电场力方向变化。