两等量点电荷产生的电场问题在高考试题中的创新设计及解答策略研究

路文柱 马秋石

(江苏省徐州市第三十六中学)

真空中两个等量点电荷产生的电场问题是近年高考的一个热点,在每年高考中均有涉及并不断创新变化,创新变化主要体现在从知识立意到能力立意,从一个点电荷产生的电场,到两个等量点电荷产生的电场相叠加,再不断创新到多个点电荷甚至是线状分布(带电的线段)、面状分布(带电的平面)及体状分布(带电的曲面或几何体)电荷电场的叠加,试题情境也从一维空间到二维空间再到三维空间,创新设计的意义在于科学设计试题情境,增强试题对“基础性、综合性、应用性、创新性”及独立思考和运用所学知识分析问题、解决问题的能力考查;试题还充分体现大纲对物理观念、科学思维,科学探究等核心素养的要求。解答此类问题的策略是熟知等量点电荷电场模型的相关结论,根据试题情境,灵活构建物理模型,利用对称法、等效法、整体法等物理思想方法,结合电场强度和电势的决定式定性或半定量地分析解答。虽然每年的高考题都在不断创新,但万变不离其宗,追踪相关高考题的命题规律,挖掘命题者的命题意图及创新思路有利于高中物理的复习教学。

1 单个点电荷产生的电场模型及相关结论

2 两等量异种点电荷的电场模型及相关结论

(1)两等量异种点电荷的电场线疏密分布关于两点电荷连线及其连线的中垂线对称(如图1)。

图1

(2)两等量异种点电荷的连线是一条从正电荷指向负电荷的电场线,沿电场线方向电势一直减小;电场强度先变小再变大,连线中点处电场强度最小;两电荷连线的中垂线是一条电势为0的等势线(取无限远处电势为零),靠近正点电荷一侧,电势为正,靠近负点电荷一侧,电势为负(如图2)。

图2

(3)关于两点电荷连线对称的两点电势相同,电场强度相等(如图2);关于两点电荷连线的中垂线对称的两点电势相反,电场强度大小相等(平行连线分量相同,垂直连线分量相反);关于连线中点对称的两点电场强度相等,电势相反(如图3)。

图3

3 两等量同种点电荷的电场模型及相关结论

(1)两等量同种正点电荷的电场线疏密分布关于两点电荷连线及其连线的中垂线对称(如图4)。

图4

(2)沿两等量同种正点电荷连线从点电荷向连线中点,电势一直减小;电场强度也一直减小,中点处电场强度最小(为0);沿两电荷连线的中垂线,连线中点向无限远处电势一直减小,电场强度先增大后减小(如图5)。

图5

(3)关于两点电荷连线对称的两点电势相同,电场强度大小相等(平行连线分量相反,垂直连线分量相同);关于两点电荷连线的中垂线对称的两点电势相同,电场强度大小相等(平行连线分量相反,垂直连线分量相同)。关于连线中点对称的两点电场强度大小相等、方向相反,电势相同(如图6)。

图6

4 近年高考试题中的创新设计例析

近年相关高考试题以物理教材两等量点电荷电场线分布为母版,将一组或多组等量点电荷的电场进行组合,变换试题情景,或是只有一组点电荷(2020·7月浙江卷·8),或是多组点电荷成线状分布(2020·全国卷Ⅱ·20)、面状分布(2022·全国乙卷·19)、体状分布(2019·全国卷Ⅲ·21),或先线状再体状分布(2022·湖南卷·2)等。试题设计意图是为了体现对所考查知识的“基础性、综合性、应用性、创新性”要求,从能力立意出发,以甄别有“学力”的考生,起到选拔人才的目的和引导教学的导向作用。下面以近年高考试题为例分析、展望两等量点电荷电场的命题创新及趋势。

高考创新一:将两点电荷的电场线图变为等势线图,比较不同位置的场强、电势及电势能大小。

【例1】(2020·7月浙江卷·8)空间P、Q两点处固定电荷量绝对值相等的点电荷,其中Q点处为正电荷,P、Q两点附近电场的等势线分布如图7所示,a、b、c、d、e为电场中的5个点,设无穷远处电势为0,则

图7

( )

A.e点的电势大于0

B.a点和b点的电场强度相同

C.b点的电势低于d点的电势

D.负电荷从a点移动到c点时电势能增加

【答案】D

【点评】本题是一个最基本的等量异种点电荷模型,只是将教材上的电场线图变为等势线图,可利用点电荷场强和电势的决定式以及叠加原理快速解答。

高考创新二:变换两点电荷的试题情境,使其处于立体图上的两特殊位置,比较其他特殊位置的场强、电势及电势能大小。

【例2】(2019·全国卷Ⅲ·21)(多选)如图8,电荷量分别为q和-q(q>0)的点电荷固定在正方体的两个顶点上,a、b是正方体的另外两个顶点,则

图8

( )

A.a点和b点的电势相等

B.a点和b点的电场强度大小相等

C.a点和b点的电场强度方向相同

D.将负电荷从a点移到b点,电势能增加

【答案】BC

【点评】本试题情境是一个正方体的对角线上两点电荷产生的电场问题,表面上看是两等量异种电荷产生的电场在三维空间中的问题,对学生解题有一定干扰,无疑增加了学生心理压力,但仔细观察就会发现,其实还是关于两等量异种电荷连线中点对称点的问题,利用前述结论即可正确判断。

高考创新三:让两组或多组等量点电荷呈对称分布于平面或立体空间,比较一些对称点或特殊点的场强、电势近而判断两点间电场力做功正负及电势能大小。

【例3】(2022·全国乙卷·19)(多选)如图9,两对等量异号点电荷+q、-q(q>0)固定于正方形的4个顶点上。L、N是该正方形两条对角线与其内切圆的交点,O为内切圆的圆心,M为切点。则

图9

( )

A.L和N两点处的电场方向相互垂直

B.M点的电场方向平行于该点处的切线,方向向左

C.将一带正电的点电荷从M点移动到O点,电场力做正功

D.将一带正电的点电荷从L点移动到N点,电场力做功为零

【答案】AB

【点评】本题情境是分布在正方形四个顶点上的两组等量电荷,对角线上对称的两点以及一个边上的点跟正方形的几何中心的电场进行比较,物理情境设置较为新颖,一个题同时考查两组等量同种电荷或等量异种电荷电场的分布及叠加,对电场相关物理核心知识均做了深入考查,体现了以知识立意向能力立意的转变。本题对那些死记硬背,缺乏灵活应变及分析解决问题能力的同学是不友好的。要准确高效解答本题,不仅要掌握好点电荷电场强度和电势的概念及其计算公式等基本知识和基本技能,还要能灵活将几个点电荷分类及组合,熟知电场强度及电势叠加的运算法则。一道题对“理解能力” “推理能力” “分析综合能力” “应用数学处理物理问题的能力”均有考查,起到了服务选才、引导教学的导向作用。

高考创新四:让多组等量电荷呈对称的线状分布,比较空间一些对称点或相似点的场强、电势。

【例4】(2020·全国卷Ⅱ·20)(多选)如图10,竖直面内一绝缘细圆环的上、下半圆分别均匀分布着等量异种电荷。a、b为圆环水平直径上的两个点,c、d为竖直直径上的两个点,它们与圆心的距离均相等。则

图10

( )

A.a、b两点的场强相等

B.a、b两点的电势相等

C.c、d两点的场强相等

D.c、d两点的电势相等

【答案】ABC

【点评】本题创造性地将多组等量异种电荷分布在一竖直面内绝缘细圆环的上、下两个半圆上,使其呈线状分布,立意新颖,对物理观念以及物理思维和方法如等效法、对称法、整体法等均有考查,对学生能力要求较高。将点电荷分组并结合等量点电荷电场模型的结论可准确解答。

高考创新五:让多组等量电荷呈对称的线状分布,再组合为体状分布,求特殊点的场强、电势。

【例5】(2022·湖南卷·2)如图11,四根完全相同的均匀带正电绝缘长棒对称放置在长方体的四条长边a、b、c、d上。移去a处的绝缘棒,假定另外三根绝缘棒电荷分布不变。关于长方体几何中心O点处电场强度方向和电势的变化,下列说法正确的是

图11

( )

A.电场强度方向垂直指向a,电势减小

B.电场强度方向垂直指向c,电势减小

C.电场强度方向垂直指向a,电势增大

D.电场强度方向垂直指向c,电势增大

【答案】A

【点评】本题以四根完全相同的均匀带正电绝缘长棒对称放置在长方体的四条长边上,构成了三维空间的物理情境,且每根长棒所带电荷呈线状分布,由于学生只学过点电荷电场的电势和电场强度的计算公式,对线状分布的电荷感觉无从下手,显然只学会基本知识和基本技能是很难完成此题的解答。此题着重考查学生的物理观念和分析解决问题的能力。

5 今后高考试题中的创新设计思考

【自编创新变式题1】如图12所示,两等量同种点电荷+Q产生的电场中,A、O是两点电荷连线上的点且O为连线的中点,B、C是两点电荷连线的垂直平分线上关于O点对称的两点。将一个负点电荷在外力作用下先沿AB从A移到B,再沿BC从B移到C,则下列说法中正确的是

图12

( )

A.从A移到B,负点电荷的电势能一定减小

B.从B移到C的过程中负点电荷所受的静电力先做正功后做负功

C.负点电荷在A点所受静电力一定大于B点所受静电力

D.负点电荷从B移到O的过程中静电力一定先变大后变小

【解析】由前文结论可知A点电势高于O点电势,O点电势高于B点电势且为正值,即φA>φO>φB>0,由电势能公式Ep=qφ知,负点电荷从A移到B,其电势能一定增大,故A错误;负点电荷从B移到C的过程中所受静电力方向先由B指向O后由C指向O,故静电力先做正功后做负功,故B正确;根据题目所给条件,A、B两点的电场强度大小无法比较,故C错误;由于沿OB及OC所在射线方向电场强度先增大后减小,但电场强度最大的点与B、C点的位置无法确定,故D错误。

【答案】B

【创新意图】此题以两等量同号点电荷的电场为背景,考查它们连线及其连线的中垂线上相关物理量关系的判断。

【自编创新变式题2】正方形ABCD四个顶点上放置着电荷量相同的、电性如图13所示的点电荷,O为正方形两对角线的交点,M、N、P、Q分别为AO、BO、CO、DO的中点。取无穷远处电势为零,下列说法正确的是

图13

( )

A.M、N、P、Q四点的电场强度相同

B.M、N、P、Q四点的电势均为零

C.将一质子从M点沿MON移动到N点的过程中,电场力先做正功再做负功

D.将一电子从M点沿MOP移动到P点的过程中,其电势能先增加后减小

图14

【答案】D

【创新意图】此题以两组等量同号点电荷的电场为背景,考查它们连线及其连线的中垂线上相关物理量关系的判断。

【自编创新变式题3】(多选)如图15所示,横截面位于竖直面内的一半球面的上、下两半部分均匀分布着等量正负电荷。a、b为球面水平直径上的两个点,c、d为竖直直径上的两个点,它们与球心的距离均相等。则

图15

( )

A.a、b两点的电场强度大小相等,方向相同

B.c、d两点的电场强度大小相等,方向不相同

C.a、b两点的电势相等

D.c、d两点的电势相等

【解析】此电场可以看成是关于水平面对称的一对一对的上、下两等量异种点电荷的电场的叠加,a、b两点是每对电荷连线的中垂面上的点,场强叠加后大小不相等,方向相同;c、d两点场强大小相等、方向不同,故A错误,B正确;取无限远处电势为0,则每一对等量异种点电荷连线的中垂面是电势为0的等势面,故a、b两点的电势相等,c点的电势为正,d点的电势为负,故C正确,D错误。

【答案】BC

【创新意图】此题以半球面上面电荷分布的电场为背景,考查点电荷电场叠加后相关物理量的判断及学生综合分析问题的能力。