核心问题：催动高中生数学自主学习

谢友谊

［摘  要］ 核心问题是高中生数学学习的载体、媒介，对高中生的数学学习发挥着驱动、引导、监督、调节、促进等作用. 核心问题具有指向性、针对性、实效性等特性. 可在知识关联处、迁移处以及学生的思维障碍和难点处研发设计. 在高中数学教学过程中，教师要关注并应用核心问题以驱动学生数学思考、探究.

［关键词］ 高中数学；核心问题；自主学习

“问题”是数学的心脏，也是学生数学学习的“动力引擎”［1］. 问题不仅是学生数学学习的载体、媒介，也能给学生数学学习提供内在动能. 传统的高中数学教学，往往追求“高速度”“高难度”（巴班斯基语），因而问题往往由教师提出，并且所提问题呈现一种散点、多发、孤立的状态. 这样的一种“问题教学”，仅仅能让学生获得相关数学知识，却不利于学生创造性思维能力的发掘. 核心问题，是一类关键性、节点性问题，它不仅关涉数学知识本质，而且将相关的学科知识联系起来，能推动学生展开自主性、自能性的数学学习. 以核心问题为载体、媒介，能有效助推学生展开高阶创新学习.

核心问题：内涵及特质

所谓核心问题，如上所述，是学生数学学习的“中心问题”“基本问题”，也指能点燃学生思维火花的问题. 一方面，核心问题要关联数学知识本质，另一方面要切入学生认知系统、认知结构的最近发展区. 在高中数学教学中，核心问题往往就是“眼睛”，既是“课眼”，是高中生数学学习的“脉络”，也是一根绵绵的“红线”，对于高中数学学习来说，核心问题往往能起到“牵一发而动全身”的作用.

1. 核心问题具有指向性

核心问题往往关涉数学知识本质，因而具有一种鲜明的指向性. 借助核心问题，学生不仅能把握数学知识本质，洞察数学知识内在的、隐性的关系，还能把握数学学习内容的重点、难点等. 这是数学核心问题最为鲜明的功能和作用. 比如教学“椭圆及其标准方程”第一课时相关内容时，笔者将核心问题定位于“描述椭圆”. 由于学生对椭圆的认识大多源于生活经验，因而这一核心问题，对于引导学生从生活经验中抽象、描述椭圆图形，并对椭圆圆扁程度、椭圆对称性的探究以及椭圆与圆的区分等都具有积极作用. 这一核心问题的设定，不仅能让学生快速有效地认识椭圆，而且能培育学生“数学的眼光”“数学的大脑”，让学生用“数学的眼光”观察生活，用“数学的大脑”考量世界.

2. 核心问题具有针对性

核心问题不仅关涉数学知识本质，还关涉学生的认知水平、思维思路等具体学情. 在高中数学教学中，学生往往在数学学习中存在着诸多疑点、盲点. 而核心问题就能有效引导学生突破认知心理障碍，消解学生认知疑点、盲点. 从这个意义来说，核心问题具有针对性. 在高中数学教学中，教师不仅要精心设计核心问题，还要利用核心问题促进学生数学学习积极迁移. 作为教师，要找准学生的数学思维、认知误区、知识断层等，努力借助核心问题厘清学生的数学思维，消弭学生的认知误区，弥补学生的知识断层，使学生从根本上理解数学概念，促进学生数学学习不断进阶. 比如教学“组合”这一部分内容，它是在学生学习“分类计数原理”“分步计数原理”“排列”等相关知识的基础上展开的. 以“求借书、选干部的不同方法”作为核心问题，既能引导学生主动概括已学内容，又能促进学生将数学知识与方法等关联起来. 换言之，这样具体的实际问题能让学生把握排列与组合的异同，能让学生用联系的观点对比思考，能促进学生思考与解决数学问题综合能力的提升.

3. 核心问题具有实效性

核心问题的一个重要作用、功能就是让学生在“山穷水尽”时“柳暗花明”，在“踏破铁鞋”时“不费工夫”. 核心问题往往因为能敞亮思维、认知，让学生在高中数学学习中产生一种“茅塞顿开”“豁然开朗”的感觉，让学生“见所未见”“悟所未悟”，促进学生数学学习能力的提升，助推学生数学核心素养的生成. 核心问题不仅能揭示数学本质，还能帮助学生探寻到解决问题的路径、策略，从而丰盈学生数学学习的厚度. 比如教学“等差数列的前n项和”时，笔者设计了这样几个核心问题：①研究一般性问题时，我们常常从特殊的例子开始. 你能否举几个简单的等差数列求和的例子？②上述等差数列求和，你用的是怎样的方法？③数学史上有这样的例子吗？通过这样几个核心问题引导学生自主学习，让学习变得顺其自然. 同时，核心问题能有效助推学生积累数学活动经验，促进学生感悟数学思想方法. 借助核心问题，能有效提升学生的数学能力，发展学生的数学核心素养以及综合素养等.

核心问题不同于传统课堂教学中过多、过浅、过滥的问题，而是能引发学生深度思考、深入探究的问题. 在研发、设计、应用核心问题的过程中，教师要始终立足学生的“学”，基于学生的“学”，努力借助核心问题去培育学生数学学习的关键能力和必备品格.

核心问题：研发及设计

研发设计核心问题，不仅要关注数学本质，还要关注学生学情. 一般来说，核心问题可以在知识的关联处研发设计，可以在学生数学学习的重难点处研发设计，还可以在学生认知障碍、认知疑点、认知盲点处研发设计. 核心问题的研发设计，要让核心问题发挥统领、助推、引导、启迪等作用.

1. 在知识关联处研发设计

知识关联不仅指知识横向关联，还包括知识纵向关联. 关联是多层次、多层面的，它不仅包括新旧知识关联，还包括知识与学生生活关联. 在高中数学教学中，教师要深刻把握这些知识关联，找出其中的“关联点”“链接点”. 在知识关联处研发设计核心问题，能有效助推学生自主自能学习. 在知识关联处研发设计核心问题，要把握学生认知建构的逻辑起点、生长点. 只有这样，才能促使学生认知不断进阶、发展. 比如教学“抛物线及其标准方程”时，笔者设计了这样的核心问题：探求平面内的一个定点与一条定直线的距离相等的点的轨迹方程. 这样的核心问题，指向明确、目标明確，同时建立在新知和学生已有认知结构的关联处——由于学生掌握了与圆、椭圆、双曲线相关的知识、方法、探索程序等，因此容易针对核心问题提出相应的猜想并积极深入研究抛物线的几何性质. 这样一种核心问题的研发设计，能让学生举一反三、触类旁通.

2. 在知识迁移处研发设计

所谓“迁移”，简单地说就是“一种学习对于另一种学习的影响”［2］. 在高中生的数学学习中，迁移包括正向迁移和负向迁移. 作为教师，要引导学生展开正向迁移，消除负向迁移. 通过迁移，一方面引导学生建构新知，另一方面引导学生巩固、复习旧知. 从这个意义来说，正向迁移具有双重意义和双重价值. 在知识迁移处研发设计核心问题，教师要善于把握学生的认知障碍、思维困惑、认知疑点、认知盲点，为学生的正向迁移铺平道路. 比如教学“函数的单调性”时，笔者先给学生展示了某市一天内的气温变化曲线图，并引导学生尝试观察、描述天气，然后提出了这样的核心问题：从数学的角度来看，如何描述函数图象的上升与下降的几何特征？这樣的核心问题，能引导学生从数学的视角、用数学的眼光来描述，促使学生将目光投向即将学习的函数单调性. 函数单调性的学习能让学生积累丰富的活动经验，内化相关的数学思想方法.

3. 在思维障碍处研发设计

核心问题还可以在学生思维困惑、认知障碍处研发设计. 在高中数学教学中，教师要及时跟进、主动介入学生学习. 只有这样，才能在学生思维困惑、认知障碍处设计核心问题，才能借助核心问题助推学生数学学习. 发掘核心问题，能有效培育学生数学学习“关键能力”，养成学生数学学习“必备品格”. 比如教学“用‘二分法’求方程的近似解”时，有这样的一道题：求方程lnx+x-3=0的近似解（误差不超过0.1）. 笔者经过学情调查，研发设计了这样的引导性问题以让学生的数学思维、认知水平从低阶迈向高阶：怎样确定函数f（x）=lnx+x-3的零点大致所在区间？如何缩小零点所在区间？用“二分法”在什么情况下才能满足精确度要求？用“二分法”求方程近似解的一般步骤是什么？在这个过程中，通过这样几个核心问题的引导，学生自然掌握相关数学知识的重点、难点，感悟相关的数学思想方法.

核心问题：评价及应用

核心问题往往是一个“母问题”，它能生发出其他相关的“子问题”. 对于核心问题的研发设计，教学中教师要引导学生积极反思、反馈和评价. 在高中数学教学中，核心问题往往能引导学生思维、认知、探索，从“浅表”走向“深层”，从“被动”走向“主动”. 正如教育家尼尔·波斯特曼所说，“一旦你学会了提问，掌握了提出恰当的、实质性的、有意义的问题的方法，你就掌握了学习的技巧. ”

1. 用核心问题催生学生深度思考

核心问题最为突出的一个作用，就是可以激发学生思维，催促学生思考. 传统的数学教学，所提问题往往比较琐碎、零散，这样传统的问题教学，不利于催促学生深度思考. 正如著名教育家苏霍姆林斯基所说，“在脑力活动中，重要的不是看书，不是去记住别人的思想，而是要让学生自己去思考.”比如笔者所在学校举行的“同课异构”活动，几位教师执教“三角函数诱导公式”时，都应用了核心问题教学. 其中一位教师设计的问题是这样的：你能用单位圆中的几何性质推导出三角函数的诱导公式吗？这样的问题过于笼统，指向性不强，因而使学生“摸不着头脑”，不知道从何处思考、怎样思考. 而另一位教师设计的问题是这样的：α的终边和－α的终边与单位圆的交点有什么关系？你能得出sinα与sin（－α）之间的关系吗？这样的问题又过于简单、过于封闭，使学生的思维无法摆动. 如何用核心问题激发学生深度思考？笔者认为，核心问题应切入学生学习的最近发展区，使学生的数学学习“现实水平”提升至“可能水平”. 只有这样，才能助推学生思维、认知不断进阶.

2. 用核心问题催促学生深度探究

核心问题能开启学生“深度研究”“深度探索”“深度体验”“深度感悟”之旅. 核心问题对于学生的数学探究、感悟等应当具有指向性、针对性和实效性. 为此，教师要善于捕捉学生的探究节点，在学生探究关键节点处设置核心问题，使学生的数学学习走向深度. 南京大学郑毓信教授认为，核心问题应该少而精，具有一定的思维含金量，对学生的数学学习具有指引性、生长性. 比如教学“双曲线及其标准方程”时，笔者设计了这样的核心问题：怎样像椭圆一样探究双曲线定义和标准方程？这样的问题，尽管看起来比较笼统，却为学生思考、探究、迁移、应用指明了方向，他们会回顾椭圆的研究过程来研究双曲线；这样的问题，赋予学生充分自主思考、探究的时空与权利；这样的问题，提升了学生应用数学知识、数学方法、数学思想解决实际问题的能力.

核心问题是高中生数学学习的一个重要支撑，也是载体、媒介. 对高中生数学学习而言，核心问题发挥着驱动、调节、引导、监督、促进等多项功用. 在高中数学教学中，教师要精心研发设计核心问题，有效应用反思评价核心问题. 以核心问题为载体、媒介，有效助推学生数学深度思考、深度探究. 借助核心问题，引导学生数学学习不断进阶，促进教师教学转型升级.

参考文献：

［1］ 郭华. 深度学习及其意义［J］. 课程·教材·教法，2016，36（11）：25-32.

［2］ 余文森. 核心素养导向的课堂教学：深度化策略［M］. 上海：上海教育出版社，2017.