初中数学中辅助线有效应用的研究

李 丽

(武夷山市第三中学,福建 武夷山 354300)

辅助线应用是几何教学的重点与线索,可以培养学生的抽象思维、逻辑推理能力和空间想象能力,从而对学生学习产生积极的学习意义.伴随新课改的逐渐推进,初中数学教学的侧重点不是在普通的知识传递上,而是在学生能力培养的层面上.因此,促进初中数学中辅助线应用的教学,可以加强对学生的思维训练和能力培养[1].

1 辅助线的具体内容

1.1 辅助线的含义

辅助线的基础含义是指学生在解答数学几何问题时,基于原图所作的具有解题价值的直线或线段.在作辅助线时,学生需要遵守以下原则:首先,需要秉承“集合”的原则,即将题目和图形中分散的几何元素转化为集中的几何元素,比如说在关于三角形的问题中可以将分散的几何元素集中于一个三角形或两个全等的三角形之中,以便于应用其他定理完成证明[2];其次,需要坚持“化繁为简”的原则,即面对不规则的图形时需要第一时间想到通过辅助线将其转化为规则的图形,面对复杂的图形时需要第一时间通过辅助线将其转化为清晰可见的简单图形;最后,应当注重虚实线的结合,即在平面几何问题中用虚线表示辅助线.在立体几何中用虚线表示看不见的辅助线,用实线表示看得见的辅助线.

1.2 辅助线的数学作用

1.2.1 挖掘隐含的性质或条件

辅助线在数学题型中的具体作用之一是为学生挖掘隐含的几何性质或条件等.即在题目条件与结论之间关系不明晰时,学生可以透过合适的辅助线发现隐藏的图形性质或其他已知条件,从而获得过渡性的推论,最终得出正确结论.

1.2.2 集中分散的几何因素

辅助线在数学题型中的具体作用之二是为学生集合分散的几何因素.即通过辅助线的应用将图形中分散、远离的几何因素转化为集中呈现的几何因素,为题设条件和结论之间构建合理的逻辑关系,从而得出正确结论.

1.2.3 化复杂为简单

辅助线在数学题型中的具体作用之三是为学生化繁为简.即通过辅助线的设计将复杂的图形通过拆解分为若干个简单的图形呈现出来,从而化复杂为简单、化难为易.

1.2.4 发掘特殊点、线

辅助线在数学题型中的具体作用之四是为学生发掘特殊的点和线的数学价值.即通过辅助线的设计将特殊的点、线或图形性质等呈现至学生面前,驱使学生基于这些特殊点、线的作用推导条件与结论的深层逻辑,最终完成结论推导.

1.2.5 构造新图形

辅助线在数学题型中的具体作用之五是为学生在原图的基础上构造新图形.由于部分特殊题型的存在,学生需要应用辅助线在原图基础上构造新图形,并借助该图形完成条件与结论的联系,从而完成结论导出.

1.3 辅助线应用的教学意义

1.3.1 促进新课改的深入推进

新课改已明确提出,教师在进行数学教学时,需要注重增强学生的几何直观意识和提高学生的几何推理能力.而辅助线应用在实际学习中将有助于培养学生的抽象思维、逻辑推理思维和空间想象能力.因此,辅助线应用的优化教学将有利于促进新课改这部分内容的深入推进,落实以学生的发展为本的教育原则.

1.3.2 提高学生解决问题的能力

综合辅助线具体的数学作用,辅助线应用可以帮助学生提高解决实际问题的能力.具体来说,辅助线应用可以挖掘图形中的潜在信息,以此可以培养学生的思考能力、推理能力和空间想象能力;辅助线应用还可以通过信息整合帮助学生提高信息整合能力、数据分析能力和空间想象能力;辅助线应用还可以通过化繁为简、化难为易等降低学习难度,帮助学生建立数学学习的自信心;辅助线的应用还可以帮助学生提高知识应用能力,促进数学学习的思维拓展与能力训练.

2 初中数学中辅助线应用中存在的问题

2.1 缺乏系统性学习

从当前初中数学的教学现状来看,教师关于辅助线应用的教学虽有开展,但缺乏系统性.在实际的初中数学教学中,辅助线应用的教学常常伴随着平面几何或空间几何的题目教学而展开,导致学生在实际的学习中缺乏对辅助线应用的系统性学习,从而不利于学生完成相应的知识迁移,继而不能灵活运用辅助线展开另一类题型的分析与解答.

2.2 缺乏深入的概念学习

从当前初中数学的教学现状来看,教师关于辅助线应用的教学虽有开展,但由于缺乏专题性教学,辅助线应用的教学往往不能引起学生深入的概念学习.而缺乏深入的概念学习,会导致学生对于辅助线的认识与理解仅仅停留在基础浅薄的层面,从而影响了学生对辅助线的实际应用,不利于促进学生的深度学习,也不利于培养学生的知识应用能力.

3 促进初中数学中辅助线应用的有效路径

3.1 设计专题教学

初中数学教师可以以“辅助线应用”为专题设计并开展相应的教学专题,通过系统性的专题学习深化学生对于辅助线的概念认识与应用.例如,教师可以通过网络查询、题型分析和教师之间的交流等完善一套“辅助线应用”的教学方案,并以此方案落实具体教学[3].

教师可以根据三角形、平行四边形、梯形和圆的分类方式设计对应的教学策略.

首先,关于三角形的题型,大致包含三种作辅助线的思路.

“中线思路”,如果实际题型中涉及三角形中线,常常将中线加倍;而无中线时通常会出现中点的概念,学生应该就着中线思路绘制三角形的中位线作为辅助线完成后续条件的证明与推理,从而化繁为简、化难为易,解决问题.

“平分线思路”,如果实际题型中涉及角平分线,学生常常遵循平分线思路,以角平分线为对称轴并利用角平分线自身的特点与性质联系题中已知条件构造出全等三角形,从而利用全等三角形的性质与相关知识完成问题解答.

“等线段思路”,如果实际遇到的题型中提到“两线段相等”的结论,学生应当作辅助线以构成全等三角形或角平分线段等并利用对应的定理以丰富自身思路,完成后续解答.

其次,关于平行四边形的问题,大致包括五种作辅助线的思路.在开展该小专题的部分教学时,教师应当在教学开始之初为学生阐明矩形、正方形、菱形与平行四边形的关系,在此基础上共同讲解并分析这些图形关于两组对边、对角和对角线的相同性质,提供大致的作辅助线的统一思路[4].在完成大致思路的概述后,教师就可以以此展开具体的思路分析.

第一,“对角线”原则.学生在遇到平行四边形问题时可以先考虑“对角线”原则,通过连成对角线或平移对角线将平行四边形分成两个三角形,从而完成化繁为简的作辅助线工作,完成最终的问题解答.

第二,“直角”原则.学生可以按照方法顺序考虑直角原则,过某一顶点作对边垂线为辅助线,以此构建平行四边形中的直角三角形.

第三,构建线段关系.比如说连接对角线的交点与一边中点或过对角线交点作与一边形成平行关系的平行线,从而构成线段平行或中位线关系,促进问题解答.

第四,构造三角形相似或等积关系.如连接顶点与对边上一点的线段或延长为辅助线,从而促进相似三角形或等积三角形的构成,最终完成解答.

第五,过顶点作对角线的垂线为辅助线,以此构造平行四边形中的线段平行关系或全等三角形的关系.

关于梯形这一特殊四边形的题型思路分析,基于梯形的特点和性质,教师可以通过综合平行四边形和三角形题型的思路概括引导学生将梯形问题转化为上述的平行四边形问题或三角形问题,从而促进问题的实际解决.具体而言,学生可以在梯形内部、梯形外部通过平移一条腰、两条腰或延长两腰转化为简单的三角形或平行四边形的问题;此外还可以通过以梯形上底的两端点向下底作高为辅助线、平移对角线而形成辅助线等构成等线段或其他关系;还可以通过连接梯形的一个顶点以及一条腰的中点或过一条腰中点作另一条腰的平行线、中位线等.

最后一个小专题是关于圆形的题型.由于圆形自身的特殊性以及其与其他图形的分离性,圆形问题的处理往往需要借助辅助线的应用以构建其与其他图形之间的关系,从而促进问题的推进与证明.关于圆形题型的解答,教师亦可以分为以下五个思路供学生思考:通过弦作弦心距为辅助线并利用垂径平分定理构成题目已知条件与求证结论之间的联系;通过直径作辅助线为圆周角并利用“直径所对的圆周角是直角”的性质完成问题证明;通过连结切点的半径为辅助线并利用“切线与半径垂直”的性质推进结论证明;作两圆形的公切线或连心线,联系与圆相关的角的关系,从而厘清题目已知条件与结论之间的逻辑关系;构建两个相交圆的公共弦,通过公共弦联系两个圆形或两圆之中的圆周角或圆心角的关系.

在“辅助线应用”总结性专题教学的最后,教师应当强调学生在运用上述原则或思路时要注重灵活性原则.

3.2 引入多媒体教学

为促进初中数学辅助线的应用,初中数学教师可以在系统性的辅助线应用专题教学中借助信息技术的特点与优势,以此丰富课堂教学的趣味性,提高辅助线应用专题教学的直观性和形象性,从而提高该专题教学的效率和质量.

教师可以通过计算机技术的便利在课上帮助学生实现不同作辅助线的方法,促使学生在不断试错中积累学习经验,从而加深学习印象.

此外,教师还可以应用计算机技术的精确性和灵活性为学生设计专门的电子笔记,为学生反复思考与验证提供便利,从而提高学生的学习效率和质量.

综上,为促进初中数学辅助线的应用,初中数学教师可以通过设计关于辅助线应用的专题教学以提高辅助线应用的学习系统性,通过引入多媒体,借助信息技术优势提高辅助线应用课堂教学的趣味性、直观性和形象性,从而借助辅助线应用这一数学方法促进学生的思维培养与能力发展.