条条江河归大海：一道“配方法”习题与一题多解

文／陈 贇

复习整式乘法与因式分解之后，我们设计了一道关于“配方法”的阅读理解问题，但很多同学并没有运用“配方法”解答，不同的解法也十分精彩，现整理出来，供同学们分享。

【阅读理解】我们知道，利用完全平方公式可以将二次三项式a2±2ab+b2分解成（a±b）2。而对a2+2a-3 这样的二次三项式，则不能直接利用完全平方公式分解，但可以先用“配方法”配出一个完全平方式，再用平方差公式分解。过程如下：

请用“配方法”解决下列问题：

（1）分解因式：a2-6a+5；

（2）已知ab=，a+2b=3，求a2-2ab+4b2的值；

（3）若将4x2+12x+m分解因式所得结果中有一个因式为x+2，试求常数m的值。

【设计意图】第（1）、第（2）问不算太难。根据阅读材料，我们利用完全平方公式能够顺利解决。对于第（3）问，先将多项式4x2+12x+m局部配方，可得［（2x）2+2×2x×3+32］-9+m=（2x+3）2-9+m。然后因为4x2+12x+m分解因式所得结果中有一个因式为x+2，即利用平方差公式对代数式（2x+3）2-9+m变形，会产生因式2x+4，这样就可逆向推导出（2x+3）2-9+m=（2x+3+1）（2x+3-1）。等式两边比较，得出-9+m=-1 的结论，可得m=8。下面列举其他几种精彩解法。

解法1：根据多项式乘法法则（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd，以及多项式乘法和因式分解之间的互逆关系，将多项式4x2+12x+m因式分解，得

解法2：对多项式4x2+12x+m局部变形，得4x2+12x+m=4x（x+2）+4x+m，分析得出4x+m这个多项式中含有x+2 这个因式，即4x+m=4（x+2），进而求得m=8。

解法3：画出图1，大矩形的面积是4x2+12x+m，被分成4 个面积是x2的正方形和4 个面积是2x的矩形，以及A和B的两个矩形。矩形A的一边长为x，面积为12x-8x=4x，算出其另一边长是4，因此矩形B的面积是2×4=8，即m=8。

图1

解法4：4x2+12x+m分解因式所得结果中有一个因式为x+2，说明方程4x2+12x+m=0有一根为x=-2。将x=-2代入方程4x2+12x+m=0，可得16-24+m=0，求得m=8。

【简要评析】解法1 充分体现了“回到定义去思考”的解题思想，即基于整式乘法与因式分解的互逆关系，设出另一个因式，求出待定的系数。解法2体现出对分组分解法的较好理解，即先在一部分和式中找到已知因式，得到剩下的和式中也有已知因式。解法3 充分利用二次代数式的几何意义，借助矩形的拼接，以形助数直观获解。解法4从方程的视角看多项式，基于方程的根与多项式的因式的关系，灵活运用方程的根的概念，采用试根法解决问题，体现了“高观点”的解题思想。

最后，提供一道练习题给同学们巩固一下。

阅读下列材料，然后解答问题。

【问题】分解因式：x3+4x2-5。

【解答】把x=1 代入多项式x3+4x2-5，发现此多项式的值为0，由此确定多项式x3+4x2-5中有因式x-1，于是可设x3+4x2-5=（x-1）（x2+mx+n），分别求出m、n的值，再代入x3+4x2-5=（x-1）（x2+mx+n），就容易分解多项式x3+4x2-5，这种分解因式的方法叫作“试根法”。

（1）求上述式子中m、n的值；

（2）请你用“试根法”分解因式：x3+x2-9x-9。