巧用构造法，妙证不等式

郝瑛

证明不等式的方法有许多，常用的有综合法、分 析法、反证法、数学归纳法等.对于常规题，用这些基本 方法求解或许有效.但对于一些较为复杂的不等式证 明题，却要另辟蹊径，采用构造法，通过构造函数、不 等式、几何图形、向量等，利用函数、不等式、平面几 何、向量等知识，才能使问题顺利获解.

一、构造函数

对于含有指数式、对数式、根式、高次幂等复杂的 不等式，通常可根据不等式的结构特征，将其变形，构 造出合适的函数模型.然后判断出函数的单调性，即可 根据函数的单调性、最值来证明不等式.

例1

证明：

例2

证明：

二、构造不等式

在证明不等式时，我们经常需要根据一些重要不 等式、重要的结论构造出新不等式，以将原不等式左 右两边的式子进行放缩，利用不等式的传递性来证明 原不等式.在构造新不等式时，需将不等式左右两侧的 式子关联起来，寻找其中的内在联系，以构造出合适 的不等式.

例3

证法1

证法2

证法3

证法 1 是根据基本不等式构造不等式 a2 + b 2 ≥ （a + b） 2 2 ，将问题转化为解不等式 （a + b）é ? ù ? （a + b）- 4 3 ≤ 0 ， 从而求得 c 的取值范围.证法 2 是利用基本不等式 （a + b） 2 ≤ 2（a ） 2 + b 2 构造不等式 （1 - c） 2 ≤ 2（1 - c ） 2 ，通过 解不等式求得c的取值范围.证法3是根据一元二次方 程的判别式，构造不等式 Δ =（c - 1） 2 - 4（c ） 2 - c = -3c 2 + 2c + 1 ≥ 0 ，从而求得问题的答案.

三、构造向量

平面向量知识是解题的重要“工具”.在证明不等 式时，通常可以灵活运用向量的数量积公式 a?b = |a||b | cos θ ≤ |a||b |， 即x1x2 + y1y2 ≤ x2 1 + y 2 1 ? x2 2 + y 2 2 （其 中 a=（x1，y1） 、b =（x2，y2））来建立不等关系式.这就需要 同 学 们 将 不 等 式 中 的 式 子 与 向 量 的 模 ，即 |a| = x1 2 + y1 2 ，向量的数量积 x1 x2 + y1 y2 关联起来，构造出 向量模型，利用向量的运算法则解题.

例4

证法1

证法2

证法1是先将不等式左边的式子平方，利用完全 平方式，将其配凑成两个平方式的和；然后根据 x1x2 + y1y2 ≤ x2 1 + y 2 1 ? x2 2 + y 2 2 证明不等式.证法 2 是直 接根据向量的数量积公式，构造向量OA = （a，b） 、OB = （c，d） ，根据 a?b ≤ |a||b | 证明结论.

四、构造几何图形

在证明不等式受阻时，不妨转变解题的思路，挖 掘不等式中代数式的几何意义，根据其几何意义构造 出几何图形，如将 x 看作直线 y = x ，将 a2 + b 2 看作原 点到（a，b）的距离的平方，进而建立几何不等关系，通 过数形结合，证明不等式.

例5

证明：

將已知关系式变形，凑成平方式，即可根据勾股 定理，分别以 a + 1 2 和 b + 1 2 为直角边、 2 为斜边 构造直角三角形，根据三角三边之间的关系建立不等 式，就能证明不等式.

例6

证明：

所要证明的不等式中含有根式、三个参数，较为 复杂，于是转换思路，由 a2 + b 2 + c 2 = 1 联想到长方体 的体对角线，构造以 a，b，c 为三条棱长的长方体，根据 三角形的两边之和大于第三边，建立三个不等式，即 可解题.

可见，构造法较为灵活，同学们需根据不等式中 代数式的结构特征展开联想，合理构造出与之相应的 数学模型，以将问题转化，从其他角度，如函数、不等 式、几何图形、向量等角度寻找到不同的解题思路，从 而破解难题.

（作者单位：甘肃省和政中学）