求解与三角形有关的取值范围问题的几种措施

周敏

与三角形有关的取值范围问题具有较强的综合性.这类问题涉及的知识面较广，侧重于考查三角形的性质、正余弦定理、勾股定理、基本初等函数的性质、三角函数的定义、基本不等式的应用.那么破解这类问题有哪些措施呢？下面举例加以说明.

一、利用三角函数的单调性和有界性求解

在求解与三角形有关的取值范围问题时，可先运用正余弦定理将边化为角，并用角的关系式表示出目标式；然后利用三角函数的诱导公式、两角和差公式、辅助角公式等将目标式化简；再利用三角函数的单调性与有界性来求目标式的取值范围或最值，即可解题.

例1.

解：

先根据余弦定理和正弦定理用角θ表示出 BD2；然后通过三角恒等变换将目标式化为关于角θ的正弦函数式，即可利用正弦函数的有界性和单调性求得目标式的取值范围.利用三角函数的性质解题，需根据题意确定角的取值范围，并熟练掌握正弦、余弦函数的单调性和有界性.

二、利用基本不等式求解

基本不等式 a + b ≥2 是解答最值问题、取值范围问题的重要工具.在解答与三角形有关的取值范围问题时，要先利用正余弦定理、勾股定理进行边角互化，将目标式化为只含边或角的式子；然后通过添项、去项、凑系数等方式，将目标式配凑为两式的和或积的形式，若其和或积为定值，即可运用基本不等式求得目标式的最值，从而确定目标式的取值范围.

例2.已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 A =，a = ，则△ABC 面积的最大值为（ ）.

A.  B.  C.1 D.

解：

在运用基本不等式求最值时，往往要确保三个条件“一正”“二定”“三相等”成立.对于三角形问题，所有的边角均为正值，可以不用讨论.运用基本不等式解题的关键在于配凑出两式的和或积.但求得最值后，还需检验等号成立的條件是否满足题意.

例3.

解：

关系式 b 2 + c 2 - bc = 3 中含有和式、积式，由此可 联想到基本不等式，于是利用基本不等式 a + b ≥ 2 ab， 即可求得b+c的取值范围.

三、通过解不等式求解

在解答与三角形有关的取值范围问题时，往往可 以根据三角形内角之间的关系、三边之间的关系，以 及不等式的可加性、可乘性建立不等式或不等式组， 通过解不等式或不等式组，求得目标式的取值范围.该 方法适用于较为简单的题目.

例4

解：

解答本题，要抓住关键信息：三角形 ABC 是锐角 三角形，据此求得 cosA、cosB、cosC 的范围，进而根据 余弦定理建立不等式组，通过解不等式组求得c的取 值范围.

例5

解：

解答与三角形有关的取值范围问题，要注意挖掘隐含条件，求得三角形的边、角的范围，如锐角的范围为（0，90°），钝角的范围为（90° ， 180°），三角形的两边之和大于第三边，直角三角形的两直角边的平方和等于第三条边的平方.

四、利用二次函数的性质求解

在解答与三角形有关的取值范围问题时，若目标式为二次式，则可通过换元，构造出二次函数，将问题转化为二次函数最值问题，利用二次函数的单调性、图象来求目标式的最值.往往需根据边、角的取值范围确定二次函数的定义域，再根据二次函数的性质解题.

例6.在平面四边形 ABCD 中，AB =BC = CD =2， AD =2 .记△ABD 与△BCD 的面积分别为S1和S2，求 S1（2）+S2（2）的最大值.

解：

我们需先根据余弦定理求得角 A、C 之间的关系 式；然后用角A的正余弦函数式表示出 S2 1 + S2 2 .而该式 为二次式，于是将其配方，利用二次函数的有界性求 得问题的答案.事实上，-24 ? è ? ? ? cos A - ÷ 3 6 2 + 14 是由二 次函数与余弦函数复合而成的函数，需根据二次函数 的单调性和有界性，余弦函数的单调性和有界性，以 及复合函数的单调性来解题.

由此可见，破解与解三角形有关的取值范围问题，必须首先利用正余弦定理、勾股定理来建立边角关系；然后根据目标式的结构特征选择合适的方法，根据边、角的取值范围进行求解.

（作者单位：江苏省阜宁县实验高级中学）