怎样化简对数式

金灿锋

对数是一种重要的基本初等函数.在解答对数求值问题、最值问题、单调性问题、参数问题时，通常要先对对数函数式进行化简.可见掌握一些化简对数式的技巧是很有必要的.那么化简对数式有哪些技巧？

一、根据对数运算的性质进行化简

常用的对数运算性质有：①loga MN = logaM + logaN （ M >0， N >0， a >0 ， a ≠1）；② loga = logaM -logaN （ M >0， N >0， a >0 ， a ≠1）；③ loga Mn = nlogaM ；alogaN =N （ M >0，N >0，a >0，a ≠1）.在解题时，往往要根据对数式的结构特征，选择与之相应的运算性质进行化简.

例1.计算：（1）（1-log63）2+ log62? log618；

（2）（log62）2+（log63）2+3 log62×（（log63 - log62） .

解：（1）（1-log63）2+ log62? log618

1-2 log63+ log6（2）3+（1-log63）（1+ log63）

=   2（1-log63）

1-2 log63+ log6（2）3+1-log6（2）32-2 log63

= 2（1-log63）  =2-2 log63=1； （2）（log62）2+（log63）2+3 log62×（（log63- log62） =（log62）2+（log63）2+3 log62× log6

=（log62）2+（log63）2+3 log62× log63

=（log62）2+（log63）2+2 log62× log63

=（log62+ log63）2=1.

一般地，要将同底的两对数式的和、差化为对数式的积、商；或将对数式的积、商拆成同底的两个对数式的和、差，通过正用或逆用运算性质，来化简对数式.

二、利用换底公式进行化简

logaN =（a >0，a ≠1，m >0，m ≠1，N >0）叫换

底公式.当遇到底数不同的对数式，可以利用换底公式将对数的底数统一，以便于进行约分、加减运算.通常可将10或 e 作为底数，这样便于计算、求值.

例2.

解：

运用换底公式往往需注意两点：（1）先利用对数的运算性质进行运算，再利用换底公式换底数；（2）loga b 与logb a 互为倒数.

三、通过指对数式互化进行化简

对数运算与指数运算互为逆运算.当利用对数运算性质、公式无法获解时，往往要通过对数式与指数式互化，将问题转化为指数运算问题.在对对数式、指数式进行互化时，要注意灵活运用指数和对数的定义、性质和运算法则，尤其要明确真数、指数、底数之间的关系，进行合理的转化.

例3.（1）已知2a =5，log83= b ，则4a -3b = ； （2）已知2a =9，log83= b ，则 =  .

解：

当已知条件中同时出现对数式和指数式时，需注意：（1）根据所求代数式的特点来进行指对数互化，无论是将指数式化成对数式，还是将对数式化成指数式，必须遵循“化成同底数”的原则；（2）对于连等式可令其等于 k（k >0），将指数式用对数式表示出来，再由换底公式，将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.

从以上分析不难看出，化简对数式的关键是善用对数运算性质、公式，以及指数与对数的关系.

（作者单位：江苏省南通市天星湖中学）