一道平行线中角度问题的教学实录

摘 要：

在课堂上，笔者给出一道平行线中的角度计算问题，从不同角度给出不同的解决方法，最后提炼出“对称思想”的解题策略，并引导学生思考和探索，将问题推广到更一般的情形.

关键词：平行线；角度；计算；对称思想；推广

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2023）35-0002-03

收稿日期：2023-09-15

作者简介：莫益群（1973.6-），女，浙江省宁波人，本科，中学一级教师，从事初中数学教学研究.

对平行线问题的处理和简单角度问题的计算，是初中生必备的能力.学生在解决这类试题的过程中，可以提高计算能力，培养直观想象素养.

1 试题呈现

笔者在课堂上呈现如下试题：

如图1所示，已知l∥m，∠1=135°，∠2=95°，求∠3.

2 百花齐放，解法荟萃

经过2分钟的思考后，生1给出了如下解答.

生1：解法1 如图2所示，作直线n∥l.

∵m∥l，n∥l，∴m∥n.∴∠1+∠6=180°，∠3+∠5=180°，∴∠1+∠2+∠3=180°+180°=360°，∴∠3=360°-135°-95°=130°.

教师点评 生1的解法思路清晰、过程简洁，很精彩，充分利用了平行线的性质，两条平行线被第三条直线所截，这是平面几何中一个重要的解题模型［1］.

生2观察生1的解答过程，受到启示，给出了如下的解法.

生2：解法2 延长AB，JC交于点H，如图3所示.∵m∥l，∴∠1+∠BHC=180°.

∵∠2=∠BHC+∠BCH=∠BHC+180°-∠3，

∴∠1+∠2+∠3=∠BHC+180°-∠3+∠1+∠3=∠BHC+∠1+180°=180°+180°=360°，

∴∠3=360°-135°-95°=130°.

教师点评 与解法1相比，解法2也是通过构造平行线被第三条直线所截来做的，构造辅助线后图形不如解法1的对称，相应的解题过程也就更繁琐了.不过能有如此的探究精神，是值得表扬的.

如果应用对称的思想，则图1中AB、BC是平等的，延长AB，JC可以解决，那么延长CB、KA交于一点也必定可以解决，而且过程完全相似.同学们下课后自己去试试.

生3这时也举手了，说想到了一种简便方法.

生3：解法3 连接AC，如图4所示.

∵l∥m，∴∠KAC+∠JCA=180°.

又∵∠2+∠BAC+∠ACB=180°，

∴∠1+∠2+∠3=∠2+∠BAC+∠ACB+∠KAC+∠JCA=180°+180°=360°，

∴∠3=360°-135°-95°=130°.

教师点评 解法3也是通过构造平行线被第三条直线所截来做的.与解法2相比，由于辅助线并没有改变原图的对称性，解答过程相应的也简单.生3构造了一个△ABC，用到了三角形的内角和.那么能够通过构造一个四边形来解决么？

同学们思考了2分钟后，生4举手了，说已经想到了如何利用四边形的内角和来解决了.

生4：解法4 过A点作直线AH交CJ于点H，如图5所示.

∵m∥l，∴∠KAH=∠AHC，

∴∠1+∠2+∠3=∠BAH+∠KAH+∠2+∠3=∠BAH+∠AHC+∠2+∠3=360°（四边形内角和为360°）.

教师点评 解法4也通过构造平行线被第三条直线所截来做，只是构造了四边形，不仅用了平行线的性质，而且用到了四边形的内角和.相对与解法2来说，作辅助线后更为对称，相应的解法也更简单.与解法3比较，因为AH可以有无数条，所以不如解法3的图形对称.从对称的角度来看，点A与点C是平等的，既然过A点作直线AH可以解这道题，那么，过点C作直线与l相交也必然可以解决这道题，而且过程完全相似，同学们下课后自行解决.

这时生5举手了，说自己同样是构造四边形，但这时图象更对称，解答过程更简单.

生5：解法5 作AH∥BC交JC于点H，如图6.

∵BC∥AH，

∴∠2+∠BAH=180°，∠3+∠CHA=180°.

∵l∥m，∴∠KAH=∠CHA，

∴∠1+∠2+∠3=∠KAH+∠BAH+∠2+∠3=∠AHC+∠BAH+∠2+∠3①

=∠AHC+∠3+∠2+∠BAH=180°+180°=360°.

∴∠3=360°-135°-95°=130°.

教师点评 解法5可以像解法4一样，在①式就用四边形内角和得出结论，那过程就如解法3一样.之所以写出上面的解法，是想让同学们知道，解法5的辅助线比解法4更对称美观，所以解答过程可以少用一个知识点（即四边形的内角和）.

同样，由于点A与点C是平等的，于是过点C作AB的平行直线与l相交也必然可以解决这道题，而且过程完全相似，下课后同学们自行解决.

这时生6举手说，他想出了一种更为对称的做辅助线的方法.

生6：解法6 作A，B，C关于直线p对称的点A′，B′，C′，连接A′B′，B′C′，如图7所示.

∵六边形内角和为（6-2）×180°=720°

∴∠1+∠2+∠3=12×720°=360°，

∴∠3=360°-135°-95°=130°.

教师点评 与前五种解法相比较，解法6的辅助线最对称、最美丽，解答过程相应的也最简洁.

此时教室里响起了一阵热烈的掌声……

3 试题推广

我们下面来看看更为复杂的题：

推广1 如图8所示，已知AB∥CD，求∠A+∠E+∠F+∠G+∠H+∠C.

师：用上题中六种方法一一去解它，你会发现，作辅助线后，越具有对称性，解决起来就越简单.下面请同学们用最对称的解法6去解决这个问题.

同学们这时在思考、动筆作辅助线，在计算2分钟后，生7展示了自己的解法.

生7：解 如图9所示，作与折线AEFGHC关于直线j对称的折线A′E′F′G′H′C′，则∠A+∠E+∠F+∠G+∠H+∠C=

12×（12-2）×180°=900°.

师：现在，我们将问题推广到更一般的的情形.

推广2 如图10所示，已知A1X∥AnY，求∠A1+∠A2+……+∠An.

同学们在计算，在思考，在作辅助线，经过5分钟后，生8举手了，说自己已经做好了.

生8：解 如图11所示，作折线A1A2…An关于直线j对称的折线A1′A2′…An′，则

∠A1+∠A2+…+∠An=12×（2n-2）×180°=（n-1）×180°.

教师点评 同学们，今天我们一起学习了平行线中角度问题的计算. 我们从最简单的问题开始，各位同学给出了不同的解法，你们都很优秀，很棒，值得表扬，继续努力.经过这堂课的学习，我们不仅会作了各种辅助线，也明白了一个道理：图形越对称，解答越简洁.

数学是美好的，尤其是几何世界里的各种对称问题，希望同学们能领悟对称思想，轻松破解平面几何问题.（叮叮叮……，此时下课铃声响起了）

4 教学反思

通过一节课，解决一道题，引导学生积极思考，最后学生都参与解题，感受到了几何的魅力.问题的设计由浅入深，层层深入，在锻炼学生几何直观的同时，提升了学生直观想象的素养，渗透了对称思想.

参考文献：

［1］ 朱迪.“平行线被折线所截”问题探究［J］.语数外学习（初中版），2021（01）：21-23.

［责任编辑：李 璟］