初中数学解题中整体思想的应用策略

摘 要：新课程改革背景下，在初中数学教学中，教师应注重数学思想的渗透.整体思想是一种重要的数学思想方法，它是从整体的角度，将某个式子或者图形看作整体，根据已知条件与问题之间的联系，有意识地从整体角度解决问题.文章结合例题，探究整体思想在初中数学解题中的应用，希望为教师提供参考.

关键词：整体思想；初中数学解题；应用策略

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2023）35-0059-03

初中数学教学中，常见的数学思想比较多，整体思想是其中重要的思想之一，在解题中被广泛地使用，对解决数学问题有着重要的作用.整体思想是通过对问题进行整体处理来解决问题的方法，其形式比较多，如整体代换、整体变形、整体设元等.借助整体思想，对问题进行深入分析，化繁为简，有效解决数学问题［1］.

1 利用整体思想，解决代数式求值问题

代数式求值问题是中考中的常见题型，一般来说，学生通常采取逐一求解，之后代入解题，这样的解题方式计算量比较大，而且很容易因为过程繁琐出现错误.因此，教师可以引导学生利用整体思想，结合问题的条件或者结论，将其看作一个整体，通过等价代换的方式，深入分析问题，化繁为简，完成解题［2］.

1.1 整体求解

例1 若a=4+3，b=4-3，求aa-ab-ba+b的值.

分析 此题在解答时，如果直接代入a、b的值，计算过程比较繁琐.如果能够对目标式进行变换、化简，将a、b两式相加或者相减，可以得到a+b和a-b的数值，之后整体代入化简后的目标式中，求解出代数式的值.

解 ∵a=4+3，∴a+b=8，a-b=23，原式aa-ab-ba+b=（a）2a（a-b）-ba+b=aa-b-ba+b=a（a+b）-b（a-b）（a-b）（a+b）=a+ba-b=823=433.

1.2 分式求解

例2 已知1m-1n=3，试求解3m+4mn-3nm-2mn-n的值.

分析 此题如果从条件入手，不能逐一求解m、n的值.观察未知式，其与已知条件的联系不明显，因此，可以对未知式进行整理，构造成1m-1n的形式，整体代入求解.

解 ∵1m-1n=3，∴n-mmn=3，即n-m=3mn，∴m-n=-3mn

∴原式3m+4mn-3nm-2mn-n=3（m-n）+4mn（m-n）-2mn=3×（-3mn）+4mn-3mn-2mn=-5mn-5mn=1.

1.3 降次求解

例3 已知x满足x2-x-1=0，求解代数式-x3+2x2+2 014的值.

分析 对于此类求值问题，学生通常是先求解一元二次方程，不仅过程比较复杂，而且求解的根是无理数，代入所求代数式，由于代数式最高次是3次，求解难度比较大.因此，可以采取整体思想求解，对所求代数式进行转化，根据已知变形代入，完成求解.

解 ∵x2-x-1=0，∴x2-x=1，

∵-x3+2x2+2 014=-x（x2-x）+x2+2 014=x2-x+2 014=2 015.

2 借助整体思想，解决方程及不等式问题

在初中数学解题中，部分方程问题和不等式问题比较复杂，面对这些问题，学生常常会无从下手.因此，教师可以结合题目结构特点，引导学生利用整体思想，明确问题解题思路，有效简化解题过程，强化学生数学解题思维［3］.

2.1 解答方程（组）

例4 在实数范围内解方程：2x2+3x-4=52x2+3x.

分析 在解此类方程问题时，不少学生会按照常规方式解题，先去分母，之后求解.这样的解题方式出现的最高次是4次，解题的难度比较大.因此，可以采取整体思想进行解题，通过对方程进行观察，利用整体换元的方式，将分式方程转化为整式方程解题.

解 设y=2x2+3x，

∴方程2x2+3x-4=52x2+3x可以转化为y-4=5y，即y2-4y-5=0，解得y=5或y=-1，当y=5时，2x2+3x=5，解得x1=-52，x2=1.

当y=-1时，2x2+3x=-1，解得x3=-12，x4=-1.

例5 如果关于x、y的二元一次方程组3x-my=52x+ny=6的解是x=1y=2，求解关于a、b的方程组3（a+b）-m（a-b）=52（a+b）+n（a-b）=6的解.

分析 在此题解答时，如果将x、y的值代入原方程，得出m、n的值，之后代入到第二个方程中求解a、b的值，解题过程比较繁琐，很容易出现解题错误.因此，通过对第二个方程进行观察分析，未知项的系数与原方程的相同，因此，可以将a+b、a-b各看作整体，它们的值与x、y相同，可以快速得出a、b的值.

解 根据题意得出a+b=1a-b=2，解得a=32b=-12.

2.2 解不等式（組）

例6 已知x+2y=4k+12x+y=k+2，且0＜x+y＜3，求k的取值范围.

分析 此题解题时，如果直接求解方程组，之后代入不等式，求解k的取值范围，从理论上来说是可行的，但是这样的解题过程非常麻烦，难度非常大.因此，可以将题目中x+y看作一个整体，对方程组进行整理，再进行分析求解，解题过程比较简单容易.

解 根据题意x+2y=4k+1……①2x+y=k+2……②，将①+②得出3x+3y=5k+3，

即x+y=53k+1，∵0＜x+y＜3，

∴0＜53k+1＜3，解得-35＜k＜65.

3 利用整体思想，解答图形与几何问题

图形与几何问题是初中数学解题中的重要题型，对于一些问题，采取常规方式很难解答.因此，教师可以引导学生观察整体结构特点，从整体角度分析问题，化繁为简，帮助学生快速找出解题思路，提高学生解题效率［4］.

3.1 求解图形面积

例7 如图1所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、BC作为直径画半圆，求解图中阴影部分的图形面积.（结果保留π）

分析 此题如果采取常规方式解题，先分别计算阴影面积，之后求和，但由于阴影部分是不规则图形，很难利用标准图形面积公式进行计算.因此，可以利用差值方式，结合标准图形解题.

解 设各个部分的面积为S1、S2、S3、S4、S5，如图2所示，

∵兩个半圆的面积为S1+S4+S5+S2+S3+S4，△ABC的面积是S3+S4+S5，阴影部分的面积是S1+S2+S4，

∴图中阴影部分的面积是两个半圆的面积减去三角形的面积，即

S阴影=12×π×4+12×π×1-12×4×2

=52π-4.

3.2 解答几何问题

例8 如图3所示，在△ABC中，∠BAC=50°，BD是∠ABC的平分线，CD是∠ACB的平分线，求解∠BDC的度数.

分析 常规的解题方式是先求解出∠DBC、∠DCB，然后求解出∠BDC的度数.但是，根据题目中的已知，无法求解出相应角的度数，因此，可以采取整体思路，将∠DBC、∠DCB的度数看作整体，求解出两个角的度数和，完成解题.

解 在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，

∵∠BAC=50°，

∴∠ABC+∠ACB=130°，

∵BD是∠ABC的平分线，CD是∠ACB的平分线，

∴∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，

∴∠DBC+∠DCB=12（∠ABC+∠ACB）=65°，

在△BDC中，∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°，

∴∠BDC=115°.

在初中数学解题中，教师需要注重数学思想的渗透，引导学生分析题目整体结构，明确问题解题方向，看出问题的本质，有效利用整体思想解题.在具体的教学中，教师应当结合具体例题，引导学生总结和反思，灵活利用数学思想，锻炼学生数学思维，有效培养学生核心素养.

参考文献：

［1］ 魏爽.整体思想在初中数学解题中的妙用［J］

.数理天地（初中版），2022（17）：87-88.

［2］ 程小芹.整体思想在初中数学解题中的应用［J］.语数外学习（初中版），2020（4）：28-29.

［3］ 林芹，陈豫眉.整体思想在初中数学解题中的应用：以“图形与几何”问题为例［J］.数学学习与研究， 2022（17）：62-64.

［4］ 张志华.登高望远，学以致用：谈“整体思想”在初中数学解题过程中的策略达成［J］.中学数学（初中版），2020（7）.60-61.

［责任编辑：李 璟］

收稿日期：2023-09-15

作者简介：汤永梅 （1977.9-），女，江苏省灌云人，本科，中学一级教师，从事初中数学教学研究.