基于构造法的高中数学解题思路探索探述

吕成杰

(陕西省西安市西光中学 710043)

随着新课程改革的不断深入，在高中数学教学过程中需要提升学生的数学思维能力.因此，在数学解题教学过程中，需要发挥构造法的灵活性以及试探性等优势，帮助学生构建完善的数学知识体系，拓展学生的创新思维，提高学生的解题效率和准确性.在研究中，需要从构造法的含义以及应用意义出发，通过例题分析，初步掌握构造法在高中数学解题中的应用技巧.同时要总结高中数学解题中构造法的应用策略，充分发挥构造法在数学解题中的积极作用.

1 构造法简介

构造法指的是学生转变思考问题的角度以及方式，在解决问题时避开数学障碍从而解决相关问题的方法.在我国高中数学教学过程中，构造法具有重要的应用价值，可以突破传统数学教学中存在的问题，提高学生的解题效率，保证解题准确度.在传统数学问题解答过程中，一般是利用正向思维对问题进行思考，而出题人会利用这种正向思维设置一些障碍.构造法解题主要是对相关障碍进行规避，但是在构造法应用过程中，学生需要具备基本的知识结构和洞察力.因此，对构造法的应用也有一定要求.

目前，在高中数学教学过程中对构造法进行应用的主要意义表现为：通过构造法的分析和引入，可以对高中数学问题进行全面讲解，利用已知代替未知的解题思路解决在正向思维中无法解决的数学难题，从而有效提高学生的数学解题能力.构造法的有效应用可以大大提升学生的数学解题效率，对保证学生的解题准确度也有积极作用.

2 基于构造法的高中数学解题实例分析

2.1 构造函数例题分析

在高中数学教学过程中，函数以及方程是具有较强联系的，也是学生在学习时的重点和难点.利用构造函数的方式对相关问题进行解决，可以开发学生的数学思维，提高学生的学习效率.函数问题是将数学问题中的常量以及变量进行联系，所以可以通过构造函数，利用构造的函数形式对一些复杂问题进行简单化处理，进而达到快速解决问题的目的.

例1解不等式(y2-2)3-y3+2y2-2y-4>0.

本题在求解时，主要是获取y的范围.根据不等式进行移项处理可以获得(y2-2)3+2(y2-2)>y3+2y从而构造函数f(t)=t3+2t，则不等式转变为f(y2-2)>f(y)，因为f(t)为增函数，所以y2-2>y，解得y<-1或y>2.

函数作为高中数学教学中重要的知识点之一，也是数学教学的难点.在具体的教学过程中学生除了要掌握相关的知识点之外，还要对解题方式进行全面分析.通过例1的解决可以看出，学生理解问题的本质是保证解题准确性的关键.利用构造函数的方法，既可以提高学生的解题水平，也可以拓展学生的解题思维.数学题型种类比较多，在利用构造函数法解题时，学生可能无法查找到最关键的信息.因此，一般解题过程会分为多个阶段，在哪一个阶段构造函数可以发挥最大作用，需要学生根据具体的习题进行深入分析.

2.2 构造方程例题分析

在解决与方程相关的问题时，可以根据题目中的数量关系以及具体的结构构建数学公式.对未知条件以及方程之间的关联性进行充分考虑，并利用恒等式进行变相处理，可以使抽象的问题具象化.在利用构造方程的方法解决数学问题时，学生需要仔细观察，深入分析构造方程的具体要点.有些数学问题可能本身与方程之间并没有密切联系，因此，学生需要对问题的具体内容进行分析并合理判断，才能够正确利用问题中的数量关系完成方程构造，之后再利用方程对数学问题进行有效解决.

例2已知(m-n)2-4(n-x)(x-m)=0，证明：m，n，x为等差数列.

在解题时，可以构造方程式(n-x)t2+(m-n)t+(x-m)=0，并且F(t)=(n-x)t2+(m-n)t+(x-m)，由已知可得F(1)=0， 又方程(n-x)t2+(m-n)t+(x-m)=0的判别式等于零，因此，该方程有两个相等实数根，均为1.根据韦达定理，可以得m+n=2x，因此m，n，x为等差数列.

从例2中可以看出如果利用正常方式解题会导致解题难度增加，学生需要进行大量计算才能够获取结论.在这一过程中容易产生一些错误从而影响学生的解题效率和准确性.利用构造方程法解决这个问题，可以将结论作为已知条件进行深入分析，并将其与前一等式进行结合，从而简化问题，轻松获取最终的结论.

2.3 其他构造法的应用

在高中数学解题过程中，除了可以构造函数、构造方程之外，还可以从其他角度出发对构造法进行应用.

第一，构造图形.在高中数学教学过程中，学生学到的知识大多数为理论知识，而加上图形后，会使问题更加具象.在高中数学问题解决过程中，如果单纯利用代数方式对数学问题进行理解和解决，比较片面和抽象，会导致解题难度增大，而且在代数法应用过程中，可能会受计算过程影响出现各种问题.教师若引导帮助学生将代数与几何图形进行有效联系，构建出与学生学习能力相符的数学模型，能使学生更加直观形象地理解数学知识，有助于学生在解答问题时理清解题思路，获取解决问题的有效方法.

第二，构造复数.在数学课程中复数是从实数衍生出来的，在对一些比较复杂的实数问题进行解决时，学生可以利用构造复数的形式解决问题，有利于降低学习难度，并且可以大大缩短学生的解题时间.

3 高中数学解题中构造法的应用策略

3.1 构造法解题原则

在高中数学解题过程中，对构造法进行应用具有至关重要的意义.为了充分发挥构造法在高中数学解题中的应用价值，需要对构造法解题原则进行全面分析.学生对构造法进行应用时，可以更加直观形象地获取数学问题的本质，缩短学生的思考时间，提高学生的学习效果.在这一过程中教师必须发挥引导作用，帮助学生转变解题思维，使学生能够对解题方式和解题过程有更深入地理解.教师提出的问题需要与学生的学习水平一致，以学生为主，通过一些典型例题，帮助学生形成良好的思维习惯.这样有利于学生获取解决问题的方式.所以，教师在引导学生利用构造法解决问题时，需要对学生的整体学习水平进行全面把握，这样才能够保证构造法讲解的有效性，使学生能够正确理解构造法，提高学生学以致用的能力.为了使学生能够构造出与问题相似的结构，还可以利用归纳、概括等方式帮助学生开展问题的分析和判断，从而解决相应的问题.

3.2 基于等量关系的应用

在利用构造法解决高中数学问题时，需要对基于等量关系的应用进行深入分析.等量关系本身是构造法在高中数学问题解决过程中的重要基础.在实际教学中，教师需要加强对学生的引导，确保学生在解题时可以根据已知条件利用相对的等量关系解决问题.例如学生在解决函数问题时，需要引导学生深入分析题目中蕴含的信息，了解自变量与因变量之间的具体联系，构建函数关系式，从而解决相应的数学问题.而对高中学生来说，等量关系本身是方程、函数和数列等数学问题在学习过程中的基础，学生必须掌握题目中不同的已知量和未知量的关系，才能够解决问题.

例如在高中阶段学习一元二次函数、方程和不等式时，教师可以对学生进行引导，出示以下典型例题：某工厂需要建造长方形无盖储水池，整个储水池的容量为4800m3，深度为3米，如果池底每立方米的造价为130元/m2，池壁的造价为110元/m2.如何进行设计才能够在最大程度上控制水池的总造价，确保总造价最低，最低为多少？

在解决这一数学问题时，需要对题目中涉及的已知量和未知量关系进行明确.可以利用总价=池底造价+池壁造价的原则构建方程式.在利用构造法解决数学问题时，等量关系是提高数学问题解决效率的关键.教师需要对学生进行引导，使学生能够及时发现等量关系，从而培养学生利用构造法解决数学问题的能力，提高学生的数学核心素养.

3.3 激发学生的简化思想

为了充分发挥构造法在高中数学解题过程中的积极作用，在构造法解题过程中，还要尽可能激发学生的简化思想.构造法本身是简单灵活的解题方法，但是很多学生在学习构造法时，并不能准确掌握什么时候用构造法或者利用构造法解决什么样的问题，还有一些学生不能掌握构造法的具体应用技巧.因此，教师需要激发学生的简化思维，使学生在解答数学习题时能够以简化的思想为基础进行解题.这就需要教师引导学生突破常规，及时查找有效的解决方法简化问题.所以在日常的知识讲授过程中，教师要注重激发学生的简化思想.

综上所述，利用构造法对数学问题进行简化是提高学生解题效率和解题准确性的重要方法.但是需要注意构造法并不是万能的，在构造法讲解过程中，教师要使学生明确构造法存在的局限性，对数学问题的本质进行科学把握，这样学生才能够合理利用构造法进行解题.在解题训练时可以对常规方法和构造法进行综合应用，在减少解题步骤，降低解题难度的同时，提高解题准确性.