如何通过归纳推理求解一类图形变换问题

马丽丽

由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征，或者由个别事实概括出一般的结论，称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.归纳推理在解题中应用广泛，尤其在解答一些有规律的图形变换问题时，運用观察、实验、分析、比较等手段，通过归纳推理，由个别现象推理到一般的情形，便可快速总结出图形变换的规律，求得问题的答案.

例1.2022年北京冬奥会开幕式中节目《构建一朵雪花》开始后，一朵巨大的“雪花”呈现在舞台的中央，十分壮观.这种围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称为“科克曲线”，是瑞典数学家科克在1904年研究的一种分形曲线.“雪花曲线”是把一个正三角形的每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程无数次，得到的闭合曲线.

若上图中的第1个图形中的三角形的周长为1，

则第10个图形的周长为（  ） .

解：

仔细观察前四个图形，可发现图形的边数与周长之间存在一定的规律：当 n=1，2，3，…，n 时，这 n 个图形的周长可构成以1为首项，为公比的等比数列.根据等比数列的通项公式即可求出 an 的表达式，经检验该结论正确，由此可断定第10个图形的周长为a10= ?（?）9.

归纳推理不是证明方法，只是一种猜测结果的途径，通过归纳，推理出的结论不一定准确，所以在求得问题的答案后，我们还需进一步对其加以严格证明和检验答案的正确性.

例2.

解：

我们通过观察图形，由 n=3，4，5，6时逐步进行推理，从而发现规律：其顶点的个数与 n 的取值密切相关，由此归纳推理出第 n 个图形中顶点的个数为（n+2）+（n+2）（n+2）=（n+2）（n+3）.

例3.

细心观察，寻找每一项与相邻项、每一项与序号之间的关系，同时联系等差数列、等比数列的定义，即可从图中归纳出递推关系，从而把图形变换问题转化为数列问题来求解.

例4.线性分形又称为自相似分形，其图形的结构在几何变换的过程中具有不变性，通过不断迭代生成无限精细的图形.一个正六边形的线性分形图如下图所示，若第1个图形中正六边形的边长为1，周长与面积分别记为 a1，S1，第2个图形中所有正六边形的周长之和与面积之和分别记为 a2，S2.若第 n 个图形中所有正六边形的周长之和与面积之和分别记为 an ， Sn ，第 n 个图形中每个正六边形的边长是第 n-1个图形中每个正六边形边长的 ，则下列说法正确的是（  ） .

解：对于 A 项，由图可知，第1个图形中至第 n 个图形中正六边形的个数构成以1为首项，7为公比的等比数列，故第4个图形中共有73=343个正六边形，所以 A项不正确.

从本题可以看出，通过归纳推理，可将图形变换问题转化为数列问题.通过探讨数列的性质、求数列的通项和数列和，就能顺利求得问题的答案.

通过上述分析可知，对于有规律的图形变换问题，一般可将其转化为数列问题求解.其解题步骤如下：（1）比较、分析图形结构每一次发生变化前后的数值；探寻图形中数量的变化规律；（2）根据这些数据，构建一个数列的前几项，并将其看作完整的数列；（3）探寻数列的性质，求数列的通项和数列和；（4）通过计算，得出结论，并检验所得的结果.

（作者单位：江苏省靖江高级中学）