构建问题情境 探索概念应用——以一节“函数的概念和表示方法”习题课为例

上海大学附属嘉定高级中学 顾成龙

高中数学知识丰富而抽象，其中，对数学概念的理解与实际应用是比较难啃的骨头，尤其是概念新授课后的习题课。有的教师为了“省时减力”，试图通过“题海战术”，达到“熟能生巧”的效果，却事倍功半。实际上，这严重忽视了学生对数学概念本质的把握，导致对数学概念理解的偏差，影响解决问题能力的发展，无法形成良好的数学学科核心素养。数学习题课是指以习题为中心，教师根据学情特点，基于教学目标，围绕知识点的巩固与练习题的讲解而展开的一种教学活动。作为数学课最重要的组成部分之一，习题课教学可激发学生学习数学的兴趣，巩固所学的知识，提高解决问题的能力。

自2020年9月上海市高中数学施行“双新”教育以来，笔者一直进行数学概念新授课与习题课的课堂教学研究，试图提升学生对数学本质概念的理解与应用。笔者以一节“函数的概念和表示方法”习题课为例，打破以教师进行知识点复习再到学生练习为主的习题课传统教学模式，通过问题情境教学方式，把概念的知识点复习融入问题中，来探索数学概念巩固与应用。

一、结合数学概念，设计典型例题，环环相扣

在进行习题课的设计时，教师要结合数学概念进行适当选题，设计具有针对性的典型例题，形成问题链，环环相扣，引导学生通过问题探究数学概念本质，在深度与广度上有效激发学生的思维品质。

“函数”是高中数学中最核心的概念之一，理解函数概念对高中学生数学学习至关重要。《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》认为：函数是描述客观世界中变量关系和规律的最为重要的数学模式，是研究其它数学领域的基本工具，有广泛的实际应用。函数及应用是贯穿高中数学课程的主线。

函数概念的理解与应用涉及函数的三种表示方式（解析法、列表法、图象法），以及定义域与值域的求解。在这节“函数的概念和表示方法”的习题课上，例题1考查学生通过辨析问题中变量间的关系，回顾函数的定义，掌握解析法。例题2通过高铁车次相关信息，在实际生活中抽象出函数，让学生感受到数学来源于生活，通过研究数学问题，进而解决生活中一些实际问题，掌握列表法。例题3通过图象验证函数相等，通过“形”判断两个函数是否相等，进一步考查定义：根据定义判断，通过图象和列表验证判断。例题4通过列不等式组求解，考查函数三要素中的定义域。例题5考查函数三要素中的值域，要求画出一个分段函数图象，并分析图象的特点，得出图象法可以直观地理解函数的性质。

例题1：下列能体现变量y是关于变量x的函数的是___。

【设计意图】通过问题中变量间关系的辨析，引导同学们回顾函数的定义。“问题（2）（4）表示函数的方法为解析法，还有其他的表示方法吗？”由此引出例题2。

例题2：判断下列两个函数是否为同一个函数：y=x( x∈{0 ，1})；y=x2( x∈{0 ，1})，并说明理由。

变式：若y=x( x∈［0，1］)；y=x2( x∈［0，1］)，则两函数相同吗？并说明理由。

【设计意图】通过函数定义，对两个相同函数进行辨析，让同学们意识到变量与变量的配对法则，解析式只是一种表示方式，表达式不同，配对的法则不一定不同。如果表达式可以化简或者等价同一种形式，那么对应法则是一样的，这与代数中的式（也叫表达式）不一样，式强调的是形，而函数注重对应关系的本质。确定两个函数是相同函数之后，再从图象法、列表法的角度进行验证，熟悉了函数的三种表示方法。通过变式训练，进一步深化同学们对“对应关系”的理解。

例题3：求下列函数的定义域：

【设计意图】通过幂、指数、对数的形式构造两个具体的函数，考查函数的定义域；对（1）做了一个变式，让同学们注意零次幂的底数不能取0。任何函数的研究第一步都需要确定函数的定义域，只有在定义域内研究函数的性质才有意义。如将参数问题进行分类讨论，借助数形结合，提升学生直观想象核心素养。

二、创设问题情境，引导概念探究应用，层层推进

苏洪雨、章建跃、郭慧清指出“通过创设有利于学生数学学科核心素养发展的教学情境，引导学生理解与把握函数的本质，启发学生思考，再现函数概念的创造过程，促进学生数学学科核心素养的达成。”由此，教师在习题课的课堂教学中，应当结合典型例题，创设恰当问题情境，引导学生在发现问题、分析问题与解决问题的过程中，层层推进，巩固其对函数概念的正确理解与应用。

在本节习题课中，问题情境由3个典型例题组成的问题链架构，其中例题1～2探索函数的概念与表示方法，例题3探究函数的概念应用。在处理每一个例题时，笔者步步设问，启发并引导学生对问题进行思考辨析，层层深入，直至把问题解决，在分析与处理问题过程中，巩固函数概念的理解与应用。如在例题3中，问题呈现后，笔者启发学生通过函数定义，对两个相同函数进行辨析，进一步探究变量与变量的配对法则，解析式只是一种表示方式，式的形不同，配对的法则不一定不同。随后，在确定两个函数是相同函数之后，进一步通过问题的形式，引领学生再从图象法、列表法的角度进行验证，熟悉函数的三种表示方法。通过变式训练，进一步深化同学们对“对应关系”的理解。笔者将教学片段呈现如下：

例题2：判断下列两个函数是否为同一个函数：f( x)=x( x∈{0 ，1})，g( x)=x2( x∈{0 ，1})，并说明理由。

变式：若f( x)=x( x∈［0，1］)，g( x)=x2（x∈［0，1］），则两函数相同吗？并说明理由。

教师：两个函数相同吗？

学生1：不相同，因为y=f（x）是一次函数，y=g（x）是二次函数。

学生2：和同学1的观点相同。

教师：请大家再回顾一下函数的定义，结合定义对比分析y=f（x）、y=g（x），再次判断是否相同？

学生3：当x=0时，对应的函数值都是0；当x=1时，对应的函数值都是1；所以它们是相同的函数。

教师：非常棒！请同学们再画出y=f（x）、y=g（x）的图象，或者用列表形式表示，进行观察，来判断是否是相同函数。

学生（全体）：他们的图象是相同的两个点，列表也是相同的。

教师：这验证了同学3的观点是正确的。

教师：如果改变定义域，请看变式，这两个函数还相同吗？

三、结语

高中数学的课堂教学要从片面讲授提升为全面发展学生理解数学概念并应用不是一件“轻而易举”的事。本文以一节“函数的概念和表示方法”习题课为例，跳出传统教学套路，设计典型例题，创设问题情境，引导学生通过问题辨析，不断深入与探究，巩固对函数概念的理解，提升运用函数知识解决问题的能力，最终发展数学抽象与直观想象的核心素养。在这节课反馈环节，当听到学生说“顾老师把函数的概念讲得深入浅出，妙趣横生，我真正理解了函数”时，笔者倍感欣慰。

总的来说，在数学课堂教学中，教师任重道远，要敢于尝试通过创设各种情境，引导学生多观察，多思考，多探究，在辨析与解决问题中，把握数学概念的本质，进而提升学生数学核心素养。