导数中隐零点问题的处理策略

田 鹏

(重庆市长寿中学)

导数的综合运用是高中阶段的难点,更是高考的高频考点,其中有很多问题都与函数的零点有关,处理这类问题需要有较强的代数变形能力,对数学学科核心素养的要求很高.特别地,函数(或导函数)的零点不可精确求解的问题处理起来更为棘手.对此,本文探讨几种处理隐零点问题的策略.

1 基本概念

零点设函数y＝f(x),若实数x0满足f(x0)＝0,则称x0为函数y＝f(x)的零点.从函数图像上看,函数y＝f(x)的零点即为其图像与x轴交点的横坐标.

隐零点若x0为函数y＝f(x)的零点,但x0无法精确求解,则称x0为隐藏的零点,即隐零点.有些函数的零点表面上看不可求,但结合函数的性质实际上可以求出,这类零点不能称为隐零点.例如,x＝0不能称为函数f(x)＝ex－x－1的隐零点.

零点存在定理设函数y＝f(x)是定义在(a,b)上的连续函数,且满足f(a)f(b)＜0,则存在实数x0,使得f(x0)＝0.换句话说,函数y＝f(x)在(a,b)上存在零点.结合函数的性质,还可以精确判断函数y＝f(x)在(a,b)上的零点个数.另外,该定理往往用来判断零点所属区间.

2 策略探究

2.1 设而不求,整体代换

1)自变量代换

(1)若曲线y＝f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为1,求实数m的值;

(2)当m≥1时,证明:f(x)＞g(x)－x3.

(2)因为f(x)＝ex＋m－x3,g(x)＝ln(x＋1)＋2,所以f(x)＞g(x)－x3等价于ex＋m－x3＞ln(x＋1)＋2－x3,即ex＋m－ln(x＋1)－2＞0.当m≥1时,ex＋m－ln(x＋1)－2≥ex＋1－ln(x＋1)－2,所以不等式等价于ex＋1－ln(x＋1)－2＞0.

设函数h(x)＝ex＋1－ln(x＋1)－2,则h(x)的定义域为(－1,＋∞),则只需要证明hmin(x)＞0.,易证函数h′(x)在(－1,＋∞)上单调递增.因为1＞0,所以由零点存在定理知存在唯一的实数x0∈,使得h′(x0)＝0,即.所以当x∈(－1,x0)时,h′(x)＜0,h(x)单调递减;当x∈(x0,＋∞)时,h′(x)＞0,h(x)单调递增,hmin(x)＝h(x0)＝ex0＋1－ln(x0＋1)－2.由可得x0＋1＝－ln(x0＋1),从而

2)参数代换

(1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)若函数f(x)在(0,1)内有唯一的零点x0,证明:.

当a＞2 时,函数f(x)在上单调递增,在上单调递减(求解过程略).

(2)注意到f(1)＝0,故由(1)知a＞2.因为,设h(x)＝2ax2－2ax＋1,其对称轴为,且h(0)＝h(1)＝,记h(x)＝0的两根分别为,则0＜x1＜,又由(1)知f(x)在(0,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,＋∞)上单调递增,且f(x)在(0,1)内有唯一零点x0,所以x0＝x1∈(0,,从而

2.2 等价变形,化隐为显

1)同构变形

(1)当a＝e时,求曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形面积;

(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.

(2)因为f(x)≥1,所以aex－1－lnx＋lna≥1,则elna＋x－1－lnx＋lna≥1,则

elna＋x－1＋lna＋x－1≥lnx＋x.

设函数g(x)＝ex＋x,则不等式等价于g(lna＋x－1)≥g(lnx),易证g(x)在R 上单调递增,则不等式等价于lna＋x－1≥lnx.设函数h(x)＝lna＋x－1－lnx,则不等式等价于hmin(x)≥0.因为,当x∈(0,1)时,h′(x)＜0,h(x)在(0,1)上单调递减;当x∈(1,＋∞)时,h′(x)＞0,h(x)在(1,＋∞)上单调递增,所以hmin(x)＝h(1)＝lna,则lna≥0,解得a≥1,故a的取值范围为[1,＋∞).

2)凹凸变形

证明f(x)＞1等价于x2ex－lnx＞1,因为函数f(x)的定义域为(0,＋∞),所以不等式等价于

3 小结

隐零点问题常常与不等式的证明结合在一起,难度较大,是考查数学素养的重要载体.处理这类问题的基本策略是整体代换和化隐为显,前者需要构造关于隐零点的方程,利用自变量或参数进行整体代换.化隐为显即是通过等价变形的手段改变代数式的结构,使得隐零点显现出来,进而解决问题.本文仅介绍了两种化隐为显的策略.当然,化隐为显的方法还有很多,留给读者自行探索.

(完)