谨防复数解题中的六个误区

王 新

(云南省昆明市第八中学)

众所周知,数系的扩充使实数集得到了进一步“升级”,于是出现了复数集,复数集通常用C 来表示.复数包含了实部与虚部两个部分,若对复数的概念理解不透,则往往会把实数的性质和运算法则“迁移”到复数运算中去,于是就会出现这样或那样的错误.那么复数运算中有哪些误区值得我们注意呢? 本文举例说明.

误区1无论x在什么范围内,都有x2＝|x|2成立.

当x∈R 时,x2＝|x|2恒成立,无可厚非.但当x∈C时,x2＝|x|2还能成立吗? 答案显然是否定的.试想,当x是虚数且非纯虚数时,x2仍是虚数,而|x|2却是实数,所以它们是不相等的.

A.2 B.4 C.6 D.8

错解由x2－5|x|＋6＝0,得

(|x|－2)(|x|－3)＝0,

那么|x|＝2或3,从而x＝±2或x＝±3,故选B.

剖析上述错解就是把实数中的x2＝|x|2的结论无条件地搬到复数运算中,从而导致计算失误.

正解设x＝a＋bi(a,b∈R),那么原方程即为

得

误区2无论x在什么范围内,xmn＝(xm)n恒成立.

显然,当x∈R 时,xmn＝(xm)n恒成立,当x为虚数时,xmn＝(xm)n未必成立,举个最简单的例子:,这种错误可谓防不胜防.

A.1 B.i C.－i D.没有意义

错解因为,故选A.

剖析在实数集中,对任意x∈R,m,n∈R,有xmn＝(xm)n.而在复数集中,仅对m,n∈N*,有xmn＝(xm)n.上述错解盲目地将实数集中的指数运算法则直接推广到复数集的运算中.

正解,故选C.

误区3z＝a＋bi(a,b∈R)是纯虚数⇔a＝0.

当一个复数为纯虚数时,它的实部一定为零,它所表示的点在虚轴上,但是虚轴上的点未必都是虚数,因为原点代表的是实数0.

A.3 B.3或－1 C.－1 D.2

错解由lg(m2－2m－2)＝0,得m2－2m－2＝1,则m＝3或－1,故选B.

剖析复数z＝a＋bi(a,b∈R)是纯虚数的充要条件为,两者缺一不可,而上述错解恰恰没有考虑b≠0.

正解由故选A.

误区4a＋bi＝c＋di⇔a＝c,且b＝d.

复数的实部与虚部都是实数,两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等.而在“a＋bi＝c＋di⇔a＝c,且b＝d”中,参数a,b,c,d未必是实数.

A.1 B.1或－1

C.1或4＋i D.4＋i

故x＝1,选A.

剖析当且仅当a,b,c,d∈R 时,a＋bi＝c＋才成立,否则不成立.

正解由(x2－4x＋3)＋(x2－6x＋5)i＝0,得(x－1)[(x－3)＋(x－5)i]＝0,则x＝1或(x－3)＋(x－5)i＝0,即x＝1或4＋i,故选C.

误区5一元二次方程有实根⇔Δ≥0.

对于实系数一元二次方程来说,方程有实根⇔Δ≥0,但当这个方程是复数系数的一元二次方程时,结论未必成立.

A.k＝－2或0 B.k≤－4或k≥1

C.k＝－3或0 D.k＝－3或4

错解由3k－4＝(k－1)(k＋4)≥0,得k≤－4 或k≥1,故选B.

剖析本题计算判别式时含i的项刚好抵消,纯属巧合,试想如果不抵消,这个不等式还有意义吗?

正解设实根为t,则0,即解得故选C.

误区6一元二次方程若有虚根,则有两个虚根,且它们为共轭复数.

不难证明,对于实系数方程ax2＋bx＋c＝0,当Δ＜0时,它有两个互为共轭复数的虚根,但当系数中出现虚数时,结论还成立吗? 显然Δ＜0也无法做到,所以此时无法出现互为共轭复数的两个根.

A.－13 B.－17－6i

C.13 D.17－6i

错解因为2i－3是方程x2－6ix＋p＝0的一个根,则另一个根必是－3－2i,于是由根与系数的关系,得p＝(2i－3)(－2i－3)＝(－3)2－(2i)2＝13,故选C.

剖析对于一元二次方程,只有当系数都是实数时,若有虚根,虚根才会成对出现.本题的系数显然不全是实数,因此,虚根不是成对出现的,且不能用根与系数的关系处理.

正解设另一根为x1,由根与系数的关系得

故选B.

由此可见,解复数题不可盲目套用实数的公式,要用实数的某些公式,必须先审视或证明公式或结论在复数范围内是否成立.因此,对于复数问题,解答时我们必须“多个心眼”,可谓“小心驶得万年船”.

(完)