例谈菱形的判定方法

赵志川

菱形不仅是特殊的四边形，还是特殊的 平行四边形.判定菱形的方法多种多样，既可 以借助基本定义进行判定，也可以利用其重 要性质进行判定.对此，笔者就菱形的判定方 法进行了梳理，以期同学们能够熟练掌握和 灵活运用.

一、利用“一组邻边相等+平行四边形”判定

在同一平面内，有一组邻边相等的平行 四边形被称为菱形.根据这一定义，在判定一 个四边形是否为菱形时，同学们可以“一组邻 边相等+平行四边形”为判定依据，即考虑：这 个四边形的一组邻边是否相等；这个四边形 是否为平行四边形.若有一组邻边相等，且为 平行四边形，那么该四边形为菱形.

例1

分析：由已知条件中的△GNP 为等边三 角形，易知 NP = PG，因此只需要再证明四边形 MNPG 为平行四边形，即可得出它为菱形.根据△EFG 也为等边三角形，可知∠1=∠2=∠3=∠4=60° ， 进而易推出 MN ∥ GP，NP ∥ MG，这样四边形 MNPG 为平行四边形也就得证了.

证明：∵△EFG 与△GNP均为等边三角形，∴ NG =PG，∠1=∠2=∠3=∠4=60°.

∴ EF ∥ GP， NP ∥ MG.

又 MN ∥ EF，∴ MN ∥ GP，

∴四边形 MNPG 为平行四边形.∴四边形 MNPG 为菱形.

评注：菱形的定义，既是菱形的一个性质定理，也是菱形的判定定理之一.

二、利用“对角线互相垂直+平行四邊形”判定

对角线互相垂直的平行四边形为菱形.因此，在判定一个四边形是否为菱形时，同学们要注意思考如下情况：一是它的对角线是否互相垂直；二是该四边形是否为平行四边形.若它的对角线互相垂直，且为平行四边形，则该四边形为菱形.

例2如图2，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，MP ⊥ NQ 于 O.求证：四边形 MNPQ 为菱形.

分 析 ：本 题 已 知 条 件 中 明 确 给 出 了 MP ⊥ NQ，因此要证明四边形 MNPQ 为菱形， 只要证明该四边形为平行四边形即可.结合 题意，易知 AO = CO，BO = DO， 再借助∠1= ∠2，∠3=∠4，很 容 易 证 得 △AOM ≌ △COP， MO = PO. 同理，就不难得出 QO = NO，这样证 明四边形 MNPQ 为平行四边形也就完成了.

证明：

评注：在判定一个四边形为菱形时，若题 目中涉及对角线，同学们要注意考虑“对角线 互相垂直+平行四边形”这一方法.

三、利用“四条边相等+四边形”判定

菱形的四条边都是相等的.根据这一重 要性质，在判定一个四边形为菱形时，同学们 要注意从该四边形的四条边入手.若题目中 蕴含了几组边相等，同学们就要注意通过证 明四边形的四条边都相等，从而得出该四边 形为菱形.

例3 如图3，已知四边形 ABCD 为平行四 边形，对角线 BD 的垂直平分线与 AD、BC、BD分别相交于E、F、G，求证：四边形 BEDF 为菱形.

分析：本题由题意可知 EF 是 BD 的垂直 平分线，这样可知 BE = DE，BF = DF，这样要 证明四边形 BEDF 为菱形，只需再证明 DE = DF 即可.欲证明 DE = DF，只需要利用等角对 等边性质，证明 ∠DEF = ∠EFD.

证明：

评注：利用“四条边相等+四边形”这一方 法判定菱形时，可以不必再证这个四边形为 平行四边形.

总之，在判定一个四边形为菱形时，同学 们要注意判定的起点，若是判定某个平行四 边形为菱形，只需考虑一组邻边相等或对角 线互相垂直即可；若是判定某个四边形为菱 形，则需要考虑从四条边都相等或对角线垂 直平分两方面去判定.在具体解题过程中，同 学们应根据题目的已知条件选择相应的判定 方法.