怎样探究与旋转有关的规律问题

朱超

将平面图形绕着平面内的一个定点旋转 一定的角度，叫做旋转变换.以图形为载体、 以旋转为手段的规律探究题是将旋转融入到 几何图形的推理和角度、面积等的计算中.它 通过给出与图形有关的操作变化过程，要求 我们观察、分析、推理，探究其中蕴含的规律. 这类问题考查了同学们的操作、想象与猜想 归纳能力.解题的关键是树立动态观念，抓住 旋转过程中的不变量、不变关系，动中求静解 答问题.

一、探究點的旋转规律

在平面坐标系内，某一点绕原点旋转前 后坐标的变化规律如下：点 A（a，b） 绕原点旋 转 90°得点 A′的坐标是 （-b，a）；点 A（a，b） 绕原 点旋转 180°得点 A′的坐标是 （-a，-b）. 有些题 目中点的旋转角为 30°、60°、120°或 150°时， 就需要向坐标轴作垂线段，构造含有特殊角 的直角三角形，利用特殊角的边角关系和勾 股定理求解.

例1

分析：

解：

说明：本题以点的旋转为背景，要求同学 们探索平面内点的坐标的变化规律.解题的 关键是通过作图，观察分析旋转方向与坐标 符号的对应关系，进而探究出相应的规律．

二、探究线段的旋转规律

线段绕点旋转问题是平面旋转问题中的 基础内容.解答这类问题的关键是抓住“线段 绕点旋转后长度不变”这个性质，利用这个不 变性，可以求出相关线段的长度.在以线段的 旋转为背景的探究题中，同学们要学会通过 观察、计算，探究线段在多次旋转过程中“不 变”及“变化”的规律，用发现的规律去进一步 解题.

例2

分析：从上图中可以找出规律，弧长的圆 心角不变都是120°，变化的是半径，而且第一 次是1，第二次是2，第三次是3，依此下去，然 后按照弧长公式计算．

解：

说明：本题主要考查了同学们通过分析 特例归纳总结出一般结论的能力.对于找规 律的题目首先应找出哪些部分发生了变化， 是按照什么规律变化的.通过分析找到各部 分的变化规律后直接利用规律求解．

三、探究面的旋转规律

三角形或多边形绕点的平面旋转实质上 是一个图形的整体旋转问题．解答这类题的 关键是抓住旋转变换的两个特征，即绕点旋 转只改变图形的位置，而不改变图形的形状 和大小.所以在解答此类问题时，要充分利用 旋转前后的对应线段相等、对应角相等这些 重要条件，再综合利用题目中的其他相关条 件，使问题获解.

例 3 如图 3，将一个正三角形绕其中心 最少旋转60°，所得图形与原图的重叠部分是 正六边形；如图4，将一个正方形绕其中心最 少旋转45°，所得图形与原图形的重叠部分是 正八边形；依此规律，将一个正七边形绕其中 心最少旋转 °，所得图形与原图的重叠 部分是正多边形．在图 4 中，若正方形的边 长为4，则所得正八边形的面积为 ．

分析：

解：

说明：本题考查旋转的性质：旋转变化前 后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一 对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相 等．要注意旋转的三要素：①定点——旋转 中心；②旋转方向；③旋转角度．