一类不定方程整数解问题的求解策略

江苏省徐州市第一中学 (221004) 许 丽

1．基本问题的求解模型

问题n元一次不定方程x1+x2+…+xn=m(m≥n≥2)的正整数解(x1，x2，…，xn)的组数是多少？

竞赛对这一类不定方程问题情有独钟，常考常新．梳理近些年各省的预赛和全国联赛中有关n元一次不定方程的考题，发现这类问题在方程形式和解的制约关系等方面不断进行变化，通过改变方程的形式、增加限制条件、包装成别样面目等，将这类问题演绎得绚丽多姿，精彩纷呈．

2．形态多样的不定方程

例2 (2009湖北预赛)求不定方程x1+x2+x3+3x4+3x5+5x6=21的正整数解的组数．

例3 (2021福建预赛)设整数a，b，c满足0≤a≤10，0≤b≤10，0≤c≤10，10≤a+b+c≤20，则满足条件的有序数组(a，b，c)共有组．

解析：令a+1=x，b+1=y，c+1=z，则1≤x，y，z≤11，13≤x+y+z≤23．

例4 (2018上海预赛)求不定方程x+y+z+w=25满足x

例5 (2010全国高中数学联赛)方程x+y+z=2010满足x≤y≤z的正整数解(x，y，z)的个数是．

3．千姿百态的广泛应用

例6 (2002全国高中数学联赛)已知两个实数集合A={a1，a2，…，a100}与B={b1，b2，…，b50}，若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)，则这样的映射共有( ).

例7 (2012黑龙江预赛)将10个相同的小球装入编号为1，2，3的三个盒子(每次要把十个球装完)中，要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，则这样的装法种数为．

例8(2013辽宁预赛)将11个完全一样的小球放入6个不相同的盒子中，使得至多有3个空盒子的方法种数为．

例9 (2011内蒙古预赛)各位数字之和等于11的四位数的个数为．

例10 (2020浙江预赛)已知由6个正整数组成的六位十进制数中，其个位上的数字是4的倍数，十位和百位上的数字都是3的倍数，且六位数的数码和为21，则满足上述条件的六位数的个数为．

解析：由题意知，该六位数后三位(百位、十位、个位)上的数字所有可能为：334，364，394，634，664，934，338，368，638．

例11 (2021上海预赛)在正整数1，2，…，20210418中，有多少个数的数码和为8？

解析：设这样的正整数为n．

例12 (2016河北预赛)如果从数1，2，3，…，14中按由小到大的顺序取出a1，a2，a3，使得同时满足a2-a1≥3，a3-a2≥3，那么符合要求的不同取法数为．

例13 (2018湖北预赛)一枚骰子连续投掷4次，从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数的概率为．

例14 (2022重庆预赛)将一枚骰子连续投掷五次，则事件“五次出现的点数既不全相同，也不两两互异，且从第二次起每一次的点数都不小于前一次的点数”的概率为．