谈谈化简三角函数式的技巧

江明

在解题时，我们经常会遇到化简三角函数式的题目.此类题目的难度一般不大，往往需灵活运用三角函数中的基本公式以及三角恒等变换的技巧.下面结合实例，谈一谈化简三角函数式的几个技巧.

一、凑角

有些三角函数式中的角较多，且均不相同，此时需通过凑角，如给某个角凑上一个特殊角、凑上系数，或将两个角凑在一起，以使三角函数式中的角统一.再根据两角和差公式、辅助角公式、诱导公式、二倍角公式进行化简.

例1.求[tan20°+4sin20°]的值.

[20°]是非特殊角，无法直接求出其正弦、正切函数值，需将其凑成特殊角，才能求得函数式的值.于是先将目标式看作分母为1的分式，在分子、分母上同乘以[cos20°]，利用二倍角公式，将[20°]化为[40°]；再将[40°]化成[60°-20°]，凑出特殊角[60°]，即可根据[60°]的正、余弦函数值化简三角函数式，求得目标式的值.在化简三角函数式时，要仔细观察各个角，弄清各个角之间的区别和联系，通过凑角，将三角函数式化为只含一个角或特殊角的式子，这样便能顺利解题.

二、降幂

例2.若[cosα+cos2α=1]，求[sin2α+sin6α]的值.

解：因为[cosα+cos2α=1，]

而[cosα=1-cos2α=sin2α]，

所以[sin2α+sin6α= cosα+cos3α=cosα1+cos2α]

三、构造对偶式

对偶式是指两个式子的结构、形式一致，但运算符号、函数名称不同.有些三角函数式中含有多个单项式，且均为正、余弦函数式，此时可改变函数的名称，根据同角的互余关系、同角的三角函数平方关系式[sin2α+cos2α=1]来化简目标式.

解：设[m=cos2x+cos22x+cos23x，]（1）

[n=sin2x+sin22x+sin23x，]（2）

将（1）（2）两式相加可得[m+n]=3，（3）

将（1）（2）两式相减可得[m-n=cos2x-sin2x+cos22x-sin22x+cos23x-sin23x=cos2x+cos4x+cos6x]，

而[cos6x=2cos23x-1]，

所以[cos2x+cos4x=cos3x-x+cos3x+x]

[=2cos3xcosx]，

所以[m-n=2cos23x-1+2cos3xcosx]

[=2cos3xcosx+cos3x-1]，

又因为[cosx+cos3x=cos2x-x+cos2x+x]

[=2cosxccos2x]，

所以[m-n=4cosxcos2xcos3x-1]，（4）

将（3）+（4）得[2m=4cosxcos2xcos3x+2]，

因为[m=1，]所以[cosxcos2xcos3x=0，]

所以[cos2x=0]或[cos3x=0]，[cosx=0]（舍），

我们先根据目标式的结构特征，构造对偶式：[n=sin2x+sin22x+sin23x]；然后将两式相加减，即可根据同角的三角函数平方关系式[sin2α+cos2α=1]和正余弦的二倍角公式，得到关于m、n的方程组，通过解方程组求得x的值.

四、换元

有些三角函数式较为复杂，通常要将其中较为复杂的式子、频繁出现的式子用一个新元替换，通过换元，使函数式得以简化.常见的换元方法有整体换元、局部换元.

[76°]、[46°]、[16°]为非特殊角，很难求得其三角函数值.但仔细观察这三个角，可以发现[76°=60°+16°]、[46°=30°+16°]，于是令[β=α+16°]，通过换元，将非特殊角[α+76°]、[α+46°]、[α+16°]化为特殊角[60°]、[30°]与[β]的和，即可根据两角的和差公式，以及特殊角[60°]、[30°]的三角函数值化简目标式.

例5.若[cos3x=sin3x+1]，求[sinx]的值.

解：因为[sin2x+cos2x=1]，

所以[2cosxsinx=（cosx-sinx）2-1]，

由[cos3x=sin3x+1]，得[cos3x-sin3x=1]，

则[cosx-sinxcos2x+cosxsinx+sin2x=1]，

化简得[t3+t-2=0，]即[t=1]，

所以[cosx-sinx=1]，

可得[sinx=0，]或[sinx=-1].

解答本题，需先根据同角的三角函数平方关系式[sin2α+cos2α=1]以及立方差公式，将已知关系式化简.而化简后的式子中含有[cosx]、[sinx]及其平方式、积式，于是令[cosx-sinx=t]，通过换元，将已知关系式化为关于t的方程，通过解方程求得t的值，进而求得sinx的值.

五、平方

对于一些与正、余弦函数式有关的三角函数式，通常可将其平方，即可根据二倍角公式、同角的三角函数平方关系式[sin2α+cos2α=1]、辅助角公式，将函数式简化.

例6.已知[sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，]求[cos （α-β）]的值.

解：因为[sinα+sinβ+sinγ=0，]

[cosα+cosβ+cosγ=0，]

所以 [sinα+sinβ=-sinγ，cosα+cosβ=-cosγ，]

将两式平方，并相加得[sin2α+sin2β+2sinαsinβ+cos2α+cos2β+2cosαcosβ=-sinγ2+-cosγ2=1]，

题目中的已知关系式分别为正、余弦函数式，且均为一次式，于是分别将两式平方，再相加，即可得到正余弦函数式的平方式、积式，直接运用同角的三角函数平方关系式[sin2α+cos2α=1]、辅助角公式，即可求得问题的答案.

六、构造三角形

在化简三角函数式受阻时，我们可以将三角函数式与正余弦定理、勾股定理关联起来，或将函数式中的角与三角形的内角关联起来，构造出合适的三角形，即可根据三角形的性质、相关定理来解题.

例7.化简：[sin220°+cos250°+sin20°cos50°].

解：设[?ABC， A=20°， B=40°， C=120°]，其对边分别为a，b，c，

由余弦定理得[c2=a2+b2-2abcos120°]，

即[sin2120°=sin220°+sin240°+2sin20°sin40°cos120°]，

[sin220°+cos250°+sin20°cos50°]

[=sin220°+sin240°+sin20°sin40°]

[=sin220°+sin240°+2sin20°sin40°cos120°]

我們由目标式的结构特征，可联想到余弦定理，于是构造[?ABC]，并设[A=20°，B=40°，C=120°]，即可根据正弦定理建立三角形的边角关系，利用余弦定理求得目标式的值.

可见，化简三角函数式的技巧很多，同学们需熟练掌握这些技巧，根据解题需求和三角函数式的结构特征，选择与之相应的技巧进行求解，这样才能提升解题的效率.