求解三次函数问题的思路

谭春荣

三次函数较为特殊，其最高次数为三次.解答三次函数问题，需重点研究函数的解析式、性质、图象.下面一起来探讨求解三次函数问题的思路.

一、三次函数的切线问题

解答三次函数的切线问题，通常需根据导数的几何意义求三次函数图象在切点处的斜率.我们知道，函数f（x）在点x0处的导数[f（x0）]的几何意义是在曲线y＝f（x）上点P（x0，y0）处的切线的斜率，此时切线的方程为y－y0＝[f（x0）（x-x0）].对三次函数求导后，将切点的横坐标代入导数式，即可根据导数的几何意义求得三次函数图象在切点处的斜率.

例1.若过点[0，2]可作曲线[y=x3+3x2+ax+a-2]的三条切线，则[a]的取值范围是（     ）.

A. [-3，-1]     B. [-2，2]      C. [4，5]      D. [4，6]

解：设切点的坐标为[Px0，x30+3x20+ax0+a-2]，

由函数[y=x3+3x2+ax+a-2]，

可得[y=3x2+6x+a]，则[y|x=x0=3x20+6x0+a]，

所以切线的方程为[y-x30+3x20+ax0+a-2=3x20+6x0+ax-x0]，

因为切线过点[0，2]，所以[2-x30+3x20+ax0+a-2]

[=3x20+6x0+a0-x0]，

整理得[2x30+3x20+4-a=0]，

设[gx=2x3+3x2][+4-a]，所以[gx=6x2+6x]，

由[gx>0]得[x<-1]或[x>0]，由[gx<0]得[-1

所以[gx]在[-∞，-1]上单调递增，在[-1，0]上单调递减，在[0，+∞]上单调递增，

所以[a]的取值范围是[4，5]．故本题选C项．

先设出切点的坐标[Px0，x30+3x20+ax0+a-2]；然后根据导数的几何意义，求得切线的斜率和方程，即可根据切线过点[0，2]，得到[2x30+3x20+4-a=0]；再设[gx=2x3+3x2][+4-a]，根据导函数与函数单调性之间的关系判断出函数[gx]单调性和极值，便可建立关于a的不等式组.

二、三次函数的单调性问题

判断三次函数的单调性，往往需先对函数求导，然后根据导函数与函数单调性之间的关系进行判断.若导函数大于0，则函数在该区间上单调递增；若导函数小于0，则函数在该区间上单调递减.

（2）若[f（x）]在区间[（m，+∞）]上有极小值，求实数[m]的取值范围．

（2）由（1）知[f′（x）=0]，即[x2+mx-1=0]，

当[xx2]时，[f′（x）>0]，当[x1

所以函数[f（x）]在[（-∞，x1），（x2，+∞）]上单调递增，在[（x1，x2）]上单调递减，

因此函数[f（x）]在[x2]处取得极小值，

求解这类三次函数单调性、极值问题，应先根据导函数与函数单调性之间的关系判断出函数在各个区间上的单调性；再根据函数单调性和极值的定义确定极值.必要时可根据函数的单调性画出相应的图象，借助函数的图象来解题.

三、三次函数的零点问题

函数的零点问题可以转化为函数与x轴的交点问题.在求解三次函数的零点问题时，可先根据导数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性、极值；然后画出函数的图象，通过研究函数图象与x轴的交点，求得问题的答案.

例3.已知函数[fx=x3-3x]，则函数[hx=ffx-c]，[c∈-2，2]的零点个数为（     ）.

A. 3      B. 5      C. 10      D. 9

解：令[hx=ffx-c=0]，

则[ffx=c]，

令[fx=t]，即[ft=c]，

可知[fx=3x2-3]，由[fx>0]，得[x>1]或[x<-1]，由[f′x<0]得[-1

所以函数[fx]在区间[-∞，-1]和[1，+∞]上单调递增，在区间[-1，1]上单调递减，画出如图所示的图象.

因为[c∈-2，2]，所以方程[ft=c]有[t1，t2，t3]三个解，

当[0

當[c=0]时，[-2

当[-2

当[-2

当[0

当[1

故函数[hx]有[9]个零点.故选D项.

对于嵌套函数[hx=ffx-c]的零点问题，通常需先换元，即令[fx=t]，将问题转化为求函数[ft]的图象和直线[y=c]的交点问题；然后根据导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性、极值，画出函数的图象，便可借助三次函数的图象来进行分析，快速确定零点的个数.

四、三次函数对称问题

三次函数的图象为中心对称图形.一般来说，三次函数的对称中心的横坐标即为二次导函数的零点.在解题时，需根据中心对称图形的性质，以及三次函数的解析式来确定对称中心的坐标、参数的值或取值范围.

例4.已知任意三次函数的图象必存在唯一的对称中心.若函数[fx=x3+ax2+bx+c]，且[Mx0，fx0]为曲线[y=fx]的对称中心，则必有[gx0=0（]其中函数

A. [-4]       B. [-3]       C. [-2]       D. [-1]

解：令[fx=x3+6x2+13x]，則[fx=3x2+12x+13]，

令[hx=3x2+12x+13]，[hx=6x+12=0]，

解得[x=-2]，

又[f-2=（-2）3+6×（-2）2+13×-2=-10]．

所以函数[fx]的图象关于点[-2，-10]对称．

又[f′x=3x2+12x+13=3x+22+1>0]，

所以函数[fx=x3+6x2+13x]在[R]上单调递增，

所以[m+n=2×-2=-4]. 故选A项．

求三次函数的对称中心，只需对三次函数进行两次求导，便可根据拐点的定义确定函数图象的对称中心，其横坐标即为二次导函数的零点.

五、三次函数不等式问题

三次函数不等式问题比较常见.在解题时，通常要先根据导函数的性质来研究三次函数的单调性、极值，以画出函数的大致图象；然后利用三次函数的单调性、对称性、图象来求不等式的解集、证明不等式成立、求参数的取值范围.

例5.已知三次函数[fx=x3-3x].若对于区间[-3，2]上任意两个[x1，x2]，都有[fx1-fx2≤t]，求实数t的最小值.

解：令[fx=0]解得[x=±1]，

当[-30]，

所以函数[fx]单调递增；

当[-1

而[f-3=-18， f-1=2，f1=-2， f2=2]，

所以在区间[-3，2]上，[fxmax=2， fxmin=-18]，

则在[-3，2]上要使[fx1-fx2≤t]，

需使[fx1-fx2≤fxmax-fxmin=20]，

所以[t≥20]，所以[t]的最小值是20.

解答本题，需先根据导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，求得函数的最大值、最小值，确保[fx1-fx2≤fxmax-fxmin]，即可确定t的最小值.

从以上分析可以看出，解答三次函数问题，需注意：（1）重点研究三次函数的解析式、图象与性质，利用其解析式、图象、性质解题；（2）学会利用导数知识来判断三次函数的单调性、求三次函数的最值.