火箭整流罩锥壳夹层结构不确定性轻量化设计

董欣心，岳振江，王志，刘莉

(北京理工大学 宇航学院，北京 100081)

Abstract： In order to analyze the influence of uncertainty on the thermal stability of the launch vehicle fairing cone shell sandwich structure and to guide the lightweight design of the structure, a model of the fairing front cone section sandwich shell is established and a temperature field model is built, based on which the thermal stability analysis of the cone shell is carried out and the critical axial pressure under the combined force-thermal load is derived.For the primary uncertainty factors, interval uncertainty optimization models and sensitivity analyses are also produced.The interval probability approach is then used to convert these models into deterministic optimization problems, which are then resolved using the genetic algorithm-collocation interval analysis method (GA-CIAM)method.The calculation results show that considering the influence of aerodynamic/thermal load and material parameter uncertainty, the optimization design of the front cone section of the fairing can effectively realize the structural lightweight on the premise of meeting the design requirements.

Keywords： cone shell of fairing；sandwich structure；thermal stability analysis；interval uncertainty optimization；lightweight design

随着航天技术不断进步，火箭的飞行速度也在不断提高，这对整流罩的综合性能提出了更高要求。火箭高速飞行时，整流罩表面驻点温度近似正比于飞行速度的平方[1]，摩擦带来的气动热引起整流罩壁的快速升温，由于外部环境对结构的约束及各部分之间的相互作用，结构不能完全自由的热胀冷缩，引起很高的热应力。

针对这一问题，国内外许多学者开展了圆柱壳及圆锥壳的热稳定性分析相关研究。Meyers 等[2]分析了对称铺层复合材料平板的热屈曲响应，并讨论了不同方向铺层及不同边界条件下的热屈曲情况。此后，许多国外学者基于一阶剪应变理论对功能分级材料(functionally gradient materials, FGM)开展了一系列研究[3-6]，对不同防热材料、不同加筋形式的圆柱壳、圆锥壳结构在力载荷作用下的屈曲临界载荷及在温度载荷作用下的屈曲临界温度进行分析，推导得到了其理论解。

在国内，也有许多学者针对薄壳的热稳定性问题开展研究。张东等[7]对轴压和温度载荷作用下圆柱加筋壳的热屈曲问题进行分析，通过推导给出了临界屈曲载荷和临界温度载荷的解析表达。整流罩多采用复合材料，复合材料能够有效提升结构的隔热性能及热载荷承受能力，针对复合材料的热稳定性问题，唐统帅[8]分析了复合材料格栅加筋结构的热应力分布规律，并对加筋板结构尺寸开展设计以提升其散热性能和承载性能。徐腾飞等[9]基于经典薄板理论，利用分离变量法对柔性支撑FGM矩形薄板的热屈曲进行分析，推导得到了其闭式解。

整流罩锥段需要同时承受轴压载荷和气动热引起的热载荷，对于圆锥壳在力热联合载荷作用下的屈曲分析，相关研究依然较少。并且，飞行过程中所受载荷及结构材料的力学性能参数、热物性参数均存在一定的不确定性。现有的分析及基于此开展的结构设计并未充分考虑参数不确定引起的结构承载能力不确定性，给定的安全系数通常存在较大冗余。近年来，不确定性优化设计[10-11]的概念逐渐在设计领域受到重视，其前提是不确定性量化(uncertainty quantification, UQ)，主要思想是在设计过程中通过对模型输出响应的不确定性定量描述提升模型的可信度。不确定性优化设计可以通过定量分析承载能力波动范围，使设计结果更加精确，在降低结构质量的同时保证可靠性。

不确定性优化设计方法旨在通过稳健性设计获取可行域内对于设计变量变化不敏感的最优值，按处理方法可以分为概率方法、非概率方法和概率-非概率混合方法。通常，如果不确定性因素的概率分布已知可以采用概率方法，若分布未知而变化范围已知可以采用区间方法，若部分参数分布已知而部分只能确定变化区间则可以采用混合方法。其中区间方法对于数据的要求较低，设计简单，因此在工程上使用更加广泛。

本文考虑整流罩部分承受较强的气动加热，存在热应力，建立整流罩锥段的夹层结构模型，分析轴压载荷和气动热载荷联合作用下锥壳的载荷承受能力。建立区间不确定性优化模型，采用遗传算法嵌套区间分析方法求解，对整流罩前锥段夹层结构开展结构轻量化设计，并对优化结果进行对比分析。

1 圆锥壳热稳定性分析方法

1.1 整流罩前锥段圆锥壳模型建立

整流罩前锥段常采用复合材料结构，由上下2 层面板及中间的夹心芯子组成，还包括一些加强框、加强板及支撑桁、爆炸螺栓等连接和加强结构。为对其进行参数化表征，作出一定假设，认为前锥段为完整的复合材料结构，不考虑局部连接和加强结构，建立参数化模型如图1 所示。沿壳长度方向为x 方向，x 方向的位移为u，垂直于x 方向为壳的厚度方向z 方向，z 方向的位移为 w。

图1 前锥段夹层结构参数化模型Fig.1 Parameterized model of sandwich structure of the front cone section

为计算热稳定性，需对面板及芯子的材料性能参数进行定义。性能参数主要包括材料的弹性模量、泊松比，以及描述物体在温度改变时膨胀收缩能力的热膨胀系数。热膨胀系数的定义为在等压条件下，单位温度变化所导致的体积变化。本文为简化计算，设面板和芯子泊松比相等。

锥壳所受热应力与结构内部温度分布相关，因此，需要建立温度场模型，分析在热流作用下结构内部温度分布情况。壁面厚度方向的尺寸远小于另外2 个方向，此时可以把箭体壁面近似视为平板进行考虑。在壁面内，可以假设热传导只沿壁厚方向进行，将原本的三维传热问题简化为一维传热问题[12]。

传热边界条件为：结构层外表面净吸收热流密度为常值 q0，内壁为绝热条件。初始时刻，结构层沿厚度方向不存在温差，即 t =0时 刻有T0=Tn=Tinit。由此初始条件计算一段时间后结构层沿厚度方向的温度分布，采用有限差分法，将结构层分为 N层，以每层中点处的温度代表该层温度，如图2 所示，通过热传导傅里叶方程描述温度空间分布随时间变化。

图2 沿壁厚方向温度分布Fig.2 Temperature distribution along thickness direction

1.2 温度场模型建立

1.3 圆锥壳热稳定性分析

依据文献[5]，将应力-应变方程进行整合并在壳体厚度方向积分取矩，可以得到锥壳的力、力矩合力及横向力合力表达式为

由此，屈曲状态下的力和力矩的合力也可表示为平衡状态量加扰动量：

图3 圆锥壳边界条件Fig.3 Boundary conditions of conical shell

2 区间不确定性优化方法

2.1 区间不确定性优化模型

在处理不确定性约束时，引入区间可能度方法[14]，定量比较区间两区间大小关系。认为区间数A 和B 在区间内均匀分布，区间A 和B 所有可能的相对关系可分为以下6 种，如图4 所示。

图4 区间A 与区间B 可能的相对关系Fig.4 Possible relationship between interval A and B

对应不同相对关系，基于概率方法给出区间可能度模型：

2.2 区间分析方法

传统的区间不确定性优化常采用遗传算法等智能优化算法确定目标及约束函数的上下界，结合外层的设计变量寻优，双层嵌套优化导致计算量巨大。采用区间分析方法取代内层优化可以有效提升计算效率，常用的区间分析方法包括基于Taylor展开的区间分析方法(Taylor interval analysis method, TIAM)和由此发展出来的配点型区间分析方法(collocation interval analysis method, CIAM)[15]。配点型区间分析方法由基于Taylor 展开的区间分析方法发展而来，具有更高的计算精度，其思想为采用第1 类Chebyshev 多项式逼近响应函数，获得响应函数的区间上下界。项式：

当优化模型中有多个约束时，对每个约束依次计算上下界，然后采用区间可能度方法计算。

2.3 不确定性优化流程

采用遗传算法-区间分析方法(GA-CIAM)求解不确定性优化问题。优化流程如图5 所示。

图5 不确定性优化流程Fig.5 Flow diagram of uncertainty optimization

3 优化模型建立及结果分析

3.1 优化模型建立

由于在结构设计阶段，整体外形尺寸往往已经由总体设计确定，因此，给定其整体外形参数，仅对夹层结构厚度展开不确定性优化设计。锥壳锥角为17°，壳长4.2 m，小端半径为0.63 m，大端半径为1.85 m。面板、芯子泊松比均为0.3，玻璃板热膨胀系数为7.1×10-6(1/℃)，泡沫芯子热膨胀系数为8×10-5(1/℃)，结构初始温度为均匀分布的20 ℃，净吸收热流密度为20 kW/m2，作用时间150 s。为计算结构质量，需给定材料密度，玻璃板密度为1.8×10-6kg/mm3，泡沫夹层密度为3×10-7kg/mm3。设计变量为面板及芯子厚度，设计空间上下界和初始值如表1 所示。不确定性变量为需用轴压、热流参数及材料的力热性能参数。不确定性变量上下界如表2 所示。

表1 设计变量设计空间及初值Table 1 Design space and initial value of design variables

表2 不确定性变量上下界Table 2 upper and lower bounds of uncertainty variables

为描述不同因素对响应不确定性的影响程度，通常进行灵敏度分析，方差灵敏度分析法又称为Sobol 方法，通过输入变量的方差在系统响应中的贡献度来衡量该变量的重要程度，能充分表征变量对响应的影响程度，因此，采用Sobol 法分析灵敏度，Sobol 指数的取值在 [0,1]之间，取值越大说明响应对输入的变化更加灵敏。本文对热流参数，分别是净吸收热流 q0和 热流作用时间t，以及材料热物性参数，分别是玻璃板比热容、泡沫夹层比热容、玻璃板导热率、泡沫夹层导热率进行灵敏度分析。结果如图6 和图7 所示。

图6 热流不确定性因素Sobol 灵敏度指数Fig.6 Sobol sensitivity index of heat flux uncertainties

图7 材料不确定性因素Sobol 灵敏度指数Fig.7 Sobol sensitivity index of material uncertainties

从灵敏度分析结果图6、图7 可知，热流不确定性对温度分布影响较大，其中净吸收热流密度主要影响外壁及近外壁界面温度，内壁及近内壁界面温度对热流作用时间更敏感。材料不确定性因素对响应影响差别较大，泡沫层比热容和玻璃板导热率对响应灵敏度很小，玻璃板比热容对各层的影响相似，泡沫夹层导热率对外壁温度基本无影响，对内壁温度起主要主用。

以结构质量作为目标函数，约束为结构不失稳且内壁温度满足温度限制。结构质量为结构尺寸参数的函数，表示为

约束条件首先考虑结构在力热联合条件下的稳定性问题，要求结构在轴压和热应力作用下失稳临界轴压不大于需用轴压载荷，同时，要求结构内壁温度低于临界温度，本算例设定为 Tcr= 40 ℃。计算过程中，对某一设计点，需首先由热传导求得带有不确定性的结构内外温度上下边界，再将温度及材料参数的不确定性共同作为稳定性分析的输入，求得结构临界轴压载荷的上下边界。由此可以得到前锥段夹层结构优化问题的不确定性优化模型为

3.2 优化结果及分析

优化方法选用GA-CIAM 方法，外层采用GA对设计变量寻优，内层通过CIAM 方法确定约束上下界。本问题仅有2 个设计变量，故将遗传算法的种群规模设为25，最大代数100，交叉概率0.8，变异概率0.1，罚函数法的初始罚函数为10，罚因子为100。CIAM 方法多项式阶数为5 阶，高斯积分点数为10，将不同约束的区间可能度都选为0.8 进行优化。得到设计结果为面板厚度 ts=1.600 mm，芯子厚度 tc=16.500 mm，最终结构质量为352.674 kg。

将所得优化结果的目标函数及约束的性能参数与优化前进行对比，结果如表3 所示。

表3 优化结果对比Table 3 Comparison of optimization results

从结果表3 可以看出，优化后相比优化前失稳临界轴压有一定下降，满足稳定性约束，优化后面板及芯子厚度变薄，内外壁温差增大，结构质量减轻了14.86%。本算例中，优化前后结果均满足内壁温度约束，如果作用在结构上的热流增大或加热时间变长，该约束可能会变为起作用约束，因此，需要对其进行限制。

保持其余参数不变，分别将区间可能度水平改变为0.2、0.5、1.0 重新进行优化，将所得结果进行对比，结果如表4 所示。

表4 不同可能度水平下不确定性优化结果Table 4 Uncertainty optimization results under different possibility levels

当可能度水平取为0.2 时，结构质量相比优化前减重19.05%；当可能度水平取为1.0 时，结构质量相比优化前减重12.04%。可能度水平由1.0 减小至0.2，质量下降约7.97%，可以看出对本问题而言，在需用载荷变化范围内结构重量变化不大，可以通过适当的质量代价追求更高的设计可靠性。

4 结 论

1）建立了火箭整流罩圆锥壳夹层结构参数化模型，建立一维热传导模型获取热流作用下结构温度场，推导了考虑热应力情况下圆锥壳的稳定性平衡方程，采用伽辽金法求解方程，给出了失稳临界轴压的表达式。

2）建立了区间不确定性优化模型，采用区间可能度方法将不确定性优化模型转换为确定性优化模型，采用GA-CIAM 方法代替原本的GA 嵌套寻优方法，降低了计算量。

3）对整流罩前锥段夹层结构圆锥壳开展了考虑气动力/热载荷及材料参数不确定性的结构优化设计，获得了满足设计要求且质量更轻的设计结果，研究了改变可能度水平对设计结果的影响，为不同可靠性要求的设计过程提供指导。

附录A: