大行程柔性微定位平台的伴生转动分析

孟刚，黄河，吴伟官，居勇健，曹毅，2，*

(1.江南大学 机械工程学院，无锡 214122；2.江苏省食品先进制造装备技术重点实验室，无锡 214122)

柔性机构是一类依靠材料弹性形变实现力和运动传递的新型机构[1-2]，具有无间隙、无摩擦磨损、定位精度高、可靠性强、适应性广等优点[3]。柔性微定位平台[4-5]是一类典型的能实现稳定、精确定位的柔性机构，是实现精密定位的主要载体。因此，被广泛应用于航空航天[6-7]、微机电系统[8]、生物医药[9]及精密工程[10]等领域。

随着精密定位技术的迅速发展，对柔性微定位平台的性能提出了更高的要求，兼具大行程、高定位精度及良好动态特性已成为微定位平台设计的基本准则[11]。目前，对具有大行程的柔性微定位平台研究虽已取得一定成果，但运动过程中产生的伴生转动对平台定位精度造成的不利影响，导致其难以满足较高水平的定位需求，因此，对大行程柔性微定位平台伴生转动的研究是实现其精密定位的关键所在。牟新明等[12]提出了对平行簧片机构伴生转动的理论建模方法，有效降低了机构的导向误差；Luo 和Liu[13]结合伪刚体模型对大行程分布柔度式导向机构的伴生转角进行了理论分析，并基于此进一步提高了其伴生位移的理论精度；Hao 等[14-15]采用分布柔度式柔性杆设计了一种空间平动柔性微定位平台，并对其伴生转角、耦合位移进行分析，并基于刚度中心重合的结构优化方法提出了一种伴生转动最小化的柔性微定位平台；Su 等[16]通过对柔性机构寄生运动的研究，提出了基于瞬心的伴生转动分析方法；此外，Awtar 等[17]基于约束设计法，提出了一种大行程柔性微定位平台，并对其伴生转动进行了有限元仿真分析；Lin 等[18]基于对称结构提出了一种低伴生转动的微定位平台，并完成了相关实验测定。

综合文献[12-18]不难发现，目前对伴生转动的研究多集中于对基本运动副的理论建模、对平台伴生转动的定性分析及仿真实验测定，而对微定位平台整体伴生转动的系统性理论分析相对欠缺。基于此，本文针对大行程柔性微定位平台伴生转动问题进行深入研究。首先，提出一种基于柔性杆的大行程柔性微定位平台结构；其次，基于线弹性梁理论模型建立了柔性运动副伴生转角的理论模型；然后，分别对所提平台在单轴、双轴及三轴驱动条件下伴生转动进行理论分析，并基于有限元仿真验证了理论模型的正确性；最后，探究了柔性杆结构参数与平台伴生转动之间的灵敏度关系，并据此提出了改善所提平台运动性能的优化方案。

1 微定位平台的结构设计

柔性微定位平台与刚性并联机构类似，为保证其具有良好动态特性，常采用并联式结构[19]，同时采用分布柔度式[20]柔性单元满足平台大行程的需求。为便于实现高精度定位，平台应具有良好的解耦特性[21]及较低的伴生转动。

图1 为具有两移一转（PPR）自由度的柔性运动副，其中P（prismaticjoint）代表移动副，R（revolutejoint）代表转动副，其结构为2 组四杆结构通过反向串联连接组成，该连接方式在增加运动行程的同时，抵消了2 组四杆结构运动时产生的寄生运动，提高了平台运动的解耦特性。图中：L 为连接模块十字型杆长度，D 为刚性连接模块高度，s 为外四杆结构自由端刚性块高度，l 为柔性杆长度，t 为柔性杆厚度，d 为外四杆结构柔性杆杆间距。基于自由度与约束空间拓扑法[22-23]及螺旋理论[24]，其运动自由度可表示为

图1 PPR 型柔性运动副Fig.1 PPR compliant kinematic joint

式中：x、y 为运动副沿x、y 轴的移动自由度；θz为运动副绕z 轴的转动自由度。

基于图1 的PPR 型柔性运动副所提的三移一转（3-PPPR）型柔性支链结构如图2 所示，4 个相同的两移一转型柔性运动副并联连接组成其驱动副，并在正交方向通过与被动副串联连接，组成支链整体。支链驱动副及其整体运动自由度可分别表示为

图2 PPPR 支链结构Fig.2 Structure of PPPR branch chain

支链驱动副的单移动自由度满足驱动器不可承受横向载荷的特点，支链整体自由度数不少于微定位平台预期可实现的自由度数，满足空间平动柔性微定位平台支链的自由度要求。

基于图2 的柔性支链，所提的3-PPPR 型大行程柔性微定位平台结构如图3 所示，3 条相同的PPPR 型柔性支链相对动平台呈空间正交分布，其结构的完全各向同性保证了平台各方向具有相同的静、动态特性，且无冗余驱动现象，便于对其进行分析。平台运动自由度可表示为

图3 3-PPPR 平台结构示意图Fig.3 Structure of 3-PPPR micro-positioning platform

2 微定位平台伴生转动分析

空间平动柔性微定位平台在理想状态下，运动副内部结构受力变形完全相等，输出动平台只有平动没有转动。但实际工作过程中，运动副内部柔性杆受驱动力作用产生的弹性变形并不完全相等，进而导致输出动平台在平动的同时，产生微小转动，称之为伴生转动[25]，其转角为伴生转角。伴生转动的存在将影响平台的定位精度，因此，有必要对平台伴生转动进行理论分析。

2.1 PPR 运动副伴生转动分析

图4 为一端固定的柔性导向梁，基于梁的弯曲变形理论，柔性梁挠度曲线近似的微分方程为

图4 柔性固定导向梁受力分析Fig.4 Force analysis of compliant fixed guide beam

式中：E 为材料弹性模量；I 为柔性杆截面惯性矩；l 为杆长度；ω 为其弯曲变形量；F 和M 分别为其末端所受力与力矩；FN为其轴向拉/压力。

考虑到PPR 柔性运动副反向串联结构，柔性杆不会产生轴向形变及拉/压力，则有FN=0。

其挠度及端截面转角方程分别表示为

式中：ω′′为 柔性杆挠度；ω′为柔性杆端截面转角。

如图5 所示，基于柔性固定导向梁组成的PPR柔性运动副在承受水平力F 时产生伴生转动，其转动效果等效于外四杆结构分别受力Fa、力偶Ma及内四杆结构受力Fb、力偶Mb作用的累加，其中：Fa=Fb=F、Ma=F(s+0.5D)、Mb=F(s+l+0.5D)，s、l 和D 均为柔性运动副结构参数（见图1）。

图5 PPR 运动副伴生转动示意图Fig.5 Schematic diagram of parasitic rotation of PPR joint

假设运动副中刚性部件具有绝对刚度，运动过程中不产生自身形变，则4 种载荷情况下的形变示意图分别如图6～图9 所示，其伴生转动将在本节进行逐一分析。

图6 为外四杆结构受力形变示意图，在水平力Fa作用下，两侧柔性杆产生不同形变状态。左侧柔性杆受拉力FN1，产生轴向拉伸形变量为Δl1，右侧柔性杆受压力FN2，其压缩量为Δl2，二者导致平台产生偏转角 θFa，基于几何关系，则有

图6 外四杆结构受力形变示意图Fig.6 Deformation of external beams subjected to horizontal force

考虑其对称结构，两侧柔性杆末端受力、力偶关系及整体平衡方程可表示为

式中：F1和F2为柔性杆所受横向力；A 为柔性杆截面积。

基于式(7)端截面转角方程，柔性杆末端转角可表示为

图7 为外四杆结构受力矩形变简化示意图，在附加力矩Ma作用下，左、右两侧柔性杆分别承受拉力FN1、压力FN2，并产生轴向形变Δl1、Δl2，设平台产生偏转角为 θMa，根据几何关系有

图7 外四杆结构受力矩形变示意图Fig.7 Deformation of external beams subjected to moment

附加力偶Mb1、Mb2大小相等，方向相反，二者共同作用引起的结构绕z 轴方向扭转角互相抵消，故在此不予考虑。

图8 内四杆结构受力形变示意图Fig.8 Deformation of internal beams subjected to horizontal force

图9 为内四杆结构受力矩Mb作用下产生的伴生转动示意图，左、右两侧柔性杆受力分别产生轴向形变，中间柔性杆不产生形变，设其偏转角为 θMb，则其形变及力偶平衡关系为

图9 内四杆结构受力偶形变示意图Fig.9 Deformation of internal beams subjected to moment

2.2 PPPR 支链伴生转动分析

图10(a)为基于PPR 型柔性运动副组成的平台支链伴生转动示意图，在水平力F 作用下，支链产生的伴生转角由两部分组成：① 被动PPR 副受力F 产生的伴生转角θPPR，已在2.1 节分析；② 驱动P 副受力矩M 产生的伴生扭转角α、偏转角β，示意如图10(b)所示。

支链受水平力F 作用时，在驱动副中心产生附加力矩M=F(s+2l+L+D)，如图10(b)所示。在力矩M 作用下，x 轴方向运动副发生绕y 轴方向偏转，偏转角为α，y 轴方向运动副发生绕y 轴方向扭转，其扭转角为β，且α=β。假设Md、Mt分别为使运动副发生偏转、扭转的力矩分量，则

图10 PPPR 型柔性支链伴生转动示意图Fig.10 Schematic diagram of parasitic rotation of PPPR limb

式中：Kd和Kt分别为运动副偏转及扭转刚度，Kt的具体分析可参阅文献[26-28]。

基于式（21），支链驱动副产生的伴生扭转角和偏转角为

则支链整体受x 方向水平力F 作用产生绕y 轴方向的伴生转角为

2.3 3-PPPR 平台伴生转动分析

微定位平台运动包括单轴、双轴及三轴驱动，分别对应不同的运动状态，故其伴生转动也不尽相同，因此，有必要分别对3 种运动状态下伴生转动进行分析。本文考虑x 单轴驱动，x、y 双轴驱动及x、y、z 三轴同时驱动情况下平台的伴生转动。

2.3.1 单轴驱动平台伴生转动分析

以x 轴方向单轴驱动为例，其伴生转动示意如图11 所示，平台y、z 方向支链均会产生伴生转动，其中y 方向支链产生绕z 轴的伴生转角 θzx，z 方向支链产生绕y 轴的伴生转角 θyx。

图11 单轴驱动平台伴生转动示意图Fig.11 Parasitic rotations of uni-axis driven platform

图12 为xz 平面支链伴生转动原理图，平台沿x 轴方向单轴驱动时，z 方向支链及动平台受力产生绕y 轴转角 θyx，由于结构的整体性，继而导致x 支链产生同样伴生转角，则有

图12 平台伴生转动原理图Fig.12 Schematic diagram of parasitic rotation of platform

式中：Fz为z 方向支链的有效水平力；kPPR为PPR 柔性运动副的平移刚度；δinx为x 方向驱动力作用下产生的驱动位移；Kx和Kz为输入力条件下平台支链的广义伴生转动刚度。

同理，微定位平台沿x、z 方向及y、z 方向双轴驱动时，输出动平台各方向产生的伴生转角分别为

图13 双轴驱动平台伴生转动示意图Fig.13 Parasitic rotations of bi-axis driven platform

式(30)表明该微定位平台三轴同时驱动时，动平台在各方向均不会产生伴生转动，其定位精度不受伴生转动影响。

通过对柔性运动副、支链及微定位平台3 种驱动状态下伴生转动的分析，明确了其变形机理，为微定位平台伴生转动的灵敏度分析及优化奠定了理论基础。

3 仿真验证

为验证第2 节伴生转动理论模型的正确性，基于ABAQUS 对平台进行有限元仿真验证，平台选用材料7075 铝合金及材料特性、尺寸数值如表1所示，为尽可能提高仿真精度，设定柔性单元部分网格为1 mm，其他部分为4 mm，选用四面体单元进行网格划分以提高分析速度，经检测其整体网格化误差为1.30%，符合仿真要求，在各支链被动副连接模块处施加固定约束。为分析平台不同驱动条件下的伴生转动，对平台分别施加单轴、双轴及三轴驱动力，如图15 所示。

图15 不同驱动条件下平台的仿真分析Fig.15 Simulation analysis of platform under different driving conditions

表1 平台材料及尺寸参数Table 1 Material and dimension parameters of platform

对平台各方向分别施加20 N 驱动力，各驱动状态下动平台产生绕各方向伴生转角的理论值、仿真值及其相对误差如表2 所示。

以x 轴方向单轴驱动为例，在0～20 N 驱动力作用下，支链及平台产生绕y 轴伴生转角的理论、仿真值曲线如图16 所示。

基于表2 及图16 可以得出以下结论：

图16 支链及平台伴生转角Fig.16 Parasitic rotational angles of limb and platform

表2 平台伴生转角理论、仿真值及其相对误差Table 2 Theoretical values, simulation values and relative errors of parasitic rotational angles

1）在0～20 N 驱动力作用下，支链产生最大伴生转角的理论及仿真值分别为8.96×10-4rad 和8.77×10-4rad，最大相对误差不超过2.12%；平台产生最大伴生转角的理论及仿真值分别为4.48×10-4rad 和4.39×10-4rad，最大相对误差不超过2.01%，二者结果的高度吻合，验证了伴生转动理论模型的正确性。

2）驱动条件相同的情况下，平台单轴驱动产生的伴生转角为支链伴生转角的一半，这与2.3.1 节理论分析模型相吻合。

3）平台在多轴驱动时，可利用结构特性抵消部分伴生转动，提高了该方向定位精度；且平台三轴同时驱动时，动平台各方向均不存在伴生转动，运动效果最佳。

4）平台运动过程中，驱动力与伴生转角之间呈现明显的线性关系，表明该平台具有良好的线性特性；同时，也有利于通过线性误差补偿的方式来进一步提高平台定位精度，简化了平台的控制系统设计。

4 灵敏度分析

为保证大行程柔性微定位平台具有较高的定位精度，需尽量减小平台运动过程中产生的伴生转角，因此，有必要对其进行灵敏度分析，进一步明确柔性杆结构参数与平台伴生转角之间的关系，以便设计满足性能要求的微定位平台。

基于第2 节理论模型及有限元仿真，分别对平台伴生转角进行灵敏度分析，得出平台伴生转角与柔性杆尺寸参数（杆长度l、杆厚度t、杆间距d）之间的关系如图17 所示。

图17 平台伴生转角与柔性杆尺寸参数之间的关系Fig.17 Relationship between beam parameters and parasitic rotation of platform

由图17 可知伴生转角理论模型与仿真结果具有较高的吻合度及相同的变化趋势，表明了柔性杆尺寸参数在一定范围内变化对理论模型具有良好的适应性。同时，灵敏度分析结果显示，通过减小柔性杆的长度l、增大柔性杆的厚度t 及杆间距d均可有效减小平台运动过程中产生的伴生转角，且柔性杆厚度t 对伴生转角的影响最为显著，杆长度l 次之，杆间距d 影响最小。

值得指出的是，通过调节柔性杆长度l 来减小伴生转角的同时，亦会限制微定位平台的有效运动行程，难以同时满足大行程、高定位精度的性能要求。

因此，在保证平台运动性能的同时，可通过以下方面降低其伴生转动的影响：

1）调节柔性杆尺寸参数，通过增大柔性杆厚度t 及杆间距d 减小伴生转角。

2）改善驱动方式，采用多轴同时驱动的方式可有效减小或抵消部分方向伴生转角。

3）优化结构布局，采用支链对称分布的五、六支链结构，利用结构对称性抵消平台单轴驱动产生的部分伴生转角。

5 结 论

1）提出一种基于柔性杆的3-PPPR 型大行程柔性微定位平台。

2）基于线弹性梁变形理论，考虑柔性杆轴向微小形变，对柔性运动副及平台在单轴、双轴及三轴同时驱动条件下产生的伴生转角进行系统性分析，并完成理论建模。

3）通过有限元仿真对柔性运动副及平台在3 种驱动条件下产生的伴生转角进行分析，其最大相对误差不超过2.46%，验证了理论模型的正确性。

4）基于理论模型，对平台伴生转角进行灵敏度分析，明确了各尺寸参数与伴生转角之间的关系，为平台性能进一步提升奠定了基础。

后续将搭建微定位平台的物理样机及实验系统，对平台的相关性能及理论模型做进一步的测试与验证。