数学概念教学探究——以三角函数的概念为例

⦿青岛大学数学与统计学院 郑舒婷 李明兰

1 问题提出

数学概念是学生学习数学的基础，数学概念的理解程度对学生的数学思维产生直接的影响，因此，数学概念是数学知识教与学中的核心部分.美国数学家杜宾斯基(EdDubinsky)在皮亚杰提出的“反思性抽象”的基础上提出了四个阶段的数学概念学习[1].Vinner和Hershkowitz于1980年提出了概念表象和概念定义理论，概念表象和概念定义是同一概念的两个方面，是概念形成的共同体.教育部于2020年颁布了《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(下文简称“《课标》”)，根据《课标》的相关要求和规定，对人教A版教科书进行了全面的修订，三角函数的内容变化较大，三角函数的概念更加凸显函数的本质，学生对于三角函数概念的理解存在困难.因此本研究以三角函数的概念为例，把概念理解模型融合到APOS理论的四阶段中来指导数学概念教学.

2 理论基础

APOS理论是一种建构主义数学学习理论，数学概念的建构需要经历四个阶段，分别为操作(Action)、过程(Process)、对象(Object)、图式(Schema)这四个阶段，该理论的主要心理机制为内化与凝聚[1].APOS理论的四个阶段在学生数学概念的学习中能很好地体现学生真实的思维活动，为学生真正理解数学概念，形成丰富且正确的概念表象提供了可能，最终期望达到对概念的灵活使用.Vinner和Hershkowitz于1980年提出了概念表象和概念定义理论，后由Tall和Vinner于1981年对该理论进行了发展，Morre于1994年对该理论进行了修定，他认为除了概念定义和概念表象外还存在概念理解的第三个方面，“概念使用”，也就是利用概念定义来解决数学任务，比如定义产生证明和定义构造例子等[1].概念定义是直接描述的，它是以词语和符号的形式，被教师或教科书用来定义数学概念的[1].概念表象并非直接描述，它是个体头脑中与概念有关的整个认知结构，包含思维图像、相关性质和过程等[1].在数学概念的学习过程中，有的学生通过死记硬背有定义而无表象，有的学生通过直观感受只有表象而无定义，学生无法深度理解数学概念，更无法灵活地使用数学概念.因此，教学中要将APOS理论与概念理解模式相融合，利用APOS理论指导概念教学的过程，在“操作”“过程”等阶段中形成正确的概念表象并正确理解概念定义，在“对象”和“图式”阶段，帮助学生正确使用概念，形成概念网络.

3 数学概念的教学过程设计

3.1 创设活动情境，渗透表象和定义

这里的“活动”是指个体通过一步一步的外显性(或记忆性)指令去变换一个客观的数学对象[2].教师通过创设活动情境，促使学生动手操作，直观地感知概念，并且在其操作过程中渗透概念的本质.举例来说，在三角函数概念的教学中，教师通过多媒体展示生活中的周期现象，如齿轮的旋转、摩天轮的转动、交变电流等.这些周而复始的现实问题无法用已经学过的指数函数、对数函数以及幂函数等来刻画，那么该用什么样的函数模型来研究这些周期性的变化呢？这样设计的意图在于让学生明确接下来学习三角函数的必要性，初步感受现实生活中的周期现象，并在头脑中形成三角函数这一概念的正确表象，即三角函数是刻画匀速圆周运动或周期变化现象等的函数模型.

3.2 呈现探究过程，归纳概念特征

当多次重复某一操作，这种类似机械化的操作就会被内化为一种称作“程序”的心理结构，头脑中的这一“程序”便可以指挥学生的行动，而不需要外显的指令进行具体的操作，有的学生甚至可以逆转程序或与其他相关程序结合.

举例来说，在三角函数的教学中，学生可以从函数的角度重新认识锐角三角函数，可以设置如下问题.

问题1你能从函数三要素的角度来解释锐角三角函数吗？

问题2你能用平面直角坐标系中点的坐标表示锐角三角函数吗？

在问题2中教师可提示“单位圆”，同时引出用单位圆上点的坐标来定义任意角的三角函数，给出三角函数的定义.接下来，就需要来说明定义的合理性.

问题3你能从函数的角度来说明对于角终边上任意一点P(x,y)和任意角α之间的关系吗？

3.3 建构对象整体，把握概念本质

当个体能把这个“过程”作为一个整体进行操作和转换的时候，这个过程就凝聚为一种心理“对象”，这时，个体可以操控对象去实施各种相关的数学运算[2].举例来说，在三角函数概念的教学中，通过前两个阶段已经明确了三角函数的定义，现进行任意角三角函数概念的初步应用.

例1y=sinα和z=sinβ表示同一个函数吗？

例3已知角θ的终边过点P(-12,5)，求角θ的三角函数值.

该阶段的设计意图在于通过例1，让学生深刻认识到三角函数定义的形式和三角函数的本质之间的关系，让学生明确三角函数概念的函数本质.例2、例3则是三角函数概念的简单应用，并归纳出用定义求解三角函数值的步骤，加深对三角函数概念的整体认识.

3.4 建立综合图式，形成概念网络

一个数学概念的“图式”是由相应的活动、过程、对象以及相关的图式所形成个体头脑中的认知框架，其作用和特点就是决定某些刺激是否属于这个图式，从而就会作出不同的反应[1].举例说明，在三角函数教学中，将任意角三角函数与锐角三角函数进行比较，探究二者之间的的联系与区别.其次，还可以引导学生思考三角函数的“多元联系表示”[3]，即丰富学生的概念表象来帮助学生深入理解概念，正确使用概念.

经过活动、过程、对象这三个阶段，此时三角函数的概念已经以一种综合的图式存储在学生的头脑中.这一综合图式不仅包括学生已有函数的相关知识、锐角三角函数的知识，还包括新建构的任意角的三角函数的概念、基本性质以及任意角三角函数与锐角三角函数的区别和联系.

4 结束语

APOS理论不仅适用于大学教学，同样适用于中学阶段数学概念的教学.在APOS理论概念学习四阶段的指导下，帮助学生形成正确的概念表象，并通过概念使用加深对概念的理解，把握概念的本质，将不同的概念不断地纳入到学生的概念系统中，形成自己的概念网络.