借助概率统计知识，科学决策开放性问题

⦿甘肃省武山县第一高级中学 马青湖

借助概率、统计中的相关知识，科学决策现实生活中的开放性问题，是近年高考中比较常见的一类创新性应用问题.此类开放性决策问题，要用数据说话，根据相应的数据支撑，计算事件发生的概率或者均值等数据；同时表达要准确，开放性决策的理由陈述不能偏离主旨，要加以合理科学决策.

1 根据概率合理决策

例1(2021届山东省德州市高三一模数学试题)2021年春晚首次采用“云”传播，“云”互动形式，实现隔空连线心意相通，全球华人心连心“云团圆”，共享新春氛围，“云课堂”亦是一种真正完全突破时空限制的全方位互动性学习模式.某市随机抽取200人对“云课堂”倡议的了解情况进行了问卷调查，记Y表示了解，N表示不了解，统计结果如表1，2所示：

表1

(1)请根据所提供的数据，完成上面的2×2列联表(表2)，并判断是否有99%的把握认为对“云课堂”倡议的了解情况与性别有关系；

表2

(2)用样本估计总体，将频率视为概率，在男性市民和女性市民中各随机抽取4人，记“4名男性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为P1，“4名女性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为P2.试求出P1与P2，并判断二者哪个更优秀.

附：临界值参考表及参考公式：

P(K2≥K0)0.100.050.0250.0100.0050.001K02.7063.8415.0246.6357.87910.828

解析：(1)列联表的填写结果如表3.

表3

对照临界值表知，有99%的把握认为对“云课堂”倡议了解情况与性别有关系.

显然P1>P2，第一种更优秀.

点评：借助概率合理决策实际应用问题，根据不同问题所对应的事件概率的求解，借助代数运算，利用概率大小的比较与分析，作出合理科学的决策.

2 根据样本估计合理决策

例2数据统计图1中，折线图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的确切数值(单位：亿元).

图1

(1)从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；

(2)据统计图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展过程中是否重视研发投入，并说明理由.

所以X的分布列为：

X012P295929

(2)从两个方面可以看出，该公司是比较重视研发投入的：

①从2010年至2019年，每年的研发投入是逐年增加的(2018年除外)，并且增加的幅度总体上逐渐加大；

②研发投入占当年总营收的比例总体上也是逐渐增加的，虽然2015年以后有些波动，但是总体占比还是较高的.

点评：借助样本估计合理决策实际应用问题.通过样本的平均值、众数、中位数等数据信息的运算,或利用图表信息，直观、合理比较，科学决策.

3 根据期望方差合理决策

例3[2021届山东省淄博市高三上学期教学质量摸底检测(零模)数学试题]某商场在“双十二”进行促销活动，现有甲、乙两个盒子，甲盒中有3红2白共5个小球，乙盒中有1红4白共5个小球，这些小球除颜色外完全相同.有两种活动规则：

规则一：顾客先从甲盒中随机摸取一个小球，从第二次摸球起，若前一次摸到红球，则还从该盒中摸取一个球，若前一次摸到白球，则从另一个盒中摸取一个球，每摸出1个红球奖励100元，每个顾客只有3次摸球机会(每次摸球都不放回)；

规则二：顾客先从甲盒中随机摸取一个小球，从第二次摸球起，若前一次摸到红球，则要从甲盒中摸球一个，若前一次摸到白球，则要从乙盒中摸球一个，每摸出1个红球奖励100元，每个顾客只有3次摸球机会(每次摸球都不放回).

(1)按照“规则一”，求一名顾客摸球获奖励金额的数学期望；

(2)请问顾客选择哪种规则进行抽奖更有利，并说明理由.

随机变量X的分布列为：

X0123P22514251350110

(2)若选规则二，设顾客经过3次摸球后摸取的红球个数为Y，则Y可以取0，1，2，3，有

随机变量Y的分布列为：

X0123P6251750825110

因为E(100X)>E(100Y)，所以选择规则一更有利.

点评：根据实际问题合理选择，利用问题中数学期望最大(或最小)的方案作为最优决策方案，在数学期望相同的情况下，则进一步选择方差值最小(或最大)的方案作为最优决策方案.

借助概率统计知识，在解决日常生活、社会活动和经济活动等中的开放性应用问题时，选择科学的最佳的决策方案，体现创新意识与创新应用，提升数学能力，培养数学核心素养.