在测量活动中理解面积公式的意义

龚莉

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在课程目标中对“面积”这一内容的要求是“经历测量过程，探索计算方法”。长方形面积作为平面图形面积的认知起点，在规则图形的面积计算学习中具有承上启下的作用。笔者以人教版数学三年级下册第五单元《长方形面积的计算》教学为例，谈一谈如何聚焦测量展开教学。

一、巧用素材，在估测中深化理解

面对实际问题，部分学生容易将周长与面积的概念混淆，导致不能正确使用面积公式解决问题。为此，笔者设计了面积估测活动，帮助学生在探究中深化对面积概念的理解。

课始，笔者引导学生分组估测如下3个长方形的大小，并进行分析、比较。

第一小组边操作边讲解：我们组将长方形①和长方形②的长和宽分别重合，发现它们的长相等，但长方形①的宽比长方形②的宽多了一部分，所以长方形①比长方形②大；长方形③看起来比长方形②大一些，所以我们直接将长方形①和长方形③比较，但无法通过重合的方法判断大小。在前面的学习中，学生已经知道手掌的面积大约是1平方分米、拇指指甲的面积大约是1平方厘米，于是笔者引导学生寻找间接比较的方法，并提问：“当直接比对无法帮助我们解决问题时，我们还可以用什么方法去测量？哪个小组有办法解决第一组遇到的问题？”

第二小组边操作边讲解：我们组用手估测，开始想通过手掌的面积间接比较它们的大小，但是每个图形都没有手掌大（不足1平方分米），后来我们用拇指指甲测量3个长方形的大小，以拇指指甲为单位面积，先统计铺满每个长方形需要的指甲个数，再进行比较，结论是长方形③的面积大于长方形①的面积，长方形①的面积大于长方形②的面积。

估测长方形面积的活动唤起了学生已有的知识和经验，为学生提供了推导面积计算公式的有效思路。

二、巧设任务，在拼摆中明确本质

用正方形进行测量，既能密铺所测图形，又方便拼摆，可以让学生直观感受度量单位的累积就是面积的本质。学生已经学习了1平方厘米、1平方分米和1平方米三种面积单位。面积的大小就是单位面积个数的累积，教师引导学生根据实际情况，巧用1平方厘米、1平方分米或1平方米的正方形精确测量图形的面积，能帮助学生在拼摆中理解面积公式的意义，明确面积的本质。课堂上，笔者引导学生小组合作，选择合适的正方形，通过拼一拼、摆一摆，从一行的个数、行数分别测量长方形①②③的面积，并将结果记录下来。

汇报时，学生代表甲说：“我们组汇报长方形①的测量方法和相关数据。我们用1平方厘米的正方形在长方形①上密铺，铺了16个，即一行有8個正方形，铺了两行，所以长方形①的面积是16平方厘米。”有学生质疑：“为什么不用1平方分米和1平方米，而选用1平方厘米作为测量的单位面积？”学生代表甲回答：“为了选择合适的单位面积，我们想象分别用三个单位面积的正方形与长方形①进行比对，发现1平方厘米的正方形最合适，另外两个正方形太大了，无法测出长方形①的面积。”学生代表乙说：“我们组汇报长方形②的测量方法和相关数据。我们用1平方厘米的正方形在长方形②上拼摆，横着摆了6个，竖着摆了2个，一共有‘6×2=12个正方形，所以长方形②的面积是12平方厘米。”有学生提问：“你说的算式‘6×2中的‘2指什么？”学生代表乙回答：“表示竖着铺2个，即可以铺两行。一行6个，两行就是2个6，用‘6×2就能求出长方形②所占的单位面积的个数，也就是长方形②的面积。”该生继续提问：“你们为什么不铺满呢？这样能确定它的面积就是12平方厘米吗？”学生代表乙回答：“摆小正方形测量规则图形的面积和用方格纸测量规则图形的面积的道理一样，不需要铺满，只要知道一行摆的个数和摆的行数，就能算出单位面积的总个数，从而得出长方形的面积。”

在汇报和思辩的过程中，笔者发现大部分平均水平中等的小组采用第一种方法，即铺满、数方格；平均水平中等偏上的小组更多地采用第二种方法，即抽象出长和宽与所占单位面积个数的倍数关系，直接用乘法算式计算。无论哪种方法，都能表明长方形面积公式中“长×宽”的意义：“长×宽”不代表两条线段长度的乘积，而是一行中单位面积的个数与每列单位面积个数的乘积。随后，笔者提问：“长方形③的面积是否可以采用这两种方法测量？”各小组通过操作，发现长方形③无法被1平方厘米的小正方形占满。笔者引导学生进一步探索：“如果测量时小正方形没有占满整个长方形，长或者宽有剩余怎么办？”学生回答：“有剩余就说明长方形③的面积比‘一行的个数×行数得出的数值要大一些，那样就不准确了，其实，我们不用小正方形测量也可以。”笔者追问：“用什么方法测量呢？”通过讨论，学生达成共识：用直尺测量长和宽后，直接计算乘积得出面积更准确。

在前面两个测量活动中，学生已经直观感受到面积就是度量单位的累积。笔者随后设计了计算长方形③面积的挑战题，引导学生提出用直尺测量长和宽直接进行面积计算的办法。以上教学，通过巧设渐进式任务让学生在操作探究中理解了面积公式的意义，体会到长方形面积公式的普适性和一般性。

三、巧构活动，在生活原型中拓展应用

实操活动可以深化学生对面积公式意义的理解，使学生对面积公式意义的把握更准确。笔者设计了如下三个任务，引导学生在解决实际问题的过程中拓展应用面积公式。

任务一：魔法变变变。笔者出示长方形③，利用课件动态展示长方形③转变成正方形的过程，并引导学生思考如何计算现在这个图形的面积，以此唤起学生的旧知（正方形是特殊的长方形；正方形的面积=边长×边长），引导学生理解面积的运动不变性。

任务二：长方形挂钟的玻璃罩不小心摔碎了，需要再购买一块玻璃罩安装上去，需要多大的玻璃罩呢？解决问题时，学生提出：需要多大的玻璃，其实就是求长方形玻璃罩的面积，我们可以用直尺测量挂钟边框内侧的长和宽，再用“长×宽”计算玻璃罩的面积。

任务三：学校有一块长12米、宽6米的长方形荒地，我们要在其中开垦出两块菜园，为了后期浇水便利，要求在两块菜地中间修一条面积为24平方米的小路。你会如何设计这条小路呢？分一分、画一画，将思考过程记录下来，并在小组内讨论、汇报。

学生讨论出两种设计方案。对第一种方案，组长汇报：“我们将长方形荒地的长作为小路的长即12米，再通过小路的面积计算公式‘长方形的面积=长×宽，以及我们知道的‘24÷12=2，得出小路的长为12米、宽为2米。”组员补充：“我们把长12米、宽2米的小路在示意图里平移到了不同的位置，发现由于面积固定，长也确定了，所以宽不变。也就是说，横着设计小路只有长12米、宽2米一种情况。”对第二种设计方案，组长汇报：“我们将长方形荒地的宽作为小路的长即6米，再通过小路的面积计算公式‘长方形的面积=长×宽算出小路的宽为‘24÷6=4米。我们的设计方案也只有一种情况，即小路的长为6米、宽为4米。”

（作者单位：枣阳经济开发区靳庄小学）

责任编辑 张敏