简约识“倍”新视界——王圣昌老师“倍的认识”教学片段赏析

江苏省常州市新北区春江中心小学 张晓锋 姚灵娣

倍数关系是常见的数量关系之一。建立倍的概念，能帮助学生进一步理解乘法和除法的含义，扩大应用乘、除法计算解决实际问题的范围。教师应引导学生从具体直观到抽象思考，理解“倍比”是对相关数量进行比较的数学方法。理解倍的含义，关键是建立“倍”的概念。有些教师是以告知的方式，引导学生圈一圈、比一比，初步理解倍的含义，这可称之为告知“倍”。王圣昌老师先引导学生和“倍”的内涵互动，通过解决问题，借助除法算式发展概念，可称之为生长“倍”。

王圣昌老师教学“倍的认识”，仅用3 张演示文稿（PPT），就呈现了一节非常有味道、有思维含量的数学课。3 张PPT，对应3 项逐步进阶的核心任务，每项核心任务中的几个子问题能较好地彰显学习任务的设计理念——低门槛、大空间、多层次，为每个学生提供思考与表达的机会，这也是全课最鲜明的特点。王老师充分肯定和鼓励每个学生的表达，并且把每个学生的想法都展示出来，资源捕捉意识特别好。他引导学生先和“倍”的内涵互动，从发现关系到明确关系再到用算式表达，通过解决问题发展概念，概念教学指向有意义的建构，真正体现了以学生的学为中心。这样的课应该就是如吴正宪老师说的“好吃又有营养”的数学课。

片段1：明确关系初识“倍”

呈现第一张PPT（见图1），图中包含4 根黄瓜和12根香蕉的图片以及3 个问题。

图1

师：谁能说说你的发现？说一个就可以！

生1：黄瓜有4 根。

师：这是不是数学信息呢？谁还有不一样的发现呢？

生2：香蕉有12 根。

师：他说得对吗？还有不同的吗？

生3：黄瓜和香蕉一共有16 根。

师：非常棒，黄瓜加香蕉有16 根。

生4：香蕉比黄瓜多8 根。

师：太棒了，你们能听懂他的意思吗？

生5：我认为还可以说黄瓜比香蕉少8 根。

师：好，你把它倒过来了，黄瓜比香蕉少8 根。

生6：香蕉是黄瓜的3 倍。

师：你们怎么看？他突然讲了我们好像没学过的知识——香蕉是黄瓜的3 倍。懂他意思的同学请举手。谁来说一说这是什么意思？

生7：黄瓜有4 根，香蕉有12 根，12 除以4 等于3，也就是说香蕉是黄瓜的3 倍。

师（追问）：你们怎么看出来有3 倍？3 倍在哪里？第1 倍在哪里？第2 倍、第3 倍呢？每倍都是几根？谁决定的？

（学生回答略）

师：你们能列出算式表示这4 个数学信息里两个数量之间的关系吗？

学生用算式表示“黄瓜加香蕉有16 根，香蕉比黄瓜多8 根，黄瓜比香蕉少8 根，香蕉是黄瓜的3 倍”，算式分别为：4+12=16，12-4=8，12-8=4,12÷4=3。

师组织生交流。

师：你们都能列出算式表示它们之间的关系。谁来解释3 倍这个问题？

生8：3×4=12。

师：谁来解释这个算式中每个数表示什么意思？

生9：4 是香蕉的根数，3 是把香蕉平均分成了3 份，12 是香蕉的总数。

师：这里有一个解释怪怪的，你们发现了吗？

生10：4 是黄瓜的数量，3 是3 倍，12 是香蕉的总数。

生11：12 是香蕉的数量，4 是黄瓜的数量，12÷4 表示……（生一时语塞）

生12：12÷4 表示把香蕉平均分成3 份。

师：为什么除以4？为什么平均分3 份，每几根一份？

一名学生上讲台指着图片演示平均分3 份的等分过程。

……

【赏析】三个问题层次清晰、逐级递进。首先通过问题“你看到了哪些数学信息？”引导学生对黄瓜和香蕉的数量进行感悟。其次，教师通过问题“它们的个数之间有什么关系？”引导学生寻找合适的路径，表达数量之间的关系——求和关系、相差关系、倍数关系，并对不同关系用文字表达，完整建构出数量之间的关系。其间，教师还可以结合图形直观帮助学生思考，再通过追问帮助学生重点理解倍数关系。最后通过问题“你能用算式表示它们之间的关系吗？”引导学生用算式表示倍数关系。引导学生用抽象的算式表达数量之间的关系，既为学生提供表达关系的工具，也是数学化的过程，学生感悟了关系，明白了本质，就能用算式抽象表达，真正理解算式的含义，加深对倍数关系本质的理解。这是关于倍的概念的核心问题，也是学生学习“倍的认识”的关键——先确定标准，然后比较，看另一个数量相当于有几个这样的标准，也就是这个标准的几倍。这样设计，循序渐进，从直观到抽象，从文字语言到符号语言，最后紧扣数量关系中的倍数关系，师生、生生多边互动，可有效实现对“倍”的概念的完整认知与深度理解，学生自主建构，初步识“倍”，一步步实现数学化。

片段2：结合算式表达“倍”

呈现第二张PPT（图略），这是一道有思维含量的趣味练习，PPT 上呈现了无序排列、大小相同的蓝色、绿色、黄色3 种不同颜色的圆。蓝色有18 个，黄色有9 个，绿色有3 个。课件中呈现3 个学习提示：你能找到它们之间的倍数关系吗？如果要找出倍数关系，需要找到哪些数学信息？用算式表达你找出的倍数关系。

师：数一数，从图中你可以找到哪些倍数关系？要结合算式哦。

生先数再列出除法算式。

师：我建议你们数一个写一个，因为这道题的倍数关系不止一种。

师板书：绿3 个、黄9 个、蓝18 个。

小组讨论发现的倍数关系。

师：请你来说一说。

生1：蓝色圆的数量是黄色圆的数量的2 倍。

师：他是怎么知道的？算式应该怎样列？

生2：18÷9=2。

师：为什么用18÷9=2 就能知道蓝色圆的数量是黄色圆的数量的2 倍？谁再来说一说每几个一份？

生3：把18 平均分成2 个9，每9 个一份，可以分成2 份。

师：谁再来说说谁是谁的几倍？

生4：黄色圆的数量是绿色圆的数量的3 倍。

生5：9÷3=3，9 可以分成3 个3。

生6：蓝色圆的数量是绿色圆的数量的6 倍，

18÷3=6。

师：也就是18 里面有6 个3。

【赏析】用大小相同、无序排列的3 种颜色的圆设计一组练习，特别有创意。这样可以催生学生不同的想法：蓝色圆的数量是黄色圆的数量的2 倍，蓝色圆的数量是绿色圆的数量的6 倍，黄色圆的数量是绿色圆的数量的3 倍。因为教师提供的图片中反映的数量关系比较丰富，所以学生找到的数量关系与表达的形式也较为丰富。学生能跳出图形直观，从图形个数的角度思考，用除法算式表达它们之间的倍数关系，不受图形无序排列的影响。这道练习通过“问题驱动—寻找信息—用算式表达”的递进顺序，让学生体会倍数关系的内涵，并明白数量和算式之间的逻辑关系，从而更好地理解“倍”的概念本质，知其然并知其所以然。借助除法算式学习“倍”，有利于促进学生理解从算式的角度表达倍数关系，从而逐步实现数学化。

片段3：实践感悟深入“倍”

呈现第三张PPT，图上有3 种不同颜色的扣条和方块（见图2）。活动要求：用你手中的学具表示出4 倍的关系。

图2

王老师为每一组学生准备了适量的两种学具，即扣条和方块，这两种学具都可以拼接。学生分组合作操作，他们选用若干扣条或方块，用合适的方式直观表达4 倍关系。

分组操作前，王老师做适当引导。

师：操作前同学们首先要知道一个叫1 倍，一个叫4倍。4 倍关系不仅仅是数量上的，找找看，除了数量上有倍数关系，还能在其他地方找到倍数关系吗？

学生分组操作2 分钟。

师：我们来看一下有几种表示方式。

展示第一种：4 个方块（成田字格形状）是1 个方块的4 倍。

师：有没有4 倍？除了数量是4 倍关系，还看到哪里有4 倍关系？

生：我看到大小有4 倍关系。

师：从哪里看出大小有4 倍关系？拿着1 倍来比，第1 倍在哪里？第2 倍、第3 倍、第4 倍呢？

学生逐一放上去比对。

展示第二种：4 条是1 条的4 倍。

师：有没有4 倍？除了数量是4 倍关系以外，还有什么是4 倍关系？

生：我看出长度也是4 倍关系。

师：到前面来比对。

学生到前面一倍一倍地比对，发现长度是4 倍关系。

师：现在有个同学搭了这样的1 倍，你觉得他的4倍应该有几个？（师高举着由4 个方块拼成一排的组合体）

生：应该有16 个。

教师拿出4 个方块的组合体和16 个方块的组合体，然后一倍一倍地比对，从长度上比对出是4 倍关系。

师：如果这样是1 倍，4 倍应该有几个？（师高举2个方块的组合体）

师：如果是这样呢？（师高举由3 个方块拼成一排的组合体）

……

【赏析】这个练习比较开放，能很好地帮助每个学生自主操作、深度参与，加深对“倍”数关系的理解。先放手让学生利用学具扣条和方块，自主创造倍数关系，使其在应用中深化对倍的理解；再通过丰富的直观模型，从数量、大小、长度等不同维度表达倍数关系，凸显倍数关系模型的本质。扣条可以表征个数、长度、面积的倍数关系，方块可以表征个数、长度、面积、体积之间的倍数关系，多维度表示倍数关系促使学生的认知更丰富、更多元。

纵观全课，教师仅用了3 张演示文稿，第一张建构概念，让学生感受并表达数量关系，通过从图形直观到用算式表达的过程，促进每个学生建构对倍的认识；第二张巩固理解，并适度抽象，加强数学化，引导学生继续用算式表达倍数关系，借助精选的学习素材——3 种颜色的圆片，帮助学生概括一般化的模型，进一步数学化；第三张实践深化，学生借助学具自主创造倍数关系，在丰富多样的表达“倍”的方式中探寻共同的本质属性，从而达成对概念本质的深度理解——倍数关系可以是个数之间的关系，可以是长度之间的关系，可以是面积大小之间的关系，还可以是体积大小之间的关系。教师充分利用学具即兴变式，在与学生对话和互动中促进学生借助丰富的直观模型深化认知，加深对倍数关系模型内涵实质的理解。