连续流体冲击力问题的再思考

陈 兰

(江苏省盐城市盐都区教师发展中心，江苏 盐城 224006)

求连续流体冲击不同冲击面的冲击力的两个典型问题时，用两种常见方法得到的结果不一样，其原因是什么？一直以来成了中学物理教学中的一个谜.因此，有必要对此问题进一步探讨和反思，以期消除困惑，达成共识.

1 两个典型问题

例1.如图1所示，水平粗管道的两端与大气相通，在粗管道中插一根两端开口的“L”形的细弯管，细弯管底部开口处的横截面积为S，当粗管道中的水以速度v匀速流动时，求细弯管中的水柱高h.

图1

例2.用高压水枪喷射出的强力水柱冲击煤层的采煤示意图，如图2所示.设强力水柱冲击煤层的冲击面面积为S，水流速度为v、密度为ρ.水柱垂直射到煤层表面后，垂直于煤层的速度变为0，求强力水柱对煤层的平均冲击力.

图2

点评：例1和例2是两个不同物理情境下的典型问题，从冲击面上的受力角度看，例2中求强力水柱对煤层产生的冲击力与例1粗管道中流体对细弯管下方开口处液片的冲击力，其本质都是运动的流体对冲击面的冲击力.即两个问题的共性：都要求解连续流体对冲击面的冲击力.但是，两种常见方法采用不同的物理模型，求得的结果却相差一半，原因何在呢？

2 两种常见方法的结果不同

方法1：应用动量定理求冲击力.

两例中冲击面的面积均为S，在极短时间Δt内，到达冲击面的流体微元质量为Δm，则

Δm=ρvΔtS.

(1)

设流体微元与冲击面之间的冲击力大小为F，冲击后流体微元的速度为0，则对流体微元由动量定理得

FΔt=Δmv.

(2)

由(1)(2)式得

F=ρSv2.

(3)

方法2：应用伯努利原理求冲击力.

设大气压为p0，两例中冲击面S处的压强为p，冲击面处的流速为0，根据伯努利方程有

(4)

而流体微元对冲击面的冲击力(不包括大气压力)为

F=(p-p0)S.

(5)

由(4)(5)式得

(6)

显然，两种常见方法得到的结果(3)式和(6)式相差一半.

例1中冲击面的面积很小，求其所受冲击力时文献[1]用的方法2，文献[2]用构建连通器模型给出的新解的结果与方法2的结果相同；例2中冲击面的面积较大，求其所受冲击力时文献[3][4]用方法1.因此，许多师生死记方法“冲击面小时用伯努利原理，冲击面大时用动量定理”，但不知道这样选择方法的道理是什么.

要搞清选择方法的道理，除了理解伯努利原理及使用条件以外，还要弄清楚两个典型问题中冲击面处冲击前流体微元的速度特点，在两个典型问题对应的物理情境下正确应用物理模型和规律是关键.

3 伯努利原理的使用条件

图3

4 两个典型问题情境下两种常见方法的反思

4.1 求解例1时选择方法的理由

例1中通过细弯管底部开口处液片的流管，如图4所示.由于细弯管底部开口处液片的面积很小，所以是细流管.这保证了同一截面上各点的压强、流速具有同一个值(或近似值)，可用一个点(这里用驻点)的压强、速度代替该点所在的微小截面上各点的压强、速度，满足了伯努利原理的使用条件.这就是例1求解中选用方法2(应用伯努利原理)的理由所在.

图4

另外，若互换例1中的已知条件和求解的问题，即已知细弯管中的液柱高度，求粗管道中流体的流速，其原理与早期用来测量液体流速的比托管[5]原理类似.因此，例1用方法2(用伯努利原理)求解的正确性毋庸置疑.

例1为何不用方法1(动量定理)的理由分析如下.

如图4所示，在极短时间Δt内，细流管截面a2和a2′(截面积为S)之间的流体微元全部到达细弯管开口的液片处，以速度v′冲击细弯管开口处的液片后速度变为0.则由动量定理得

FΔt=Δmv′-0.

(7)

根据连续性原理，极短时间Δt内通过截面a1或通过a2截面的流体微元的质量相等，即

Δm=ρv′ΔtS=ρvΔtSa.

(8)

细流管截面a1处的流速为v，并设该截面面积为Sa，由于冲击面附近的截面面积增大，即Sa

因此，由(7)(8)式可得冲击力为

F=ρSv′2=ρSav′v<ρSv2.

(9)

(9)式表明：例1用常见方法1(动量定理)求解时，忽略冲击面面积的增大导致的流速变化而列出的(1)式和(2)式，最终导致结果偏大.但(9)式中v′和Sa未知，无法得出需要的结果.这就是常见方法1(动量定理)求解例1时出错的根源，也是求解例1时不选择方法1(动量定理)的道理.

4.2 例2的情境下对两种常见方法的反思

例2中，从高压水枪出水口出来的水柱表面形成的流管，如图5所示.由于高压水枪的出水口和水流冲击煤层的冲击面均不是很小，即不是细流管，也就无法保证同一截面上各点的压强、流速具有同一个值(或近似值).这样就不能用一个点(驻点)的压强、速度代替冲击面上所有点的压强、速度，即不满足伯努利原理的适用条件.这就是例2不用方法2(伯努利原理)的原因.

图5

综上所述，笔者的结论是：常见方法1、2均不能正确地计算例2中的平均冲击力.若要估算例2中的平均冲力大小，用方法2比方法1更好.