高中数学教学中数形结合法的运用探讨

□甘肃省张掖市山丹县第一中学 闫 锐

数形结合思想是重要的数学思想之一，是一种化具体为抽象，化抽象为具体的思维方式，能帮助学生提高解题速度和形成数学思维习惯，高中数学教师在教学过程中渗透数形结合思想，有助于提升学生的学习兴趣。本文以高中数学教学中应用数形结合法的路径为研究主题，分析了目前高中数学教学中数形结合法的应用现状，探索高中数学教师提升数形结合素养、课上精讲数形结合题目、课后布置数形结合作业和组织数形结合探究活动等具体措施，以期为相关人员提供参考。

一、数形结合法概述

高中数学内容的抽象性较强，对学生的思维能力和思考方式的要求较高，学生必须掌握模型思想、数形结合法等解题思维，才能学好高中数学。数形结合法是一种化图形问题为代数问题或化代数问题为图形问题的数学解题方法，具有化抽象为具体和化具体为抽象的意义，在高中阶段，主要应用于方程、不等式和函数相关题目中。从本质上来说，数学就是研究“数”与“形”的科学，其中“数”是抽象的数学语言，“形”是直观的图形语言，两者各具优势，也各有不足。华罗庚说：“数缺形时少直觉，形少数时难入微”，说的就是代数与图形之间的互补关系。高中数学学习内容主要是代数学习和图形学习，其中有规律的代数能转化为图形，例如利用直角坐标系画出函数所对应的图形，学生观察图像能更清楚地认识该函数的性质；将图形置于直角坐标系中或提炼图形的几何特征后也可以转化为代数问题，例如学生在研究直角坐标系中的直角三角形存在性问题时，可以利用线段距离公式和直角三角形的勾股定理性质列代数式解题。

二、高中数学教学中应用数形结合法的意义

（一）提升学生解题效率

高中数学教学中应用数形结合法能帮助学生提升解题效率。例如高中数学教师在开展“三角函数图像与性质”的教学时，可以要求学生利用三角函数解析式在直角坐标系中绘制出三角函数并分析三角函数解析式与三角函数图形的对应关系，学生遇到三角函数相关问题时便可以利用三角函数图形解题。如图1所示的三角函数题目，若学生利用平方关系和商数关系构建方程组求解，则计算量比较复杂，计算过程容易出错；若学生观察到题目中出现的“tanα=4/3”条件，联想到三边长度分别为3、4、5的直角三角形，进而想到可以利用数形结合法解题，则会直接在直角坐标系中画出对应的直角三角形并快速求出α的正弦值和余弦值。

图1 三角函数例题

（二）形成数学思维习惯

高中数学教学中应用数形结合法能帮助学生形成数学思维习惯，通过不断强化解题思维和解题能力，学生可以形成独特的数学思维习惯。另外，数形结合思想本质上是化抽象为具体和化具体为抽象的思维方式，学生在使用数形结合法的过程中，能深刻体会到抽象和具体之间的关系，从而形成严谨、有逻辑的数学思维，对学生今后数学学习有一定推动作用，例如利用具体的韦恩图来理解概率论中抽象的集合关系，利用具体的函数图形理解微积分中可去间断点、跳跃间断点等抽象概念。

三、高中数学教学中数形结合法应用现状

（一）教师讲解数形结合法缺乏必要过渡

目前，高中数学教学中数形结合法的应用存在教师讲解缺乏必要过渡的问题，主要表现在教师没有将如何由题干内容联想到应用数形结合法讲清楚，导致部分学生在听课时“云里雾里”，自然无法在独立解题时“胸有成竹”。高中数学教师在讲解数形结合题目时，应该为学生提供平滑顺畅的解题体验，以图2所示例题为例。部分高中数学教师在讲解这一题目时，读题后直接告知学生通过画函数图像找交点的方式解题，学生只学会了解决这一道题，却没有积累具备推广性的解题经验，再次遇到同类型的题目后仍不会做。

图2 数形结合例题

（二）学生缺乏利用数形结合法解题意识

目前，高中数学教学中学生缺乏利用数形结合法解题的意识，一方面是因为部分高中数学教师自身专业素质不高，教学能力不强，无法为学生提供准确高效且具备启发性的数形结合法教学过程，另一方面是因为部分学生对数形结合法存在错误认识，数形结合法作为一种解题方法，能有效提升学生的解题速度，但在使用初期却需要学生花费额外的精力和时间研究这一解题方法的应用场景和应用方式，部分学生因为高中学习压力较大而抽不出时间研究数形结合法的应用技巧，在日常解题中仍沿用自己熟悉的方法解题。

四、高中数学教学中应用数形结合法的路径

（一）教师增强数形结合素养

高中数学教师作为教学中的主导者和设计者，其数形结合素养直接决定数形结合法的教学质量，所以高中数学教师要增强自身数形结合素养，通过将数形结合法结构重组，为学生提供理解难度低、启发性强的教学体验。首先，高中数学教师可以通过查阅专业文献、咨询资深教师和观摩名师课堂的方式提升自我。其次，高中数学教研组要充分发挥教研的作用，组织高中教师群策群力，利用集体智慧构建数形结合法授课方案，为教学过程提供专业指导。

（二）课上精讲数形结合例题

经典例题是学生拓展思维的“核心”，助力学生将感性认识升级为理性认识，所以高中数学教师要重视经典例题的作用，通过精讲例题，加深学生印象，提升学生认识，助力学生掌握解题新方法。首先，高中数学教师在讲解数形结合经典例题时，要在题干内容和解题方法之间形成过渡，帮助学生理解如何分析题干判断该题目是否可应用数形结合法来解题。其次，高中数学教师在讲解数形结合经典例题时，可以利用多媒体设备和投影仪等新型教学工具，帮助学生直观感受代数与图形之间的联系，从而真正形成数形结合思维。最后，高中数学教师在讲解数形结合经典例题时，不仅要引导学生利用数形结合法解题，而且要为学生呈现不使用数形结合法应如何解题，令学生明确数形结合法对提高解题速度的意义，从而在日常解题中自觉使用数形结合法。下文以图3 所示题目为例，具体阐述例题精讲步骤。

图3 数形结合经典例题

首先，高中数学教师带领学生通读题干，其中第（1）小问题目比较简单，学生通过联立方程即可解决，即联立直线解析式与椭圆解析式得到方程组，利用消元法得到含参的一元二次方程，再利用公式法得到一元二次方程的解，具体解题过程如图4所示。

图4 解题步骤

其次，本题目的难点在第（2）小问，该双二次曲线问题中存在多个变量，只有圆心坐标确定。本题既然是探讨交点个数问题，那么不难联想到在初中和高一的函数学习中，限制条件比较多或未知量比较多的函数交点问题可以采取等价转化的方法来解决，即图形与代数的转化。该题目涉及的两个函数图像皆不是确定的图案，很难通过画图观察图像性质来解题，所以该题目应该转化为代数题目，即利用函数与方程的思想方法求解。因为利用函数与方程的思想方法求解必须要获得两个函数的解析式，目前题目中只有椭圆函数的解析式，所以学生需要通过设未知量的方式将圆的函数解析式设出来，然后将“椭圆与圆至多有三个公共点”转化为“方程组至多有三个实数解”，学生利用消元法将方程组转化为含参的一元二次方程，先考虑存在正数t 使f(t)有两个不相等的实数解，得出r 和a 的取值范围，从而得出使圆与椭圆共有四个公共点的充要条件，进而得出使圆与椭圆至多有三个公共点的充要条件，具体解题思路如图5所示。

图5 具体解题思路

在此过程中，高中数学教师还可以利用“正难则反”思想启发学生将题目改为“若圆与椭圆恰好有四个公共点，求椭圆离心率取值范围”。教师在讲解过程中必须要引导学生把握问题本质，提升学生“几何特征”分断能力，令学生能熟练判断什么时候应该利用数形结合法解题，如何将几何问题转化为代数问题。

再次，高中数学教师应该为学生演示如果不采取数形结合法，只利用图形解题，则学生应该将符合题目条件的图像绘制出来，但由于本题中的椭圆和圆形皆是位置大小不确定的图形，学生要想一次性绘制出符合题目条件的图形较难，即使学生利用“正难则反”思想将题目改为“若圆与椭圆恰好有四个公共点，求椭圆离心率取值范围”并利用绘图工具画出椭圆与圆恰好有四个公共点的情形（如图6 所示），根据图形发现如公共点到圆心距离相等等几何特征，也需要利用代数式计算。

图6 椭圆与圆恰好有四个公共点的情况

最后，将图形问题转化为代数问题虽然可以免去繁琐的绘图步骤，将解题过程简单化，学生只需要将代数式列出并计算即可，思考量不大，但这需要学生具备扎实的计算能力，因此高中数学教师在讲题过程中还要重点强调计算能力，要求学生提升计算能力，提高做题速度，减少计算失误。

（三）课后布置数形结合作业

数学学习离不开课后习题巩固，为了提升学生的数形结合素养和利用数形结合思想解题的能力，高中数学教师应该在课后布置数形结合作业，要求学生利用数形结合思想解题。高中学段学生的学习负担较重，学生对学习过程中的每分每秒都十分珍视，导致部分学生不愿意花费额外的时间学习解题的新方法或没有时间训练新方法。数形结合法作为一种高效的解题方法，虽然在初学阶段需要花费大量时间和精力，但在完全掌握后，解题能力便可实现质的飞跃。为了在不给学生增加过多学习负担的基础上引导学生掌握数形结合法，高中数学教师可以挑选经典的数形结合题目作为课后作业，以帮助学生储存感性认识并尽快摸索出规律。例如函数与方程、不等式的关系是数形结合法的重要应用领域，高中数学教师可以以此为核心设计训练专题，收集有关二次函数、三角函数、圆锥曲线等函数图像交点问题转化为方程联立问题的经典题目，让学生在解题过程中建立“函数图像交点”和“联立方程”之间的联系，从而保证学生再次遇到同类型题目时能自觉运用数形结合思想解题。再如，利用韦恩图解决集合问题是实现代数问题转化为图形问题的重要体现，所以高中数学教师可以为学生提供大量利用韦恩图解决集合问题的相关题目，帮助学生深化数形结合法的应用。

（四）组织数形结合探究活动

数形结合探究活动是激发学生学习积极性，有效提升学生思维活力和拓展学生思维广度的教学方式，高中数学教师可以以经典例题为引，以数形结合法为探究主题，要求学生组成学习小组，共同探究数形结合法的应用场景、应用技巧和应用注意事项等。例如，高中数学教师在讲解函数单调性时，首先可以将学生分组并为每组提供气温变化表、股市走势图等材料，要求学生利用语言描述图像的上升或下降趋势，令学生对图像单调性有基本了解。其次，为每组学生分配不同的函数绘图任务，要求小组合作，利用“列表—描点—连线”的方式将函数图像绘制出来，并观察随着自变量x 的变化，函数值f(x)呈什么样的变化趋势，教师则利用几何画板等数学绘图软件绘制函数图像，并与学生自绘图对比，确保学生绘图正确。再次，教师要求学生利用客观准确的数学语言描述函数的上升、下降情况，并引导学生利用绘制函数图像的方式解题。最后，高中数学教师为学生提供需要通过绘制函数图像解题的函数单调性题目，如图7所示，要求学生以数形结合为研究主题，探索该题目的解题方式，比较传统解题方式与数形结合法的优劣，总结解题经验并撰写研究报告。

图7 函数单调性数形结合例题

五、结语

高中数学教师在教学过程中渗透数形结合思想，不仅能帮助学生拓展解题思路，提升解题速度，还能帮助学生形成完整的数学知识结构和数学学习思维，对学生目前乃至以后的数学学习都有深远意义。因此高中数学教师要积极探索在教学过程中渗透数形结合法的具体路径，使学生体会到数学学习的乐趣，从而化被动为主动，积极参与高中数学学习。