数学史融入高中课堂的教育价值

佛山科学技术学院 数学与大数据学院(528000) 张可琪

1 引言

自HPM 诞生以来,不乏西方学者对数学史教育价值的广泛而深入的探讨. 例如,英国学者J.Fauvel 总结了15 条数学史融入数学教学的教育价值[1];Tzanakis 和Arcavi 则从数学学习、数学和数学活动的本质、教师的背景知识、数学情感以及作为文化活动的数学五个方面对数学史的教育价值进行了阐述[2];Fankvist 提出从“工具”和“目标”两个维度探讨数学史的教育价值[3]. 上述学者对数学史教育价值的分类方法不尽相同,但均没有明确区分数学史对教师与对学生的教育价值. Gulikers 和Blom 在Tzanakis 和Arcavi 的分类基础上,基于教师与学生的角度,从概念视角、文化视角与动机视角三个维度对数学史的教育价值进行了具体的区分[4].

2005 年在西安召开了第一届数学史与数学教育国际研讨会,从那之后,数学史与数学教育相关研究在我国得到了更广泛的关注,与此同时,数学史的教育价值成为相关研究的讨论热点之一,讨论数学史教育价值的文献层出不穷. 但不管是早期西方学者们对于数学史教育价值的探讨,还是近十几年来我国学者对于此方面的探讨,都呈现出相同的特点:思辨远远多于实践和实证研究[5]. 因此,深入教学实践,研究数学史的教育价值, 更好地发挥数学史对学生的育人价值,是当前数学教育的热点之一. 近年来,有的学者致力于与一线教师合作开发数学史融入数学教学的实践与案例. 例如,学者汪晓勤经过多年实践,结合相关数学教学案例,将数学史对学生的教育价值分成“知识之谐”、“方法之美”、“探究之乐”、“能力之助”、“文化之魅”和“德育之效”六类[5].

基于以上研究,依据人教版A 版高中数学教材的内容以及《普通高中数学课程标准(2017 年版2020 年修订)》(以下简称《课标(2017 年版)》)要求,结合相关数学史料与教学设计片段,探讨数学史融入高中数学课堂的教育价值,以期为一线教师提供一定的案例参考.

2 数学史的教育价值分类维度

高中数学课程以学生发展为本, 落实立德树人根本任务. 《课标(2017 年版) 》指出高中数学课程目标包括“四基”、“四能”、“数学核心素养”以及“情感和信念”四个方面[6]. 鉴于数学史在《课标(2017 年版)》四个方面的潜在作用,学者汪晓勤基于西方学者们关于数学史教育价值的分类进行了重新划分,分为以下六个维度,并对其进行了定义[7].

(1)知识之谐: 知识的形成和发展有其自然而然的过程,符合学生的认知基础,即知识的自然性和可学性;

(2)方法之美: 源于不同时间和空间的,具有灵活性、多样性、独创性等特性的思想或方法,展示了方法之美;

(3)探究之乐: 运用历史数学问题或借鉴数学概念的发展,设计探究活动,让学生体验概念、公式或定理的起源和演变过程,获得基本活动经验;

(4)能力之助: 探究历史数学问题有助于培养学生的“四基”、“四能”及“数学核心素养”;

(5)文化之魅: 数学史是数学文化不可分割的一部分,是构筑数学与人文之间的桥梁[8]. 通过这种联系,数学史可以帮助学生领会科学价值、实践价值、文化价值和审美价值,体现了文化之魅;

(6)德育之效: 新时代落实立德树人根本任务要求教育要以学生为中心,从教育教学中,培养学生的学习兴趣、自信心、习惯和科学精神等,以达到德育之效[5].

3 运用数学史的教育价值

数学是一门累积起来的学科,它将永远融汇于它的过去以至未来当中,数学史就是数学本身[9]. 学者李文林称数学史研究有三重目的,分别是为历史而历史、为数学而历史以及为教育而历史[10]. 第三重目的指的是在数学教学中利用数学史,发挥数学史的教育功能,实现其教育价值[11]. 教师适当地在教学中运用数学史,可以帮助学生了解数学意念是如何产生的,又是如何演变成今天我们所熟悉的形式的,加深学生对数学知识的认识与理解[12].

3.1 引入数学史,感受知识的形成过程

函数贯穿于中学数学课程的始终,在中学数学中具有重要地位. 我们知道, 在初中阶段学生已经学习了一次函数、二次函数、反比例函数等知识,如何在学生已有的认知基础上,帮助学生建立完整的函数概念,促进他们更深入地理解函数概念的本质,是高中阶段函数教学的重点与难点[13]. 高中函数教学的关键在于,让学生从初中“变量说”定义自然过渡到“对应说”定义,进而理解函数的意义[14]. 已有相关实证研究表明,高中生对函数概念的理解表现出一定的历史相似性[15]. 因此,引入函数概念的演进历史,有利于帮助学生感受函数概念自然而然的生成过程,构建知识之谐.

函数概念的演进历史可分为“解析式说”、“变量依赖说”、“变量对应说”和“集合对应说”四个阶段[5]. 1718 年,伯努利首次对函数进行了明确定义, 并将其局限于代数运算[13]. 1748 年,欧拉突破了伯努利的函数定义的局限,将函数的定义拓广到任意解析式,历史上称此阶段为“解析式说”阶段[16]. 18 世纪中期,在一场对弦振动问题的争论中,数学家们意识到,不是所有的函数都会有对应明确的解析式,因此,用解析式来定义函数显然不完全正确. 1755 年,欧拉对“解析式”定义进行了更新,确定了“变量依赖”定义,此阶段被称为“变量依赖说”阶段[17]. 1829 年,狄利克雷首次将任意确定的变量对应关系纳入函数范畴,自此“对应关系”定义登上了历史舞台[5]. 进入20 世纪,集合论诞生之后,函数定义进一步建立在集合论的基础之上,使得函数的概念更加的抽象,人们称之为“集合对应”定义[15].

基于以上函数概念史料研究,在教学过程中,首先可采取附加式的方式, 展示欧拉等数学家的画像, 讲述“解析式说”阶段的历史事件,并让学生回忆初中阶段关于函数的知识. 尽管学生已学过一次函数、二次函数等多种函数知识,但对函数的认识大多停留在函数解析式的求解方面,这呈现出高度的历史相似性. 其次,可采取复制式的方式,直接采用历史上弦振动的问题,展示弦振动过程中的图像,要求学生写出其函数解析式,进而引发学生的认知冲突,顺利地由“解析式说”阶段过渡到“变量依赖说”阶段. 最后,可采取顺应式的方式,根据历史材料,编制数学问题[18]. 例如,解释“校运会男子100 米记录统计表”这一例子. 通过例子,让学生明白“变量依赖关系”的局限,产生寻求新的函数定义方式的心理缺口,进而顺理成章地引出函数对应关系的两种定义: 变量对应和集合对应.

在函数概念教学过程中,通过附加式、复制式和顺应式的方式引入数学史,让学生感受函数概念逐步形成的四个阶段, 体会其中自然而然的生成过程, 帮助学生构建“知识之谐”. 与此同时,在函数概念的探究过程中,学生也能积累探究经验,获得“探究之乐”. 另外,学生了解了伯努利、欧拉等数学家在函数概念上作出的努力与贡献,明白数学家也不是一开始就能得到正确的数学知识,而是要经过不断地犯错与改进,孜孜不倦地求真求实,才能更接近真理,从中感悟数学家的理性精神,培养正确的数学态度与价值观,达到“德育之效”. 除此以外,在展示函数概念的同时,感受不同时空的数学家们思想的碰撞,呈现出多元的文化,展示了“文化之魅”.

3.2 重构数学史,感受知识的应用价值

数学具有重要的科学价值与丰富的人文价值[19]. 在数学课堂教学中,教师不仅要注重数学的科学价值,更要关注数学的人文价值,把握开发数学课程文化教育的机会,实现其文化价值的功能[20]. 人教A 版必修二第七章第一节复数的概念蕴含了丰富的数学历史文化,教师应积极利用这一优质的课程资源,开发本节课的文化教育功能.《课标(2017 年版)》也提到:“在复数的教学中...... 可以适当融入数学文化,让学生体会数系扩充过程中理性思维的作用[6]. ”这也间接反映了在复数概念的教学中,借鉴数学史进行重构式教学,既有助于学生感受复数概念的历史形成过程,进一步理解复数的概念与意义,构建“知识之谐”,同时也有助于让学生感受数学的文化和精神,领略“文化之魅”,进而达到“德育之效”.

复数概念的产生经历了漫长而曲折的过程,这一过程最先由“负数开平方”问题而起. 公元1 世纪在《度量论》中所提到的“平顶金字塔不可能问题”,便是最先记载负数开平方的历史文献[21]. 在后来的漫长岁月里,也有众多的数学家在讨论一元二次方程的根时,都遇到了负数开平方的情况,但众多的数学家对此不约而同地选择了忽视. 直到16 世纪,意大利数学家卡当的“分十”问题的提出以及数学家邦贝利的求解三次方程的探讨,数学家们才开始讨论虚数,但此时虚数仍不被重视[22]. 时间来到17 世纪,被搁置已久的对虚数的研究,在代数基本定理、高次方程作图问题和二元二次方程求解问题的出现后,才被数学家们正视起来[21-23]. 18 世纪,与复数相关的发现与应用层出不穷,例如,棣莫佛定理、虚数符号的出现以及其在流体力学中的应用,数学家们才逐渐接受并研究复数[24].

纵观复数的产生和发展史,复数的引入并非源于实际的问题背景,而是解决数学内部问题的需要[25]. 在高中生已有的认知图式中,负数不能开平方,这没有意义,如此,学生便会对复数的学习产生不解与排斥,这种现象也呈现出历史相似性. 因而,了解数学家在复数产生过程中所面临的困惑,寻找复数概念产生的动因,有利于学生明白复数引入的必要性和合理性,增强学生的学习积极性. 在实际教学中,教师首先可采取复制式的方式,再现历史上的卡当“分十”问题,以此引发学生关于“负数不能开平方”的认知冲突. 其次,可采取重构式的方式,让学生探究三次方程的求根问题[5]以及莱布尼茨的二元二次方程组问题[23],在此过程中,教师还可以利用信息技术手段,让学生通过直观的方式感受到“n次方程有n个根”,基于以上探究,进一步让学生体会到复数引入的必要性. 接着,通过类比负数的引入以及几次数集的扩充,让学生体会复数引入的自然性和合理性,从心理层面愿意接受并学习复数的相关知识[26]. 最后,可通过附加式的方式介绍历史上数学家在微积分及流体力学等方面对于复数的运用,让学生更深刻地感受到复数的应用价值,增强学习动机.

在复数概念的教学中,通过附加式、复制式和重构式的方式运用数学史,追溯知识源流,重现并组织学生自主探究历史问题,帮助学生构建“知识之谐”,营造“探究之乐”并展示了“文化之魅”. 在教学中,学生经历了数学运算、数学抽象与类比学习等过程,有助于数学思想方法与数学核心素养的培养,实现了“能力之助”. 值得一提的是,教师的教学应尽可能为学生理解知识发展的自然性与必然性服务,为学生体会知识形成过程中所蕴含的思维与方法服务[27]. 除此以外,从复数概念历史发展的角度去认识与学习复数,学生从中感悟到数学家们不屈不挠、精益求精的精神,达到了“德育之效”.

3.3 借鉴数学史,培养数学核心素养

人教A 版《必修一》第二章第二节的内容为基本不等式. 《课标(2017 年版) 》要求“掌握基本不等式. 结合具体实例, 能用基本不等式解决简单的最大或最小值问题[6]. ”从课标要求分析,对基本不等式的要求并不算高,加之学生在初中阶段已经学习了勾股定理、完全平方公式及不等式等相关知识,有一定的认知基础. 如果教师在该节内容的教学上,只是简单呈现出基本不等式,然后花大量时间来练习求最值问题,这样冰冷机械的方式可能看似实用、高效,但却忽略了学生的情感发展,割裂了数学与人文的联系[28]. 数学史中与基本不等式相关的内容并不多[29],但相关的证明方法却是一件值得我们珍视的宝藏. 因此,教师可借鉴相关史料进行教学,一方面可以帮助学生领略多样的证明方法,另一方面也可以体会到数学深厚的文化意蕴,滋生学习数学的兴趣与自信心.

回顾教材, 首先在第二章第一节的探究活动中设置了赵爽弦图并由此引出不等式a2+b2≥2ab, 其次在第二章第二节中对该不等式进行换元得出基本不等式,紧接着利用帕普斯半圆模型探究基本不等式的几何解释. 最后,在理解基本不等式的基础上,进行具体实例的应用. 从教材的设计看,基本不等式这一知识的教学是符合HPM 设计理念的[30]. 而教师要做的便是,充分利用教材设计的妙处,进行适当的拓展,例如介绍均值不等式并帮助学生拓宽思路,学习丰富多样的证明方法,感受数学中的方法之美. 具体到教学中,教师可从代数证法与几何证法两个角度出发,拓展证明方法. 例如,几何证法中,在学习弦图模型和半圆模型之后,可再介绍圆模型[30]. 由于圆模型与半圆模型的本质与思路相似,教师拓展这一方法也不会增加学生的接受负担. 再如,代数证法中,教师可介绍和差术法、判别式法[30]和比例法[30-31]等,学生容易接受的方法. 在本节课的教学中,带领学生感受多种证明方法,是为了能让学生在学习基础知识之外,学习到更多的方法,领略数学的魅力,增强学习动机. 值得一提的是,证明基本不等式或均值不等式的方法有很多, 教师应精挑细选多种方法进行教学,而这些方法又不会对学生造成太大的学习负担,否则就是本末倒置了.

在基本不等式教学中借鉴数学史,多种证法的介绍构建了“知识之谐”,彰显了“方法之美”,为学生营造了“探究之乐”. 同时,数学家们精彩纷呈的思路,精益求精的精神,也为达成“德育之效”添砖加瓦. 教学过程中借助弦图、半圆与圆模型,培养学生数形结合的思想意识与直观想象素养. 除此以外,代数证法的介绍更是为学生逻辑推理、数学运算等素养的培养锦上添花,实现了“能力之助”.

4 结语

中学数学课堂普遍存在重知识、能力,轻情感、信念的现象,导致学生对数学的认知过于片面、狭隘,不利于学生的全面发展. 教师适当地运用数学史,一定程度上可以帮助学生感受知识的形成过程与应用价值, 增强学生的信心与动力.总体而言,数学史的灵活运用有其不可替代的教育价值,值得教育工作者的关注与重视.