多策略改进的乌燕鸥算法及应用

王国柱，周强，陈慧波

（1.河南工学院电气工程与自动化学院，河南 新乡 453003；2.郑州大学电气工程学院，河南 郑州 450001；3.卫华集团，河南 长垣 453400）

1 引言

近年来，制造业的绿色制造一直是比较热门的研究方向，为实现这一目的，各类工程优化问题变得尤为重要，然而，现实各类工程问题变得越来越复杂，这些问题具有非线性、复杂性、多约束等特征。数值方法很难获取较好的结果。元启发式算法可以克服数值方法的缺点（如求解时间长、精度较低等），高效地解决各类工程优化问题。主梁轻量化设计一直是起重机设计过程中关注的主要问题，对实现起重机绿色制造目的尤为重要。主梁轻量化设计问题通常可简化为受复杂荷载作用下箱型结构的简支梁的问题，此问题是一个复杂的非线性多约束的优化问题。目前，文献[1]采用并行策略，基于DE、ABC和PSO算法提出混合粒子群算法（DAPSO）对跨度为31.5m 桥式起重机系列化轻量化设计。文献[2]狼群算法与DOE 技术相结合的方法对16T主梁结构进行轻量化设计。文献[3]采用改进微粒群算法对主梁进行优化设计。文献[4]利用混合遗传算法（GA）和人工鱼群算法（AFSA）的AFSA−GA串行算法有效地解决了50t/22.5m的桥式起重机主梁轻量化设计问题。

文献[5]利用混行算法对主梁结构进行优化设计。文献[6]将改进萤火虫算法用于主梁结构的优化，主梁的质量降低了6.87%，实现了轻量化设计的目的。文献[7]采用中心引力搜索算法实现了箱型主梁质量减轻14.5%的目的。总之，元启发式算法可以有效地解决复杂的现实问题（如主梁优化问题），但是，对于主梁结构轻量化设计的问题，这些方法可以获得较好的结果，但是，仍存在求解效率较低、陷入局部最优等问题。

乌燕鸥优化算法（STOA）是比较新颖的一种元启发式群智能算法，已被广泛地用于求解各类复杂的结构优化问题[8]。与其他存在的元启发式算法相比，它具有设置参数少、易实现、收敛较快等优点。对于多数问题，STOA算法可以提供较好的优化设计结果，但STOA算法对于求解多维问题时依旧存在收敛精度低、种群多样性弱、易陷入局部最优等缺点。为提高STOA 算法的性能，文献[9]提出了一种STOA−GA混合算法，有效地解决了特征选择问题。

鉴于此，旨在提高STOA算法的收敛性能和工程实际应用能力，提出一种多策略改进的乌燕鸥算法（Multi−Strategy Improved Sooty Tern Optimization Algorithm，MISTOA）。具体地：首先，对算法的初始种群采用Cat混沌映射初始化，保证种群的多样性。其次，在迁徙阶段，采用自适应因子和高斯变异算子对算法的位置更新方式进行改进增强算法全局搜索能力。在攻击行为阶段，在乌燕鸥位置更新后对乌燕鸥种群进行自适应邻代交叉变异，提高种群的多样增强算法跳出局部最优的能力。此外，对最优乌燕鸥个体进行高斯变异扰动，增强算法的全局探索和局部开发能力之间的平衡能力。最后，针对32t/22.5m主梁轻量化设计问题，验证了MISTOA算法的工程实际应用能力。

2 乌燕鸥算法（STOA）数学模型

根据乌燕鸥群体的生物习性，乌燕鸥算法数学简化模型可分为包含迁徙和攻击两个搜索阶段，其具体的数学模型描述如下：

2.1 迁徙阶段

在乌燕鸥群体迁徙过程中，为保证能够乌燕鸥群体有序的迁徙，需满足三种假设条件：（a）避免乌燕鸥个体之间发生碰撞，（b）在满足条件（a）的假设前提下，乌燕鸥群体沿最佳的搜索方向进行迁徙，（c）在满足条件（a）和（b）的情况下，乌燕鸥群体位置发生更新。首先，条件（a）可由式（1）和式（2）来表示。

2.2 攻击阶段

乌燕鸥群体在迁徙过程中，会采取螺旋方式来进行自我防御，通过频繁地改变攻击速度和攻击角度，不断地改变自身飞行高度，对猎物进行攻击。此攻击行为可被式（6）来描述。

式中：R—每个螺旋的半径；θ—攻击角度范围为[0，2π]；u、v—螺旋形状的相关常数；e—自然对数的底数。乌燕鸥的位置更新可由式（7）描述。

3 多策略改进的乌燕鸥算法（MISTOA）

3.1 Cat映射初始化种群

算法种群的随机生成方式易增加算法种群丧失多样性的可能性，造成种群初期迭代时多样性较弱，使得算法收敛效率低下，难以跳出局部最优。

因此，初始种群的多样性是否丰富对算法性能影响较大，在STOA算法中，种群的初始化采用Cat 混沌映射来提高种群的多样性，Cat 混沌映射可由式（8）来描述[10]。

3.2 自适应高斯变异策略

在STOA算法中，乌燕鸥个体在迁徙过程中，由于搜索步长固定且种群多样性后期减弱，可以使得算法陷入局部最优的概率大幅增加，因此，（1）采取自适应的权重方法[11]，权重的动态变化可以使得乌燕鸥种群的多样性增加，进而跳出局部最优值，如式（9）所示。（2）种群搜索空间靠近全局最优附近时，无法高效的利用最优种群的多样性减弱，降低全局最优搜索的能力，为避免此问题，引入高斯变异分布函数Gaussian(μ，σ2)［12］增加乌燕鸥个体的种群多样性，扩大搜索空间，提高算法的全局搜索能力。

因此，在迁徙阶段过程中，融合自适应权重和高斯变异改进算法全局迁徙方式，即将式（5）可修改为式（10）。同时，当种群接近全局最优解时候，对最优乌燕鸥个体进行高斯扰动，增加全局搜索能力。可由式（11）表示。

3.3 自适应邻代交叉学习策略

在标准的STOA算法中，乌燕鸥个体在搜索空间内进行搜索全局最优解过程中，缺乏自我学习经验，容易造成难以吸收差解，造成乌燕鸥个体陷入局部搜索空间内，从而导致算法出现停滞现象，陷入局部最优。

因此，为增加种群个体之间的信息交流，提高算法跳出局部最优解的可能性。在算法攻击位置更新后，对种群进行自适应邻代交叉学习变异如式（12），在保证种群多样性的同时提高算法的跳出局部最优的能力。

3.4 MISTOA算法步骤与流程

MISTOA 算法步骤与流程，如图1所示。

图1 多策略改进的乌燕鸥算法流程Fig.1 Flowchart of MISTOA

（1）MISTOA 算法参数设置，种群数量N，最大迭代次数Maxiteration及β。

（2）种群由式（8）进行初始化生成，并计算适应度函数的值。

（3）乌燕鸥的迁徙位置由式（1）～式（4），式（9）～式（10）进行更新。

（4）根据式（6）和式（7）进行乌燕鸥位置更新，进一步利用式（12）对乌燕鸥种群进行学习并更新位置。

（5）根据式（11）进行乌燕鸥最优个体位置更新。

（6）判断算法是否满足迭代条件，如果是则输出最优结果，否则重复（2）至（6）。

4 MISTOA算法性能评估

通过测试函数可以评估MISTOA 算法的寻优性能。选取7个测试函数包含单峰、多峰和固定维度多峰函数，如表1 所示。同时选取STOA［8］，MFO［16］，CS［14］，GWO［13］和ALO［15］算法与MIS⁃TOA 算法进行对比分析。各种算法种群数量为30，迭代次数为1000，其余参数设置对于STOA和MISTOA算法α=2，对于MFO算法b=2，对于CS 算法Pa=0.25，β=1.5。对于GWO 算法a=[2，0]，实验环境仿真软件为MATLAB R2020b，系统为Windows 7 64位家庭版系统，16G内存，处理器为Intel Core i7，2.1GHz。

表1 测试函数Tab.1 Benchmark Functions

所有算法测试在相同的实验环境下进行。采用统计分析的结果，即所有算法的结果均是在独立运行30次后获取的最优值、最差值、平均值和标准差。实验统计结果，如表2所示。

表2 测试函数实验结果Tab.2 Experimental Results of Benchmark Functions

由表2统计结果可知，算法的收敛精度和寻优效果一般以最优值和平均值来衡量。对于函数F1 和F5，STOA 和MISTOA 算法寻优得到了全局最优解0，其结果优于CS、GWO、MFO 和ALO算法。对于函数F5，GWO 算法获得了最优解0。对于函数F2，F3 和F6，MISTOA算法寻优精度要优于STOA、CS、GWO、MFO和ALO算法。对于函数F7，CS、GWO、MFO和ALO算法获得最优解和平均解优于STOA 和MISTOA 算法，但是MISTOA 算法结果优于STOA算法。

总之，对于F1至F7函数，MISTOA算法获取最优结果的占比达到了约85.7%。与其他5种算法相比，对于多峰函数，MISTOA算法获取的结果优于其他方法。这充分说明了MISTOA算法具有较强的寻优能力和收敛精度。

由表2中，最差值和标准差值统计结果可知，对于函数F1，F4和F5，STOA和MISTOA算法的最差值和标准差值寻优精度相同，寻优精度优于CS、GWO、MFO 和ALO 算法。对于函数F1 和F5，STOA和MISTOA算法的最差值和标准差值寻优精度均为0。对于函数F2，MISTOA 算法的最差值和标准差值的精度均达到了1E−01。

二者结果优于STOA、CS、GWO、MFO 和ALO 算法。对于函数F3，MISTOA算法的最差值和标准差值的精度至少达到了1E−04，且寻优精度明显高于其他算法。对于函数F7，所有算法的寻优精度相同，但是MISTOA算法寻优结果优于STOA算法。

因此，对于大部分测试函数，相比5种其他算法，MISTOA算法的最差值和标准差值寻优精度高于其他算法，这可以看出，MISTOA算法稳定性和鲁棒性较好。部分测试函数的收敛曲线,如图2所示。

图2 测试函数收敛曲线Fig.2 Convergence Curve of Some Benchmark Functions

可以明显看出，STOA 算法初期收敛速度明显缓慢，迭代后期不易跳出局部最优。但是，MISTOA算法收敛速度快于其他5种算法，可以用最少的迭代次数获取更好的寻优结果。同时，与STOA算法相比，MISTOA算法收敛曲线下降较快，不易陷入局部最优。总体来看，MISTOA算法明显改善了STOA算法收敛速度缓慢和局部停滞的问题，尤其对于多峰函数。这是由于采用了Cat混沌映射保持了种群的多样性。融合自适应因子、高斯算子和邻代交叉学习策略，使得算法收敛速度加快。因此，MISTOA算法是一种高效的算法。

综上所述，采用多策略改进后的MISTOA算法改善了STOA算法的性能，使得算法的寻优能力更好。

5 桥式起重机主梁轻量化设计

5.1 优化模型及约束条件确定

根据起重机设计手册可知，桥式起重机主梁结构受复杂荷载的作用下，应满足3S（即刚度、强度和稳定性）要求。主梁的轻量化设计目的是减重，通常将其等价为在非线性约束的条件下求解主梁截面面积最小的优化问题。

为验证所提算法MISTOA算法的工程实际应用能力，以32t−22.5m桥式起重机主梁结构为轻量化设计对象，其主梁主要结构可简，如图3所示。

图3 主梁截面等效结构Fig.3 Main Girder Structure

图中：x1—主梁腹板高度；x2—主梁下翼缘板宽度；x3—上翼缘板厚度；x4—下翼缘板厚度；x5—主腹板厚度；x6—副腹板厚度。

（1）此优化问题的目标是主梁截面面积最小，因此，目标函数可由式（13）确定。

5.2 约束条件确定

5.2.1 强度约束

当小车位于主梁跨中时，一方面，主梁受的复合应力σc和最大应力σ应该均小于材料的许用应力，另一方面，主梁在跨端处产生的最大剪应力τ应该小于材料的许用剪应力且主梁跨中处的焊缝处的疲劳应力σmax应该小于材料的拉压疲劳许用应力。因此，强度约束条件可由式（14）～式（17）确定。

式中：[σ]—材料许用应力；[τ]—材料许用切应力；[σri]—焊缝拉伸疲劳许用应力。

5.2.2 刚度约束

主梁跨中位置处的最大垂直挠度Y和水平挠度X应该均小于许用值，且自振频率fv应该大于许用值。因此，刚度约束条件可由式（18）～式（20）确定。

式中：[Y]—许用垂直静刚度；[X]—许用水平惯性位移；[fv]—许用自振最小频率。

5.2.3 稳定性及几何尺寸约束

根据稳定性要求，主梁高度h与腹板间距b1应满足式（21），主腹板之间的翼缘板b2应满足式（22）及主梁的高跨比λ应满足式（23）。主梁的几何尺寸应该满足式（24）。

5.3 轻量化设计结果分析及有限元校核

针对此问题，利用MISTOA和STOA算法分别对主梁进行轻量化设计，收敛曲线，如图4所示。与其他文献中的方法相比较的轻量化设计统计结果由表3给出。

图4 主梁优化收敛曲线Fig.4 Convergence Curve of Main Girder

图4 可以明显看出MISTOA 算法比STOA 算法求解效率要高，收敛速度较快且精度要高。由表3可知，MISTOA算法可以获得主梁截面面积最小为30427.37mm2，STOA算法可获得主梁截面面积最小值为30910.31mm2，显然采用MISTOA算法求得结果优于STOA算法。

表3 主梁优化结果对比Tab.3 Statistical Results of Lightweight Design of Main Girder

与文献中的方法相比，MISTOA算法获得的结果与混行策略方法接近，优于PSO 算法，网格法，并行模块方法。与原有设计相比，MISTOA 算法、混行算法、STOA 算法、PSO 算法、并行模块法和网格法的减重率分别可达到20.76%，20.96%，19.50%，17.61%和2.08%。因此，MISTOA 算法可以很好地处理复杂的非线性约束问题。

主梁的轻量化设计是否满足安全设计要求，因此，采用有限元分析对采用MISTOA算法优化主梁的力学性能进行校核。优化后主梁的应力、变形和一阶固有模态，如图5～图7所示。

由图5可知，主梁优化后的最大应力为74.23MPa，发生在主梁跨端处，主梁的应力小于其许用应力[σ]H=175MPa，满足强度要求。由图6可知，主梁优化后的最大变形为3.45mm，发生位置处于主梁跨中，主梁的最大变形小于许用垂直变形[Y]=28.125mm，满足刚度要求。

图5 主梁优化后最大应力Fig.5 Maximum Stress of Main Girder by MISTOA

图6 主梁优化后最大变形Fig.6 Maximum Deformation of Main Girder by MISTOA

由图7可知，主梁优化后的一阶固有频率为6.81Hz，方向沿水平方向上下摆动，主梁的一阶固有频率大于其许用自振频率[fv]=2Hz，满足稳定性要求。

图7 主梁优化后一阶固有频率Fig.7 First−order Natural Frequency of Main Girder by MISTOA

因此，采用MISTOA 算法对主梁进行轻量化设计结果是合理，满足安全设计要求。

综上所述，采用MISTOA算法对桥式起重机主梁进行轻量化设计的结果较好，充分表明了MISTOA算法具有较好的工程应用价值。

6 结论

融合多种改进策略，提出了一种多策略改进的乌燕鸥算法（MISTOA），并对所提出的算法寻优性能和工程实际应用性进行评估。得出以下结论：

（1）在MISTOA算法中，对算法的初始种群采用Cat混沌映射初始化，保证种群的多样性。在迁徙阶段，采用自适应因子和高斯变异算子对算法的位置更新方式进行改进增强算法全局搜索能力。在攻击阶段，在乌燕鸥位置更新后对乌燕鸥种群进行自适应邻代交叉学习变异，提高种群的多样增强算法跳出局部最优的能力。最后，对最优乌燕鸥个体进行高斯变异扰动，增强算法的全局探索和局部开发能力之间的平衡能力。

（2）结果表明，MISTOA算法寻优能力优于STOA、CS、GWO、MFO 和ALO 算法。对桥式起重机主梁的轻量化设计采用MIS⁃TOA算法可实现主梁减重达20.76%，减重效果优于文献中已有的大部分方法。因此，MISTOA算法是一种高效的、实用性较强的智能优化算法。

（3）未来可对MISTOA算法的应用范围进行扩展，将其应用于其他领域内进一步验证它的实际应用性能。