刍议分类思想在初中数学教学中的有效运用

陈新建

(南通市通州区育才中学，江苏 南通 226300)

数学的学习离不开思维逻辑的运用，因为在思考、解决数学问题的过程中，需要学会将一个大问题分解成若干个小问题，并选择最为简洁的步骤和路径进行解决.这种总结、分类能力不仅要求学生对不同体系的数学知识点要有一个准确且清晰地把控，更要做到不重复、不遗漏.可以说，对学生分类思想的训练能够帮助他们形成更为直观、实用的数学思维，以提高初中生的数学核心素养.

1 初中数学中分类思想种类概述

1.1 基本概念引申的分类

很多数学概念都源自于分类理念，通过分类进行概念区分.因此教师在讲述概念含义的过程中，可以从分类思想的角度出发，帮助学生区分不同概念之间的差异与联系，形成更为立体、直观的概念认知，比如“有理数”与“无理数”，“因数”与“质数”等.

尤其是在学习几何概念时，将方位空间概念与分类思想结合，能够帮助学生形成更为立体化的几何概念，将数与形有机地结合起来.比如何为“外角”“内角”“外角和”“内角和”？如何在多边形中进行合理地几何划分和计算？等等，都可以让学生通过分类来更加清晰地认知和应用数学知识.在学习函数时，根据自变量的取值范围，可以实现函数关系式的分类，区分不同函数的求解方式等等.可以说，分类思想是帮助学生了解、理解概念的一个重要方式.

1.2 法则性质引申的分类

法则与性质类的数学概念一般需要学生通过计算或推理来实现.在推理和论证的过程中，教师可以让学生尝试用“分类”的方法来整理思路.比如论证“可以转化为分数的都是有理数”“过两点有且只有一条直线”“同位角相等，两直线平行”等等，这些性质的论证过程是学生锻炼自我批判思维和探究能力的过程.只有不断尝试不同的方向、思路，才能真正脱离既有结论和思维定式，实现数学逻辑方面的能力锻炼和成长.

2 分类思想在初中数学教学中的应用

2.1 结合教材内容，融合分类思想

新课改教材中融合了很多探究性的教学内容，结合生活实践给予学生理论知识之外的思维引导.比如通过跨海大桥结构来探究全等三角形的稳固性，通过紫禁城来认知轴对称图形等等.可以说从教材出发进行分类思想的教学，不仅能够帮助学生更加清晰地总结、归纳教材中的内容，更将理论知识与实践体验进行了细化和内化，将所学真正融入到自己的思维逻辑架构中去.特别是在对概念性内容进行讲解时，从分类概念出发而进行的概念认知能够让学生系统性地建立知识架构，形成更为完整的数学知识体系.

比如在学生最初接触三角形时，教师可以给出一组多条线段交叠的几何画面，让学生从图片中寻找出尽量多的三角形，并给这些三角形进行分类.如果给出其中一个或几个角的度数，推算出尽量多的角度等等，让学生通过自我探寻发现三角形的种类、特性.在此基础上，教师可引导学生结合教材总结：三角形分为三边都不相等的三角形和有两边相等的三角形，后者又分为等边三角形和底边和腰不相等的等腰三角形.教师提醒学生在学习三角形的定理、性质时应注意对比不同类三角形的特性，以此培养学生随时复核、对比的思维习惯，起到温故知新、推陈出新的教学效果.

2.2 利用课堂探究，细化分类思想

利用分类思想进行课堂教学，有利于引导学生自主探究，培养发散思维.在教学中，教师要从学生的认知水平出发，结合素质教育的分层概念，给予全体学生均衡的可探究内容.从思想观念角度来讲，分类思想讲求系统性和素材的累积，虽然并不能通过一两节课达到明显的教学效果，但却能够在日积月累中培养学生良好的思维习惯和学科素养，特别是在自主探究能力和意识培养方面，起到了举足轻重的作用.就像驱策一群小羊进入到特定的区域“进食”一样，利用分类思想来细化课堂教学，就如同给学生划分了不同的去往“草场”的道路，让学生自己选择最适合的那条路前往目的地，尽量发挥学生自己的选择权和支配权，贴合初中生正处于“叛逆”心理高发期的客观情况，给予学生感受、拒绝、选择的权利，往往会取得比被动驱策更好的教学效果.

其实，在古代中国数学中，“有理数”和“无理数”是没有进行明确区分的，这两者是在希腊哲学家们的研究中被区分开来的.可以说对“有理数”和“无理数”的区分是一种较为“理论化”的数学概念研究形式，能够帮助人们以更为理性的方式来看待“数”的分类，对学生分类思想的培养有着指导意义.教师可以将此思路进行延伸，鼓励学生寻找数字之间、题目之间，甚至图形之间的内在区分，建立自己的逻辑概念.比如通过分类东、西方数学知识的研究领域，理解数学文化背后的深刻历史含义，加深对数学学科内涵的认知；通过分类几何图形在点、线、面等不同方面的概念，将几何知识形成一个有总有分的整体，让学生可以灵活提取、巧妙转换，从而突破几何困境.可以说，将分类思想应用到数学课堂上，是以理性带动感性的过程，让学生通过有条理的思维去发散自由的想象力和创造力，提高对数学知识的理解与应用能力.

2.3 引导思维认知，深化分类思想

在传统教学中，教师将数学思维的培养依托于试题中，通过布置大量试题来锻炼学生熟练应对不同类型数学题目的能力.在“以一对多”的战役中，难免会出现“打偏”的情况.素质教育改革以来，教育部门推行“分层教学”，让教师必须对不同层面的学生负责，从核心素养出发，尊重学生的个性化发展，让学生能够在“苦读书”的时候有目标、有方向，而不是一味地被驱赶着“跟上队伍”，不看前方，只一味地盯着自己面前的一方天地.因此，从思维认知的角度引导学生进行分类思想的学习，是一种可行性较强的“个性化”课堂指导方向.从初中数学教学现状出发，学生在经过小学数学学习后，基本具有了自己的学习思路，在迎接更为复杂的高阶数学概念时，需要在原有框架的基础上搭建更为复杂、立体的思维架构.

比如小学阶段学习了数字与计算的联系，将数字分为整数、分数与小数.也学习了基本的平面几何知识，将几何分为正方形、圆形、三角形的面积计算以及柱状体、圆锥体、立方体的体积计算等等.而到了初中，这些分类都将被重新划分，之前的数字需要划分出“有理数”与“无理数”；之前的方程会在计算方面细化，包括多元方程中的合并同类项计算以及与概率、几何、速率等应用题相结合的方程计算等等，都需要学生将之前的认知进行重新地分类，这些都十分考验学生的逻辑思维能力.比如对于下列题目：“小纸盒的长为a，宽为b，高是c，大纸盒的长度是小纸盒的1.5倍，宽和高都是小纸盒的2倍，那么做大纸盒和小纸盒共需要多少平方厘米的料？而大纸盒又需要比小纸盒多用多少料呢？”对于这个题目的思考，就需要分为几何体积计算和方程计算两个部分，在列出基本的方程之后再进行方程的换算，同时通过两种纸箱的用料对比，也能够将方程的换算与应用题计算结合起来.

2.4 鼓励实践所学，落实分类思想

数学是一门源自生活的科学，也是一门用于生活的科学，它可以是与人们生活息息相关的小细节，也可以是国家基建与军事国防力量的保证.研究数学分类就是从根本上理解数学存在的意义，让学生抓得住重点，理解自己所学习的数学究竟从何而来？为什么学？又有何用处？而在不同的分类中研究所学知识并与生活实践联系起来，能够帮助学生更加真切地理解理论知识，同时形成更为牢固的理论知识基础.

以思维导图的绘制为例，绘制思维导图和整理错题集一样，都是帮助学生回顾所学、内化知识的重要过程，是将“学”与“思”结合起来的重要方式.但在这个过程中，如果学生只针对“错题”去反复记忆、反思，而不去结合新的思路进行思考和拓展，就丧失了“思”的意义，变成了单纯的经验积累，最终原地踏步，无法获得新的知识和更多的数学价值认知.比如在学习《三角函数》这一章节时，思维导图上就可以结合古人“以井口半径推测水深”的案例来进行实践拓展.该案例是古人巧用勾股定理进行劳动实践的例子，在没有精确测量仪器的前提下，古人能够运用三角函数的知识简化劳动过程，这便是中华民族对数学思想活学活用的表现.教师可以引导学生以此为启发进行数学原理的分类总结，结合所学到的三角函数知识延伸该思路，思考在日常生活中三角函数还能有哪些应用？又比如利用科学家测量“金字塔”高度的方式，来测量自己家所在楼层的高度等等.这些都能够帮助学生丰富自己的“分类思维导图”，形成一个个独特的记忆点，为以后的学习提供延伸和发散的新思路.

我们的国家要实现数字技术的突破和创新，完成技术强国的中国梦，绝对离不开数学领域的创新性研究.因此，我国的数学教育更需要大力培养创新性人才，营造更为宽松、和谐的学术研究氛围，让更多学生认识到数学思想的宝贵、数学学科的魅力和数学精神的内核.从数学教学的整体来看，初中数学是重要的“打基础”阶段，这时的学生开始有意识地建立自己的数学逻辑架构.如果在这个阶段让学生错失分类、化归、数形结合等数学解题思考的能力，那么就会使得更多有资质和天赋的学生丧失数学高阶研究与创新的能力.因此，在这一阶段的数学教学中融入分类思想，是提高当代学生数学核心素养、培养创新思维能力的重要途径，为未来社会培养创新人才打下了基础.