初中数学公式教学的基本过程

蒲大勇　杨玉敏

［摘  要］ 数学公式教学的本质是概念的意义建构． 数学公式教学的基本过程为“问题提出—通例辨析—特征普适—公式形成—巩固应用—内化表征”，这六个环节既环环相扣、层层递进，又相互促进，形成闭合的回路. 在这个过程中，学生对数学公式的结构特征从表象到本质、从感知到认知、从感性到理性，逐步掌握数学公式的本质特征，进而建构新的知识结构．

［关键词］ 初中数学；公式教学；基本过程；平方差公式

数学公式与数学公式教学

公式通常是指用符号语言表示不同量之间某种关系的式子． 公式是在实践的基础上，经过归纳、概括而得出的具有普遍性关系的式子． 数学公式是用数学符号表示各个量之间的一定数量关系的数学式子．数学公式具有“三性”：一是抽象性，数学公式不是客观世界的直接表达，而是客观世界中数量关系的高度概括；二是普遍性，数学公式揭示的是一类数量关系的基本规律；三是演绎性，数学公式是数学推理证明的重要依据［1］． 数学公式是数学的重要组成部分，是渗透数学思想方法的重要载体，对培养学生的数学思维、提升学生数学素养有着举足轻重的作用． 数学公式与数学性质、法则、运算律等一起组成数学原理，而数学原理与数学概念构成数学知识的核心． 事实上，数学公式揭示的是数学概念的基本规律. 数学公式教学的本质是数学概念的意义建构，由此建立不同知识之间的有效联系． 观察当下数学课堂，针对数学公式的教学较多地存在与概念教学混为一谈、“重公式结论轻，公式生成”、“教师讲公式，学生背公式”、教学思路不清晰、教学结构比较混乱、数学公式本质揭示不够等问题． 那么如何进行数学公式教学呢？认知理论认为，学生的学习和对客观世界的认知具有循序发展规律． 建构主义也认为，知识的意义是由学习者自己建构起来的，知识的意义是无法通过直接传递而实现的． 因此，研究者归纳出建构初中数学公式教学的基本过程（如图1所示）．

初中数学公式教学的基本过程为“问题提出—通例辨析—特征普适—公式形成—巩固应用—内化表征”，这六个环节既环环相扣、层层递进，又相互促进，形成闭合的回路. 在这个过程中，学生对数学公式的结构特征从表象到本质、从感知到认知、从感性到理性，逐步掌握数学公式的本质特征，进而建构新的知识结构． 那么，如何实施数学公式教学呢？为方便说明，文章以人教版数学教材八年级上册“平方差公式”第一课时的教学为例，谈谈数学公式教学的基本过程，以飨读者．

数学公式教学的基本过程与教学实践

1. 问题提出

问题是数学的“心脏”，也是数学公式的“心脏”． 设置指向数学公式的问题，帮助学生认识为什么学习这个数学公式，引发学生的认知冲突，此时的问题起到先行组织的作用． 也就是说，通过适当的情境创设，在情境中提出问题，让学生理解学习数学公式的必要性和重要性．这里的关键是创设适当的情境，由情境生发问题． 创设情境的例子一般来源于生活实际或数学知识内部，从生活实际中的例子让学生明白数学公式来源于生活并能解决生活中的问题，数学公式是有用的；从数学知识内部的例子让学生明白数学公式是基于数学知识不断拓展的，数学知识的“边界”不断突破是必然的． 无论是哪种方式创设的情境，根本在于其具有所学公式的必要因素与必要形式，能启动学生的思维齿轮（引发认知冲突），使得情境一提炼就是公式，公式一还原就有情境的基础或原型［2］．

案例1

活动一：旧知回顾

1． 計算：（x+3）（x-1）．

追问：你是怎么计算的？

师生共同复习“多项式×多项式”的法则，并板书（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq．

2． 变式计算：（x+1）（x-1）．

活动二：结构分析

师：观察、比较（x+3）（x-1）和（x+1）（x-1）的异同点．

生：相同点在于两者都是整式乘法，都可以用“多项式×多项式”的法则进行计算；不同点体现在式子（x+1）（x-1）与（x+3）（x-1）的结构不同，（x+1）（x-1）的两个因式的第一项相同，第二项互为相反数，（x+3）·（x-1）则不是；运算结果的形式也不同，（x+1）（x-1）的运算结果为二项式，并且是“这两个数的平方差”，而（x+3）（x-1）运算的结果为三项式．

活动三：问题讨论

“两个数的和与这两个数的差的积”具有这种特殊结构的两个因式相乘，还有简便的方法进行计算吗？

评析 “多项式×多项式”的法则是整式乘法的一般的、基本的形式，适用所有整式乘法．教学中采用“旧知回顾”，让学生从熟悉的、已有的知识入手，在计算（x+3）（x-1）后，变式把“3”改成“1”，计算（x+1）（x-1）；“结构分析”环节引导学生观察、比较前后两个式子的结构特点；引出“还有简便的方法进行计算吗”的问题讨论，指向本节课的教学重点． 上述教学环节就是从数学知识的内部结构出发，遵循数学知识“从一般到特殊”的发展规律和学生认知数学公式的“先一般再特殊”的学习规律，“要简化计算”必须学习平方差公式，达到引发学生认知冲突的目的．

2. 通例辨析

通例是指普遍的、一般的、能够体现数学公式本质特征的例子． 通例辨析就是对提供的通例进行辨别、分析，找出其本质，摒弃其非本质． 这是数学公式教学非常重要的一步，也是学生认识、感知数学公式的关键．充分、恰当的通例对数学公式教学起到举足轻重的作用；同时，深入的辨析也是学生认识数学公式的基础． 这里，涉及两个关键问题，一是通例的选取． 通例集中体现在“通”字上，即例子要有代表性和典型性，既要能够彰显数学公式的本质特征，也要能够展现数学公式的深层结构，例子要能够代表一种类型，达到以一当十的效果． 一般说来，通例要有三个及以上的例子． 二是辨析的层次．辨析不仅要辨别、分析通例的表层现象，还要辨别、分析通例的深层本质，从现象到本质，揭示通例“共同”的本质特征．

案例2

活动一：问题探究

计算：

1． （m+2）（m-2）；

2． （2x+1）（2x-1）．

活动二：特征分析

1． （x+1）（x-1）=x²-1；

2． （m+2）（m-2）=m²-4；

3． （2x+1）（2x-1）=4x²-1．

观察上述三个算式，小组合作回答下面三个问题：

1． 以上算式左边有什么共同结构特点？右边呢？

2． 你发现了什么规律？

3． 请用你的方式表示发现的规律．

评析 上述教学过程，“问题探究”在前面“问题提出”的基础上，通过学生再次计算两个类似例子，感知平方差公式的结构特征；通过小组合作进行“特征分析”，学生运用观察、比较、分析等方法揭示了通例蕴含的数学规律，透过现象看本质，在“特征分析”的过程中认识了平方差公式的本质． 实际上，（x+1）（x-1），（m+2）（m-2），（2x+1）（2x-1）三个例子在多项式乘法的结构形式上都是“通”的——两个数的和与这两个数的差的积，即都是形如多项式（a+b）与（a-b）相乘的形式；运算结果的结构形式也是“通”的——都是这两个数的平方差，即都属于特殊的“多项式×多项式”，结果的中间两项合并为0，只剩兩项的平方差．在对三个通例的辨析过程中，学生自然摒弃了字母、数字、位置等不同的表层东西，明白了平方差公式需要满足的条件——“两个数的和”与“这两个数的差”的“积”． 运用通例真实、客观地揭示了平方差公式的本质特征，让学生初步感知数学公式的意蕴．

3. 特征普适

特征是指一种事物可供识别的特殊的象征或标志． 普适是指由“特殊”到“一般”或由“通例”到“一般”的过程．特征普适就是从已有的通例中提炼出数学公式的结构特征或概括出其本质特征推演到“一般性”的过程．这个过程就是要在辨析通例的基础上，遵循“从特殊到一般”的历程，逐步提高例子的一般性，通过做数学化进一步提炼，从几个通例中找到相同的结构特征，再到一般性式子提炼出本质特征． 在这个过程中自然会用到观察、比较、分析、综合、抽象、归纳等方法，学生在对通例进行观察、比较的基础上清晰地分析“从通例到一般性例子”的数学公式的非本质特征与本质特征；综合与抽象则是抽取出最基本的、本质的特征，摆脱了“通例”的局限，得到更为“一般性”的数学公式的本质特征；归纳则是用简洁的数学语言表达数学公式的本质．

案例3

活动一：公式推导

（a+b）（a-b）=________.

活动二：特征普适

1． （x+1）（x-1）=x²-1；

2． （m+2）（m-2）=m²-4；

3． （2x+1）（2x-1）=4x²-1；

4． （a+b）（a-b）=a²-b²．

观察、比较上述四个式子，用自己的语言表达相关规律．

评析 上述教学过程，从具体的三个“通例”再到“一般性”的式子，在前面通例辨析的基础上，学生认识到三个“通例”左边分别是x与1的和乘以x与1的差，m与2的和乘以m与2的差，2x与1的和与2x与1的差，表示的都是两个数的和乘这两个数的差；右边分别可以表示成x2-12，m2-22，（2x）2-12，都是左边两个数的平方差．由“特殊”例子的结构特征到“一般”式子的结构特征，进一步认识到平方差公式的本质——式子左边要满足“两个数的和”与“这两个数的差”的“积”这些基本条件，右边就是“这两个数的平方差”．在经历观察、比较、分析、综合、抽象、归纳等数学过程后，学生对平方差公式的一般性结构特征认识较为深刻：两个数的和乘这两个数的差等于这两个数的平方差．

4. 公式形成

公式形成就是在通例辨析、特征普适的基础上，归纳数学公式的本质特征，用语言文字或数学符号或其他形式表达出来，形成正式的数学公式的过程． 这个过程是数学公式表征的过程，表征方式应体现多元化，既可以是语言文字表征，也可以是数学符号表征，还可以是数学图形表征，总之，通过多元表征让学生理解、掌握数学公式的本质特征．这个过程也是对通例辨析、特征普适的进一步深化，匡正认识，高度凝练，形成对数学公式本质的最核心的认识，这个过程也是学生体验的过程，让学生在充分的过程性体验中，升华成为一种高级的“数学化”过程，会用数学思维思考，会用数学语言表达，进而把新输入的数学公式纳入原有的认知结构中，并与相关知识经验建立起联系．

案例4

符号表征：（a+b）（a-b）=a2-b2.

文字表征：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．

评析 上述教学过程运用符号表征、文字表征、图形表征、模型表征、图示表征等多种方式表征平方差公式． 学生经历了“猜想—推导—得到公式—多元表征—再识别”等数学活动，整个数学活动层层深入、步步为营，学生对平方差公式的形成经历了由经验感知到推导验证、由感性认识到理性认知等过程；再通过符号语言、文字语言、图形语言等多种表征方式，不断强化学生对平方差公式“标准形式”的认识. 整个过程，学生充分运用观察、比较、分析、综合、推理、抽象、归纳等方法，深刻地认识到了平方差公式这个数学公式的本质特征，并固化了对平方差公式的认识．

5. 巩固应用

巩固应用就是把学生刚刚学到的数学公式加以巩固，应用到实际中去，及时梳理新旧知识的初步联系，在新知识与原认知结构中的相关知识间建立起非人为的、实质性的联系，形成新的认知结构［3］． 这个环节需要做到“三题一结”. “三题”指的是基础题、变式题、反例题. 一是基础题，即做一定数量的、按照数学公式“标准形式”的练习题，其目的是进一步理解、掌握数学公式的结构特征，达到巩固基础的作用． 二是变式题，即做一定数量的基于数学公式“标准变式”的练习题，通过练习题的形式变化，增加其干扰性，其目的是进行操作性活动实现数学公式的初步应用． 三是反例题，即做反例题，从反面的练习题的联系中巩固数学公式，这里一般通过反例辨识来实现，通过与前面数学公式提炼过程中正例的比较分析，让学生更清楚地认识到数学公式的本质特征． “一结”，即总结，引导学生归纳总结解题步骤，通过解题步骤的小结，把数学公式分解为具有可操作的、程序化的知识，增强学生对数学公式本身的理解．

案例5

活动一：填一填

活动二：算一算

例题：运用平方差公式计算

（1）（3x+2）（3x-2）；

（2）（-x+2y）（-x-2y）．

引导学生总结运用平方差公式计算的步骤：一看（式子的结构特征）；二找（平方差公式中的a与b）；三套（套用平方差公式）；四算（算出结果）．

巩固练习

运用平方差公式计算：

（1）（a+3b）（a-3b）；

（2）（3+2a）（-3+2a）；

（3）（-2x2-y）（-2x2+y）．

活动三：找一找

下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？

1． （x+2）（x-2）=x²-2；

2． （-3a-2）（3a-2）=9a²-4．

评析 教学中教师紧扣平方差公式精心设计基础题、变式题，并归纳总结了运用平方差公式进行计算的步骤，让学生通过填空、计算、归纳的方式去进行操作性活动与公式的初步应用． 一方面通过平方差公式的“标准形式”和“标准变式”的练习方式巩固记忆、熟练技能、掌握原理，另一方面是通过“看、找、套、算”解題步骤的总结，从解题步骤来理解平方差公式的结构特征，从而积累理解所需要的操作数量、活动强度和经验体会． 同时，通过反例题的辨识，从反面巩固学生对数学原理本质特征的认知，避免学生在学习过程中的思维定式产生负迁移，导致错误的出现．

6. 内化表征

内化是在思想观点上与他人的思想观点相一致，自己所认同的新的思想和自己原有的观点、信念，结合在一起，构成一个统一的态度体系． 表征是指客观事物在人的心理上的感知反映． 内化表征是指把新事物、新观点等纳入原有的认知体系，构建新的认知体系，并通过一定方式表征外显． 数学公式的内化表征则指人们在认知的基础上将数学公式纳入原有的认知体系，形成新的认知体系，并通过符号语言、文字语言、图形语言等方式表征外显． 学生对数学公式认识、理解、掌握及熟练应用的过程是数学公式的“本质特征”在心理上的内化表征及特征外显的过程，内化得越深，理解得越好，掌握得越牢．学生对数学公式的内化过程实质上是数学公式在人脑中的“模仿、整合→再认、转化→存贮、再现”的心理表征过程，也是数学公式内化表征形式及特征外显形式相互间的作用过程． 这需要强化“非标准变式”和反思的作用，进一步深化对数学公式本质属性的认识，让学生内化数学公式的表征．

案例6

活动一：变一变

（n+m）（-n+m）；（-x-y）（x-y）；（2a+b）（2a-b）；（x²+y²）（x²- y²）．

活动二：辨一辨

判断下列各题能否用平方差公式计算，并说明理由．

（a²-5）（a²+5），（-a+b）（b-a），（a+b）（-a-b），（n+m）（-n+m），（a+2）（a-3），（2xy+3）（2xy-3）．

活动三：说一说

通过这堂课，你在数学知识、数学方法、数学思想等方面有什么收获和体会？

评析 上述教学过程的“变一变”通过对平方差公式的非标准变式，即位置变化、符号变化、系数变化和指数变化，内化学生对平方差公式的表征；“辨一辨”综合运用平方差公式的“标准变式”与“非标准变式”，内化学生对平方差公式的表征；“说一说”通过反思，内化平方差公式的本质特征，把新知识纳入已有认知结构中建构新的认知结构，深化对数学方法和数学思想的理解． 教学中教师在“标准变式”的基础上发挥“非标准变式”的功能，让学生在“变”中认识、理解、掌握平方差公式的“不变”，这样不仅使得学生理解了平方差公式的内涵，而且丰富了平方差公式的外延，更为重要的是让学生深层次去理解和掌握数学公式的真正含义并能实际运用． 最后通过总结、反思数学活动，不仅使学生掌握数学公式，还深化了对数学方法与数学思想的认识．

教学启示

1．清楚数学公式教学的本质要求

数学公式教学的本质就是以数学公式教学为载体，运用适当的数学方法，实现学生数学思维的发展和数学素养的提升． 作为数学原理内容之一的数学公式体现的是数学普遍意义、一般性规律，它与数学概念既有区别又有联系． 简单说，概念是人们对事物的本质认识，公式是事物之间的普遍规律，公式学习是建立在概念学习的基础之上的［4］． 数学公式总是基于数学概念的，是对概念属性的深层表征，也是联系概念的纽带，没有数学概念，就不存在与概念相关的数学公式［5］． 公式教学主要由“从特殊到一般”的归纳推理，在对通例观察、实践的基础上，经过归纳、概括而得到普遍规律． 概念教学的核心是概括，将凝结在数学概念中的数学家的思维打开，以典型丰富的实例为载体，引导学生展开观察、分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概念［6］．

2．遵循数学公式教学的基本过程

实践证明，“问题提出—通例辨析—特征普适—公式形成—巩固应用—内化表征”是数学公式教学的基本过程． 问题提出是基础环节，解决“为什么学”的问题；通例辨析是重要环节，解决即将呈现的数学公式“从哪儿来”的问题；特征普适是关键环节，解决数学公式的结构特征从“特殊”到“一般”的问题；公式形成是难点环节，解决“是什么”的问题；巩固应用是拓展环节，解决“学了有什么用”的问题；内化表征是提升环节，解决“是否深入理解、掌握”的问题. 这六个基本过程承载不同的功能，构成了数学公式教学的六大环节，这六大环节构成了一个封闭的教学流程，也就是数学公式教学的基本套路，教师在教学中要深入理解、灵活运用． 当然，我们说的基本过程，这里的“基本”是指一般的、普遍的，基本并不代表不重要，基本也不是拘于这些步骤或过程，要根据不同数学公式本身的特点创新使用．

3． 揭示数学公式的本质特征

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：教师要帮助学生感悟解决现实问题不仅要关注数学的知识，更要关注问题的背景知识，发现问题的本质与规律，然后用数学的概念、定理或公式予以表达［7］． 这就是说，数学公式教学要在揭示公式的本质上下功夫． 数学公式属于数学原理的范畴，对其教学不仅要重视“原”，即开始的、最初的、本源的，也就是数学公式的最根本的东西，而且要重视“理”，即道理、事理，也就是数学公式的合理性、科学性． 这就要求数学公式教学要注重公式的发生、发展过程，让学生理解所学数学公式“从哪儿来”“是什么”“有什么用”． 要精心设计教学，从具体实例出发，从学生实际经验的肯定例证中，以归纳的方法概括出数学公式．遵循从整体到部分，从直观到理性的原则，让学生充分经历“特例—发现问题—猜想—推导—得出公式—应用—变式”的数学活动，在这些数学活动中用数学的眼光去发现数学公式、理解数学公式、掌握数学公式、应用数学公式． 教师要充分发挥学生的主体作用，培养学生推理、归纳能力以及发现问题、解决问题的能力，从而渗透“从特殊到一般思想”“数形结合思想”“方程思想”“类比思想”“转化思想”等数学思想，让学生理解数学公式的真正含义及其作用，体现数学公式在数学学习中的地位和价值意义．

教无定法，但贵在得法．在数学公式教学中，教师只要灵活采用数学教学方法，让学生经历“问题提出、通例辨析、特征普适、公式形成、巩固应用、内化表征”的基本过程，他们就会理解、掌握数学公式的本质特征，感悟其中蕴含的数学思想，从而发展数学思维，提升数学素养．

参考文献：

［1］ 王震． 聚焦引入环节 启迪学生思维：以数学公式教学为例［J］． 高中数学教与学，2021（02）：4-6．

［2］［3］［4］ 罗增儒． “两个基本计数原理”的教学分析：“2016高中数学特色课堂案例分析研修会”发言稿（节选整理之二）［J］． 中学数学教学参考，2016（16）：25-29．

［5］吴增生． 3B教育理念下的高效率数学原理教学［J］． 中国数學教育，2011（Z3）：3-9．

［6］ 章建跃． 数学概念教学中培养创造能力［J］． 中小学数学（高中版），2009（11）：50．

［7］ 中华人民共和国教育部． 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］． 北京：北京师范大学出版社，2022．