Faddeev 方程与三玻色子系统低能短程有效场论研究

王 凯,杨继锋

（华东师范大学 物理与电子科学学院,上海 200241）

0 引言

对于核子相互作用,最严格的方法当然是采用量子色动力学(quantum chromodynamics,QCD)进行计算.但由于QCD 的非微扰性,难以精确求解.为此人们发展出了很多替代方案,其中手征微扰论(chiral perturbation theory) 是极为重要的理论手段之一—QCD 的低能有效场论[1-2].但由于核子系统强烈的非微扰特征,手征微扰论难以直接使用[3].为此,Weinberg[4]建议,可以先利用手征有效理论逐阶地构造核子相互作用势能,之后求解薛定谔方程或者Lippmann-Schwinger 方程,进而得到核子系统的跃迁矩阵— t 矩阵(transition matrix).很快人们发现这一建议实际上是有缺陷的[5],因而引发了有关核力有效场论的热烈讨论[5-7].

近年来,本课题小组利用接触型相互作用有效理论求得了低能核子–核子散射矩阵的精确解[8],并在此基础上深入分析了非微扰框架下重整化的新内涵[9-11],发现在不需要引入复杂的有效场论幂次规则的前提下,就可以描述核子–核子散射大散射长度等核子系统的非微扰特征[8,10].这一结论已成功应用到对称核物质及中子物质中[12],为低能有效场论研究具有非微扰特征的物理系统提供了与以往文献不同的且更为自然的理论图景和可能性.

实际上,对低能核子、冷原子、冷分子等系统来说,短程或接触型相互作用是其典型特征,都可以使用有效场论方法对其相互作用进行低能展开并进行系统的分析计算[13].在动量表示下,这样的相互作用势能展开到一定阶数就是核子或原子、分子的外动量多项式.对于二体系统而言,t 矩阵满足的就是以动量多项式的势能为基础的Lippmann-Schwinger 方程.而本课题组的前期工作充分表明了,基于因子化[13]和圈积分的一般参数化[8-11],短程相互作用的二体系统 t 矩阵就可以表达成闭合形式的非微扰解析解,从而可以方便地探索其非微扰重整化处理.最突出的特征是,在这样的框架下,一些圈积分参数被约束为确定的物理参数或所谓的“重整化群不变量”,不再是跑动的重整化参数[10-12].

自然地,对更多粒子的系统而言,以上二体系统 t 矩阵非微扰解的特点及非微扰重整化新内涵是否还有意义或者是否可以适用.为此,本文考虑二体接触型相互作用下三体系统的 T 矩阵(为与二体跃迁(transitio)矩阵(t 矩阵)区别,这里取transition 首字母大写)的非微扰或闭合形式的解析解,及其非微扰重整化问题.

以往的三体问题研究,无论何种势能类型,很少在有效场论的概念框架下解析地讨论三体系统的重整化问题,原因是很难获得解析解,人们普遍采用有限的截断和数值求解来处理问题[14-18].本文尝试把在接触型相互作用有效理论二体系统 t 矩阵研究中获得的成功经验应用于三体系统,采用Faddeev方程来计算三体 T 矩阵的非微扰解析解[19-21],该方程需要首先获得二体 t 矩阵的闭合形式解析解.为此,下面先介绍在接触型二体相互作用势能下二体 t 矩阵的求解.为简化问题,本文仅考虑标量粒子情形,且势能最高将只展开到外动量的二次幂.

1 二体系统的非微扰严格解

设二体系统的质心能量为,粒子质量为M,二体初态、末态相对动量分别为p和p＇,动量空间中的二体势能是V(p,p＇) ,则质心系中二体 t 矩阵的Lippmann-Schwinger 方程为

其中p＇＇是动量p＇＇的大小.

展开到领头阶的接触型势能为

展开到次领头阶的接触型势能为

式(2)-(3)中:Δ是手征阶数;C0、C2、CP,2均为耦合常数.

不难看出,上述展开实际上自然地分解为S 波和P 波的势能函数: 对S 波,其势能为

对P 波,其势能在次领头阶才出现,为

式(4)—(5)中,p和p＇分别是动量p和p＇的大小.因此,可分别求解其 t 矩阵.为此,本文采用文献[13]的因子化方法,用矩阵符号,将势能记为

将式(6)、式(9)代入式(1),可得矩阵τ满足的代数方程

再由t与τ的因子化关系,可得二体 t 矩阵解.对S 波,其解为

这里,领头阶的S波和P波的解极为简单,外动量多项式的系数显然是耦合常数以及重整化参数和在壳动量的有理函数;而次领头阶的S波的解中,外动量的系数t0、t01、t10、t11为更多耦合常数和重整化参数以及在壳动量构成的更为复杂的有理函数,具体表达式可参见文献[8,11].显然,除了领头阶的S 波,在P 波和次领头阶的S 波的解的情形中,方程(17)的右边的耦合常数与参数化的积分参数之间不再是一一对应的,即文献[9]中所说的失配(mismatch),从而导致有些重整化参数不能被耦合常数吸收.因而必须是确定的“物理”参数(或曰重整化群不变量),需要寻求合适的“边界条件”,如散射相移的有效程展开(effective range expansion) 系数来确定之.因为在有效场论势能的给定展开阶内,这样的“物理”参数或重整化群不变量总是有限的,可以找到足够多的“边界条件”来确定之.文献[8,10-11]充分揭示了在这样的理论景观下,诸如大散射长度以及浅束缚态等非微扰的物理性质在简单的有效场论幂次规则下就可以自然地得出,而不必去费力构建更为复杂的、难以保证收敛性的有效场论幂次规则.

可以看到,得到上述低能短程相互作用(接触性势能) 的二体散射闭合形式解析解的关键在于势能和散射矩阵对外动量依赖的因子化,并且圈积分采用一般参数化方法.而二体t 矩阵闭合解中隐含的耦合常数与重整化参数之间的失配导致的非微扰重整化新内涵在接触型势能的有效场论中应该具有普遍性,比如三体系统的T 矩阵在接触型势能的前提下应该也面临这样的局面.本文欲尝试将前述经验或观察应用于三体系统.为了简便,下面的讨论针对无自旋的玻色子系统.

2 三玻色子系统

2.1 三体运动学及Faddeev 方程

雅可比动量是一种方便的描述三体运动学的方法(以下考虑的是质量相同的标量粒子),它由3 个动量组成: 第一个是系统总动量K;第二个是“粒子对”α的相对运动动量pα,pα=1/2(kβ -kγ),其中,(αβγ) 取(123) 的任意一种轮换;第三个是“旁观者”粒子α在质心系中的动量qα,qα=kα-1/3(kα+kβ+kγ) .在质心系中,总动量K恒为0.因此可以用pα,qα(“粒子对”α及其“旁观者”粒子α)来描述三体系统的运动状态,相应的量子态为|pαqα〉.

在计算中还会用到3 组雅可比动量之间的转换关系,根据定义可以得出

对于三体系统,相应的Lippmann-Schwinger 方程存在一定的问题,即不存在唯一解,必须代之以Faddeev 方程[20],详细的理由阐述见文献[19].目前文献中有两种版本的三体T 矩阵满足的方程,这里分别称为Joachain 版方程[20]和Newton 版方程[20].下面采用动量空间进行阐述.

Joachain 版方程为

2.2 三体T 矩阵外动量“分流”

通过考察二体问题的解决过程可知,二体t 矩阵的解是外动量(这里是“粒子对”动量) 的多项式,多项式的系数是圈积分后的重整化参数和在壳动量的有理函数(多项式构成的分式),以此为经验,考察二体接触型相互作用下的三体问题: 三体T 矩阵是由t 矩阵的无穷迭代生成的,故而其严格解也是“粒子对”动量的多项式(无穷阶),但是无穷阶多项式是无法处理的,下面考虑寻找它的近似解析解.考虑到式(23)、式(24)的非齐次项和积分核都是t 矩阵,同时考虑到此处只包含二体相互作用,因而可以假定T 矩阵对“粒子对”动量的依赖仍是多项式,其最高幂次应至少与t 矩阵一样,因而假定它展开到t 矩阵的相同幂次;而“旁观者”动量将通过“粒子对”能量进入“粒子对”动量多项式的展开系数当中.于是问题转化为将如此展开的三体T 矩阵代入式(23)、式(24)求解多项式的系数满足的代数方程.但经过计算发现,“粒子对”动量积分中将会出现外动量的更高幂次,使得左右两边幂次不再对应相等,而这些高幂次项都来自“旁观者”动量,因而可以采用分流法将其纳入能量之中,从而得到闭合的关于多项式系数的代数方程组.在低能有效场论中高幂次项的贡献相比于低幂次的项总是被压低的(suppressed),因此这样的“分流”处理是合理的近似处理.解这些方程组,就得到了本文要求的非微扰近似解.另外,通过下面的计算可以看到,T 矩阵多项式的系数是能量的分式,因而这样的做法相当于Padé近似[22-24].

在“分流”处理中本文引入了新的与能量有关系的量.由式(23)、式(24)的一次迭代可知,计算中在分母上除了会出现初末态的“粒子对”能量,还会有 “能量差”

2.3 三体T 矩阵的非微扰解

下面根据2.2 节提供的思路计算Tα、Tαβ非微扰解.

2.3.1 领头阶势能下Faddeev 方程非微扰近似解

1) 最简假定

由2.2 节的讨论可知,在领头阶势能下二体跃迁矩阵的解形式上不依赖于“粒子对”外动量,只依赖于二体系统总能量.因此在领头阶势能下,可以最简单地假定三体跃迁矩阵为领头阶“粒子对”外动量多项式,即Tα、Tαβ为仅依赖于能量及“旁观者”动量的未知函数aα,a、aαβ,a(右下标“ a ”表示最简假定),关系式为

将式(26)—(27)代入式(22),得到

其中tα表示Eα对应的领头阶t 矩阵.

正如前面所指出的,式(28)的积分中,作为领头阶展开,系数函数aα,a、aαβ,a仅依赖于能量及“旁观者”动量信息,因而与被积“粒子对”动量无关,可提到积分号外.对积分做一般参数化,并引入新符号Iα来表示积分式,即

从而将积分方程化为闭合的代数方程

这个方程组(式(30)) 的解容易求出,即

式(31)—(33) 中,α、β、γ满足互不相等的要求.

2) 改进假定

显然由上述最简假定得到的解中,T 矩阵始终是某“旁观者”粒子,不参与作用的效果(狄拉克(Dirac) δ 分布),不能合理地描述因多次不同“粒子对”间的相互作用迭代积累导致的3 个粒子间的动量混合分布(非Dirac δ 分布).因而作为改进,本文在前面最简假定解的基础上明显地引入二体 t 矩阵项,来描述“旁观者”粒子不参与作用的过程,并用下标“t+a”表示该假定,即

式(37)—(39) 中,α、β、γ同样满足互不相等的要求.显然,这个改进使得在Dirac δ 分布项(第一项)之外成功地包括了更合理地描述3 粒子间动量混合过程的非Dirac δ 分布项！

实际上,仔细观察二体接触型势能的Faddeev 方程迭代结果,可以启发尝试近似程度更好的解析解假定,此项工作的结果将在后续报告中给出.

2.3.2 次领头阶势能下Faddeev 方程非微扰近似解

1) 最简假定

在最简假定情形下,将Tα和Tαβ取为与二体 t 矩阵相同阶的“粒子对”外动量多项式,系数设为能量及“旁观者”动量的未知函数aij,α,a和aij,αβ,a(i=0,1,2,3,j=0,1,2,3) .为了简化问题,先考虑二体的S 波部分对应的Tα和Tαβ,此时该假定可写成因子化形式,具体为

其中,Iα是由积分构成的 4×4 矩阵,Iα=(Iα,ij) .这些积分将产生高于方程左侧的高幂次项,因而需要被分流.这里给出I1,11的表达式及一个分流计算的例子,即

α、ρ的取值范围是从1 到3;D和N都是 t 矩阵、能量、“旁观者”动量和重整化参数的函数,N同时还携带“旁观者”动量的 δ 函数,其他幂次的系数都是由这两组因子构成的,且具有式(46) 类似的形式.由于这些因子的表达式很复杂,因此这里不给出对上述参数的具体依赖关系,具体表达式详见学位论文.与2.3.1 节领头阶势能前提下的最简假定一样,这个解无法描述动量在3 粒子之间混合的过程,原因是都含“旁观者”动量的 δ 函数.

2) 改进假定

与领头阶的改进假定相同,设T 矩阵形式为

3) 考虑P 波后的最简假定

现在考虑计入P 波势能的贡献,此时Tα和Tαβ的最简假定分别是

式(54)—(55) 中的aˆ 是P 波修正后的a,而aP,1,α,aP,2,α,···是纯粹P 波的系数,它们都是 t 矩阵、I、能量和“旁观者”动量的函数.与上面的最简假定一样,此含P 波贡献的解同样不能描述动量弥散的过程,需要用改进假定形式的解才能容纳动量弥散过程的贡献.因计算类似但是更为繁重,此处不再给出改进假定解的过程.

2.3.3 一致性检验

1) 两种版本解的一致性

对于领头阶最简假定解,通过对式(37)—(39) 的直接计算可以验证它们满足式(24),即

对于改进假定解,可以验证式(24) 也成立,此处不再详述.对于次领头阶,在最简假定下根据计算结果,发现有关系

“粒子对”动量的其他幂次的项的系数(a01,1,a,a02,1,a,···,a02,11,a,a03,11,a,···)按照同样的方式可以方便地得到验证,此处不再赘述.而改进假定下的验证过程也很直接,不再细表.

2) 领头阶和次领头阶的一致性

首先来看最简假定解,令 t 矩阵的次领头阶部分的系数t01,α,t10,α,t11,α=0,所有“粒子对”动量的非零次幂项的系数都是0,因而只需验证a00,α,a和a00,αβ,a退回领头阶即可.以a00,1,a、a00,11,a为例,根据D和N的具体表达式,此时N1,2=N1,4=0,D1,1=D1,7=0,因而由式(47)可知

验证完毕.

对于剩下的10 个T 矩阵,计算过程与上述类似.对于改进假定解,本文同样验证了一致性,不再赘述.

2.4 三体T 矩阵的非微扰重整化

作为闭合形式的,因而也就是非微扰形式的解析解,前面获得的三体T 矩阵在理论结构上与二体t 矩阵的主要特点一样: 重整化参数及耦合常数都因闭合形式而受到更多的紧约束(tight constraints)[8,10-11],从而导致某些重整化参数及耦合常数成为需要适当“边”条件或者物理输入来确定的“物理”参数或者重整化群不变量,这是以往的微扰框架下的重整化无法处理的情景[8-11].

比如,对于领头阶接触型势能二体t 矩阵实际上仅有S 波贡献.为了完成二体t 矩阵在此前提下的重整化,唯一的耦合常数C0必须吸收可“跑动”的重整化参数J0,从而变成“跑动”耦合常数,以保证二体t 矩阵是不“跑动”的物理参数的函数[5,8,11].将这样的二体t 矩阵代入Faddeev 方程后,无论是在最简假定下,还是在改进假定下,本文都得到了由已经重整化的二体t 矩阵以及内动量积分Iα构成的闭合的有理分式函数.这样的闭合函数形式自然将带来新的紧约束,进而导致积分Iα中出现的重整化参数被约束为不“跑动”的物理参数.类似地,次领头阶水平上的三体T 矩阵的闭合解也是由已经重整化的二体t 矩阵与新的内动量积分构成的闭合的有理分式,于是新的内动量积分中出现的重整化参数也将因更多的紧约束而变成不“跑动”的物理参数.

对于三体T 矩阵重整化的具体实施及其在具体物理问题中的应用将在后续的详细报告中给出.与以往的含非微扰发散的数值计算分析相比,虽然本文得到的三体T 矩阵是近似解,但它是解析的闭合解(非微扰),可以很方便地讨论非微扰重整化,这是本文所采取的方法和途径的显著优势.

3 结论

本文在二体短程有效相互作用的前提下,将二体跃迁矩阵非微扰解计算中成功使用的因子化和内动量积分的一般参数化方法,结合外动量“分流”处理,推广到描述二体相互作用下的三体T 矩阵所满足的Faddeev 方程的求解中,在领头阶和次领头阶接触型二体相互作用下得到了近似程度不同的三体T 矩阵的闭合形式近似解.通过两种不同版本(Joachain 版和 Newton 版) 的Faddeev 方程计算结果的对比以及从次领头阶到领头阶的约化计算,验证了所给出的非微扰解都是自洽的.正如二体问题一样,三体T 矩阵的闭合解同样面临非微扰的紧约束,同样需要在非微扰框架下进行重整化,其中的紧约束也将使得更多重整化参数被约束为不“跑动”的物理参数.虽然本文仅对最简单的三体系统(标量玻色子) 进行了在较为简单的二体相互作用下的跃迁矩阵的非微扰重整化问题的初步分析,相信本文的基本策略和关于三体T 矩阵的非微扰重整化基本结论对于其他更为复杂的系统(如费米子或者矢量玻色子) 而言同样可以适用.接下来将对三体T 矩阵闭合解的理论性质及其在更多具体问题中的应用做进一步的研究.