深刻理解算理 切实把握算法

◇胡丽芳（福建：东山县第二实验小学）

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：运算能力主要指根据法则和运算律进行正确运算的能力。能够明确运算对象和意义，理解算法与算理之间的关系；能够通过运算促进数学推理能力的发展。本文主要就“理解算理与算法之间的关系”“算理为算法提供理论依据，是对算法的构建与解释”展开交流。

在小学数学教学中，计算教学占有非常大的分量，且计算能力、运算能力都是小学生“四基”中最为核心的内容之一。基于此，教师在教学中要关注计算教学谋划，并通过系列举措给予高度重视，以期较好地实现发展学生计算技能的目的。但是实际教学中，仍有部分教师的认识和教学思路是缺位的，他们主要的做法是：让学生阅读例题，学习其中的计算步骤，掌握相关的计算法则，然后加以演练，把学生当作“计算器”。却不知道，很多学生虽然这时候能算，但当题目加以改变，特别是碰到关于算理的填空选择题时，他们往往都是错得一塌糊涂，“只知道怎样算，但不知这样算的道理，成了搬弄数字的工具。”

一、前测，铺垫算理

除法竖式是学生在学习了表内除法、初步掌握了除法的意义，以及有余数除法计算学习，初步明白了什么是余数、余数要比除数小等知识之后，进一步开展的深度学习。学生对除法竖式计算的学习是立足于上述知识积累基础上的，是落实在这些学习经验中、更体现在上述数学思维发展前提下的。对于除法竖式，他们的基础是加减法竖式的书写方式。除法竖式这节课，是今后学习除数是多位数除法和小数除法竖式的种子课。为此，笔者在新课前采取了尝试探究策略，鼓励学生去探究教材中的例题变式题目（教材58页的例题把11根小棒改编为13根小棒，组成多少个正方形）积极尝试书写13÷4=3…1的竖式。随着学生大胆学习探究，课堂中出现了这样几种书写方法：

通过对这些情况的观察与分析，笔者初步感受到，学生对除法的认知还是基于已有加减法笔算认知的，他们印象中的除法竖式，就是加减法竖式的影子，是既往加减法竖式计算的样子。尽管有少数学生能够写出正确的，但是问其是怎样得到的，或是怎么思考的，他们却一脸茫然，难以说出个子丑寅卯，不能实现“知其所以然”的理想目标。

二、联系，表征算理

数学知识间连接比较紧密，很多新知识是旧知识的引申、发展和综合，这是小学数学知识呈螺旋式上升规律所决定的。二年级的除法竖式计算学习也是如此，学生是在理解了口算除法的基础上学习的，他们在教学有余数除法时，已经知道了算式各部分名称以及余数的意义等。鉴于此，笔者结合本班学生认知水平、数学思维现状，以及他们的学习经验积累层次等，设计了“找一找，比一比”活动，让横式和竖式对接，引导学生自主思考与合作学习探究。

师：刚才，同学们通过圈一圈、分一分，列出横式：13÷4=3（个）…1，其中同学们的书写方式很是有趣，有像这种横着写的，还有那些竖着写的。（教师指着屏幕上的算式述说着）现在，让我们一起来看一看、比一比：横式和竖式，横式的数到竖式的哪里去了？

生：（生来到屏幕前，教师让出讲台）被除数13到这里，除数4到这里，商3到这里，余数1到这里。

师:谁有补充？

生：除号不见了。

生：多跑出了12，这是什么？

生：“3”为什么要写在那里？

横式13÷4=3（个）…1（根），是学生已经掌握的旧知识，是已经具备的表征形式。因此，教学中教师应抓住这个衔接点，提出“你能在竖式中找到横式的数吗？”问题，激活学生学习经验，激发调动他们深入探究的思维火花。教师把手指着横式和竖式，引导学生观察、比较，以求通过学生深度观察，自主思考与分析，能够较好地建立旧知识和新知识的联系，让学生领会竖式中各数的名称和横式是一样的。再利用旧知识的迁移，实现前后学习的沟通，让知识逐步趋向结构化、整体化。

紧接着教师又提出“你们有什么要问的呢？”这样的课堂追问，促使学生把思维进行聚焦，把所有的思考力、观察力等都落实在问题探究中，使得课堂探究学习、学习思考等更有效。同时，这样的追问，还可以引导学生自主思考，学生在旧知识的迁移中，整合、比较新旧知识的异同点，从中发现新知——竖式中多出12。对除法竖式，学生能从感官上认识它的基本形式，但不知道这个竖式是怎么来的，这些数字为什么要放到那里，带着这些疑惑，学生能够兴致勃勃地进入理解抽象算理的探索环节。

三、操作，明确算理

课程标准中对笔算教学提出了明确的要求：笔算教学，要让学生探索为什么这样算，初步理解书本中计算的法则是怎么来的。通过一步步理解后，再做一些针对性练习，而不是“题海战术”。结合图形的操作，让不容易理解的计算道理变得具体生动，学生理解了这些道理，才会真正理解每一个步骤是怎么来的，每个数字为什么要写在这边而不是那边。笔者在讲解竖式中每个数的意义时，设计了分小棒的过程，通过学生的操作、观察，构建竖式的模型。

师：请学生上展台分小棒，边分边说。

生：先摆13根小棒，每4根分一组，分成3组，还剩1根。

师：观察竖式中的样子，看清其中的每一个数，结合这位同学的操作与解说，你发现了什么，从中又明白了什么？把这些思考与发现和小组成员说一说，看看是不是有新的发现。

随之学生实践着小组互动学习模式，结合自身操作，反刍别人的展示分享，深入探究笔算除法中每一个数的意义，思考每一个数所对应的内容等。接下来搭建一个展示、争辩互动学习平台。

学生汇报：13表示要分的13根小棒，4表示每组分4根，3表示平均分成3组，12表示分走了12根，1表示还剩1根。

师：3为什么写在个位上？

生：实际分小棒过程中，是可以把它4根4根分一分的，最后可以分成3组，在竖式里表示3个4，所以要写在个位中。

操作能够丰富学习感知，诱发学习思考，还有助于学生把形与数、数与思整合起来，便于其深度探究发生，利于学生进一步抽象归纳，为他们后续提炼概念、建立除法笔算计算思维模型提供帮助，对学生积累起扎实、有效的除法计算学习经验是大有裨益的。

同时，直观模型对学生理解算理、掌握算法有着不可估量的作用。学生在边操作边说数的过程中，动作表征和语言表征同时进行，利用数形结合的数学思想，使抽象的算理直观化，有形可依。“数无形时少直观，形无数时难入微。”（华罗庚）在图形中理解竖式中每个数的意义，每一个书写步骤的合理性，特别是12的由来、表示的意义，以及商3为什么写在个位上，显得清晰可见。

四、质疑，深化算理

古希腊著名哲学家亚里士多德说过：“疑问和好奇，促使人们去思考。”每一节堂课，教师如果能设计一些问题，或者给学生足够的时间进行思考，那么，这节课学生收获的就不仅仅是知识。他们理解了算理，也获得思维的飞跃、成功的体验；而且还能学到思考的方法，积累起探究学习经验等，使得自身数学学习能力得到发展，学习效果获得提升。笔者以为，这样的数学教学课堂，让师生都得到成长。学生通过努力收获了知识，体会到数学思考与探究的乐趣，进而对后续数学学习充满兴趣，对新的数学探究学习充满期待。在学生初步感知除法竖式后，笔者创设了让学生质疑的情境。

师：还有什么要问的吗？

生：为什么除法竖式和加减法的竖式不一样？

师：同学们看，这样写如何？

生：就看不出分走的12根。

前面，我们已经指出，如果写成连续减，会显得很烦琐。庄子说过：天下难事，必作于易。就是告诉我们，复杂的事情要简单化，除法竖式，就是记录除法笔算过程的一种简洁形式。

师：想想看，它们有没有相同的地方？

生：它们都要注意相同数位对齐。

师：看，计算减法竖式时，要数位对齐，除法竖式是不是也要注意数位对齐呢？

生：3和13的3，12的2以及余数1都是个位上的数，对齐了，3要写在个位。

在算法通向算理的过程中，突出对算理的追问和阐释，训练学生解释、辨析、口头语言表达能力，培养学生的问题意识，是实现深度学习最基本的策略。为此，在加深学生对除法竖式理解的教学中，教师不仅要重视让学生知道除法竖式中先写什么、后写什么，还应使其明白为什么要这样写，知晓除法竖式中各个数的书写位置及其意义。特别是通过与减法竖式的比较，学生感受到除法竖式的书写简约明了，使得动手分一分的活动经验与竖式计算算理结合变得更紧密，更利于学生对竖式中等分的理解，使得学习探究变得全面透彻。学生也进一步明白了“3”写在个位的原因，突破难点。

在完成例题教学后，教材呈现16÷4=4的竖式，通过比较，学生发现整除没有余数，直接写0，从而完善了对除法竖式的一般性认识。他们进一步明白了有余数的情况，其算法、算理是怎样的，以及整除情况与前面学习的比较，形成结构化认知。

五、巩固，强化算理

在动手操作、数形结合、讨论交流等一系列算理具体化后，就进入算法的练习，殊不知，这样往往会造成学生没有办法直接就进入对算法的真正领悟中。在笔者的教学中，也出现过这样的情况。因此，可先让学生做课后“做一做”。教材还是呈现小棒图，旨在让学生从图式结合中，再次分一分，体验除法横式与除法竖式的关系，使竖式模型的建构进一步巩固，让算理停留久一点。这时，可以照着例题这样问：10是怎么来的？它表示什么？3为什么要写在个位上，等等。这些问题，使得除法竖式怎么来的再次得到巩固，算理也更加通透，让学生对算理的理解更加深入。

前面的学习，体现每份分多少个，可以分几份。除法还有一种分法，就是平均分成几份，每份是多少，可使除法竖式的意义更加完整，对算理也是进一步强化补充。张齐华老师在暑假备课培训中指出：别让“算法”过早挤走“算理”，要让算理“再透一些”。通过这样的强化，今后教学除数是多位数的除法、除数是小数的除法都以除法竖式这节课为基础，前后的联系，使得一节课变成了一类课。吴正宪老师在《学习“新课标”理解“一致性”》中指出：培育核心素养的数学教育不是零零散散知识的呆板识记，更不是反反复复地刷题，而是在具体情境中会思考、能辨析，使知识呈现整体性结构化。

在小学计算教学中，计算方法主要解决能算、会算的问题，而且，这样算的道理由算理来回答，只有对算理理解深刻，才能对算法有切实把握。“算法、算理是运算能力的一体双翼，尤其是小学数学中，两者相互辅助，不能偏向哪一方。”要在“观察—操作—抽象—运用”中打通算理与算法的过程，促进学生运算能力的发展。