二项分布中概率最大值理论及其应用

杨亭亭

(山东省淄博市沂源县第一中学)

一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,则,此时称随机变量X服从二项分布,记作X～B(n,p).结合二项分布的概念可知随机变量X的可能取值为0,1,2,…,n,那么X取何值时对应的概率最大呢? 这是本文着重解决的一个问题,并通过举例加以具体说明,在解题中灵活运用概率最大值理论有利于帮助我们快速、准确解题(主要是选择题或填空题,对于解答题可检验所得结论是否正确).

1 二项分布中概率最大值理论

一般求解思路:设X＝k时,对应概率最大,则应满足然后通过求解该不等式组,结合k的取值范围即可确定k的具体取值.

现在,我们从单调性的角度出发,探究概率最大值理论.因为

所以令P(X＝k＋1)＞P(X＝k),则(n－k)p＞(k＋1)(1－p),解得k＜(n＋1)p－1.

若令P(X＝k＋1)＝P(X＝k),则有(n－k)p＝(k＋1)(1－p),解得k＝(n＋1)p－1.

若令P(X＝k＋1)＜P(X＝k),则有(n－k)p＜(k＋1)(1－p),解得k＞(n＋1)p－1.

据此分析可知:若(n＋1)p为整数,则

所以当X＝(n＋1)p－1或X＝(n＋1)p时,对应概率最大;若(n＋1)p不为整数,记(n＋1)p的整数部分为[(n＋1)p],则易知

所以当X＝[(n＋1)p]时,对应概率最大.

综上,二项分布中概率最大值理论:设随机变量X～B(n,p),若(n＋1)p为整数,则当X＝(n＋1)p－1或X＝(n＋1)p时,对应概率最大;若(n＋1)p不为整数,则当X＝[(n＋1)p]时,对应概率最大.

2 概率最大值理论应用举例

1)简单应用

例1某人在11次射击中击中目标的次数为X,若X～B(11,0.8),且P(X＝k)最大,则k＝( ).

A.7 B.8 C.9 D.10

解得8.6≤k≤9.6.

又因为k∈{0,1,2,…,11},所以k＝9,故选C.

方法2因为(n＋1)p＝12×0.8＝9.6 不是整数,所以根据二项分布中概率最大值理论可知:当X＝[9.6]＝9时,对应概率最大.从而k＝9,故选C.

例2某人投篮命中的概率为0.3,投篮15次,最有可能命中_________次.解得3.8≤k≤4.8.

又因为k∈{0,1,2,…,15},所以k＝4,故最有可能命中4次.

方法2因为(n＋1)p＝16×0.3＝4.8不是整数,所以根据二项分布中概率最大值理论可知:当X＝[4.8]＝4 时,对应概率最大,故最有可能命中4次.

2)综合应用

例3已知随机变量X～B(6,0.8),若P(X＝k)最大,则D(kX＋1)＝_________.

解得4.6≤k≤5.6.

又因为k∈{0,1,2,…,6},所以k＝5.于是

方法2因为(n＋1)p＝7×0.8＝5.6不是整数,所以根据二项分布中概率最大值理论可知:当X＝[5.6]＝5时,对应概率最大.从而依据题意可得k＝5.于是

例4(多选题)已知随机变量ξ～B(2n,p),n∈N∗,n≥2,0＜p＜1,记f(t)＝P(ξ＝t),其中t∈N,t≤2n,则( ).

综上,选ABD.

例5有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数,当投掷到第35次时,记录到此时点数1出现5次.若继续再进行65次投掷试验,则当投掷到第100次时,点数1 一共出现的次数为________的概率最大.

综上,关注二项分布中概率最大值理论的推导过程,有利于强化学生的数学运算能力以及逻辑推理能力;关注二项分布中概率最大值理论的解题应用,有助于学生简捷求解有关问题.故曰,学无止境,且学且悟且应用.

(完)