盘点二项式定理中的“系数”问题

邓高宣

(湖北省恩施市第三高级中学)

二项式定理在近几年的高考中多以选择题、填空题的形式出现,涉及的题型主要有求展开式中的特定项、求特定项的系数、整除(求余)、求近似值等问题.本文就二项式定理中的“系数”问题加以归类和解析.

1 利用二项展开式通项公式求特定项的系数

变式二项式的展开式中常数项为－20,则含x4项的系数为( ).

A.－6 B.－15 C.6 D.15

2 求多个二项式的和(或积)展开式中特定项的系数

例2(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)10展开式中x3的系数为_________.

例3(x＋y－2z)5的展开式中xy2z2的系数是( ).

A.120 B.－120 C.60 D.30

例4(x＋y)(2x－y)6的展开式中x4y3的系数为( ).

A.－80 B.－40 C.40 D.80

例5已 知(x＋1)6＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a6(x－1)6,则a2＝________.

(t＋2)6＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a6t6,故

3 求多项式展开式中各项的系数之和或某些项的系数之和

例6已知(1＋x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8,则a1＋a2＋…＋a7＝( ).

A.－2 B.－3 C.125 D.－131

变式已知(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5,则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝_________.

4 求二项式展开式中系数最大的项

例7若展开式中前三项的二项式系数之和为79,求展开式中系数最大的项.

设Tk＋1项的系数最大,因为

解得9.4≤k≤10.4,又k＝1,2,…,12,所以k＝10,则展开式中系数最大的项为T11,故

变式若展开式中各项系数之和大于8,但小于32,则展开式中系数最大的项为________.

5 求二项式展开式中与系数有关的参数

例8已知(2＋ax)(1－2x)5的展开式中含x2项的系数为70,则实数a的值为( ).

A.1 B.－1

C.2 D.－2

由于(2＋ax)(1－2x)5＝2(1－2x)5＋ax(1－2x)5,据此可知含x2项的系数为

结合题意可知80－10a＝70,解得a＝1,故选A.

变式1若的二项展开式中x3的系数为(用数字作答).

总之,对于二项式定理“系数”的考查,主要题型有求特定项的系数(二项式系数)、求系数(二项式系数)的最大(或最小)项、与系数有关的参数问题以及综合应用等.我们在解答与二项式定理系数有关的问题时,一般是先利用通项公式进行化简,根据题设条件列出关系式,然后再利用其他相关知识来求解.

(完)