Hilfer-Katugampola分数阶模糊Volterra-Fredholm型非局部问题

丁玮麒，顾海波

（新疆师范大学数学科学学院，新疆 乌鲁木齐 830017）

近几十年，模糊分析和模糊微分方程理论吸引了大批数学家，该领域的研究已成为不确定理论和不确定微分方程中最重要的课题之一。动力系统受到不精确、模糊和不完整信息等不确定因素的影响，而不精确、模糊则表现出具有长期记忆或遗传效应的非标准动态行为。由于分数阶参数积分是有非局部性和记忆性，因此分数阶模糊微分方程模型比经典的整数阶模型更实用，并且引起了众多研究者的关注［1-2］。2013年，Allahviranloo等人研究了如下模糊分数阶Volterra-Fredholm积分微分方程问题解的存在唯一性［3］：

其中

2020年，Chen等人研究了下列Hilfer-Katugampola分数阶模糊微分方程在非局部条件下解的存在唯一性［4］：

基于上述讨论，考虑如下Hilfer-Katugampola分数阶模糊Volterra-Fredholm 型非局部问题：

其中，K,H:[a,b]×[a,b]→E, 满足：

文章目标是通过不动点定理和构造Hilfer-Katugampola分数阶模糊Volterra-Fredholm型积分微分方程的等价积分形式去证明解的存在唯一性。与2020年Chen等人［4］不同的是文章构造了一个新的模糊距离，并且对于模糊函数f增加了算子Ku(t)和Hu(t)，构造了Hilfer-Katugampola 分数阶模糊Volterra-Fredholm 型积分微分方程的等价积分形式，利用不动点定理证明解的存在唯一性。

1 预备知识

1965年Zadeh 给出了模糊集合的定义［5］：非空集X上的一个模糊子集A，是指对x∈X，存在μA(x)∈[ 0,1] 与x对应，并且称μA(x)为x属于模糊子集A的隶属度，模糊子集A指的是映射μA:X→[ 0,1]，x↦μA(x).也称μA为A的隶属函数，简记μA(x)为A(x).在不会引起误解的情况下，对模糊子集A与它的隶属函数A(x)不加区别，同时模糊子集简称模糊集。

定义1.1［5］设E={u|u:R→[ 0,1 ]}为R上所有模糊数空间，即满足：

（1）u是正规的模糊集，即∃t0∈R，使得u(t0)= 1;

（2）u在R上是上半连续的，即对t0∈R，有

（3）u是凸的，即对t1,t2∈R,λ∈( 0,1) 有u(λt1+(1 -λ)t2)≥min{u(t1),u(t2)};

记C([a,b],E)表示区间[a,b]上所有连续模糊函数的集合；AC([a,b],E)表示区间[a,b]上所有绝对连续模糊函数的集合；L([a,b],E)表示满足函数t↦d[u(t),]∈L[a,b]，且属于L[a,b]的模糊函数u:[a,b]→E构成的集合。

定义1.2令，其范数定义为：

定义1.3［6］对于r∈(0, 1] ，定义u的r-水平集为：

u的r-水平集的直径定义为对于u1,u2∈E,λ∈R,u1+u2和λu1定义为

定义1.4［7］（Hukuhara差分）设u1,u2∈E，若存在u3∈E，使得u1=u2+u3，则称u3为u1和u2的Hukuhara 差分，记为u1u2.

注1.1u1u2≠u1+( -1)u2.

定义1.5两个模糊数在C1-γ([a,b],E)上的距离d1-γ(u,v)定义如下：

（1）d1-γd(u+x,v+x)=d1-γ(u,v),x∈E;

（2）d1-γ(λu,λv)= |λ|d1-γ(u,v),λ∈R;

（3）d1-γ(u+x,v+y)≤d1-γ(u,v)+d1-γ(x,y);

（4）d1-γ(λu,μv)=;

（5）如果存在ux和vy，则d1-γ(ux,vy)≤d1-γ(u,v)+d1-γ(x,y).

定义1.6［8］（广义Hukuhara差分）两个模糊数u1,u2∈E的广义Hukuhara差分（简称gH差分）定义如下：

定义1.7［9］当-∞

在公路养护单位中，财务部门是单位资金控制最后环节，同时是其关键管理部门。基于在中国特色社会主义市场下，需通过中国特色社会主义市场实行财会管理及财算职能分离，基于单位管理层统一领导。

其中α> 0,ρ> 0,u∈.

定义1.8［10］当0 ≤a

令u∈L([a,b],E)，则α阶模糊Katugampola分数阶积分定义为：

注1.3［11］对于Hilfer-Katugampola分数阶导数，有：

（1）当ρ→1 时，可得到Hilfer分数阶导数算子［12］；

（2）当β= 0 时，可得到Katugampola分数阶导数算子［13］；

（3）当β= 1 时，可得到Caputo-Katugampola分数阶导数算子［14］；

（4）当β= 0，ρ→1 时，可得到Riemann-Liouville分数阶导数算子［15］；

（5）当ρ→1，β= 1 时，可得到Caputo分数阶导数算子［16］；

（6）当β= 0，ρ→1，a= 0 时，可得到Liouville分数阶导数算子［16］。

引理1.1（Schaefer 不动点定理） 令Λ 是Banach 空间且F:Λ →Λ 是连续的紧映射。如果Ψ ={u∈Λ:u=ϖF(u),ϖ∈[ 0,1] }是有界集，则F至少有一个不动点。

2 解的存在唯一性

引理2.1［9］如果u∈AC([a,b],E)是d-单调模糊函数，t∈(a,b],α∈( 0,1) ，令和在区间(a,b]是d-递增，则：

引理2.2如果u(t)是hk[(i) -gH]型可微，那么问题（1）等价于下面的积分方程：

如果u(t)是hk[(ii) -gH]型可微，那么问题（1）等价于下面的积分方程：

证明给方程（1）两侧作用于积分算子（2）有：

利用引理2.1，当t∈(a,b]有：

根据定义1.7，如果u(t)是hk[(i)-gH]型可微，则

如果u(t)是hk[(ii)-gH]型可微，则

首先讨论hk[(i)-gH]型解的情况，为此给出下列假设条件：

(A1):假设f:[a,b]×E×E×E→E是连续函数且存在φ,ϕ,ψ,χ> 0 有：

(A2):存在L1> 0,L2> 0,L3> 0 对于u,v∈E有：

(A3):假设常数Θ 满足下列不等式：

定理2.1假设条件(A1)和(A2)成立，若存在一个常数r> 0，使得：

则问题（1）至少有一个解。

证明下面分四步进行证明:

其中

类似地

综上得到

因此

将上式代入公式（5），有

令

重复上述B的化简方法，类似地有

因此

其中

由此说明F(Dγ)⊂Dγ，即F将Dγ映射到它自身。

第二步：证明F是连续的。

设u,um∈C1-γ([a,b],E)，使得，那么对于t∈J，有：

令

由条件(A2)得：

其中

类似地

因此

综上得到

当m→∞时，→0.

第三步：证明F将有界集映射到等度连续集。

假设对于t',t''∈J,t''≤t'，由第二步中的Dγ是C1-γ([a,b],E)上的有界集且u∈Dγ，则

当t'→t''时，不等式（6）的右侧趋近于0. 综上所述，对于以上步骤和Arzela-Ascoli定理推出:F:C1-γ([a,b],E)→C1-γ([a,b],E)是全连续的。

最后一步：说明G={u∈C1-γ([a,b],E):u=εF(u),0 ≤ε≤1} 是有界的。

设u∈G，对于0 ≤ε≤1,u=εF(u).那么对于t∈J，有：

因此由条件(A1)，式（7）可以得到：

其中，A=由此说明G是有界的。运用Schaefer 不动点定理得出F至少有一个不动点，它是问题（1）的解。

定理2.2假设满足条件(A2)和(A3)，那么问题（1）有唯一解。

证明设映射F:C1-γ([a,b],E)→C1-γ([a,b],E)，由定理2.1可知F至少有一个不动点，它是问题（1）的解。现在证明这个解是唯一的。

设u,v∈C1-γ([a,b],E),t∈J，有：

由于

移项合并同类项

令

则

令

由条件(A2)，可以得到：

其中

类似地

综上得到

因此

将上式代入式（8）中

令

重复上述N的化简方法，类似地有

因此

即‖Fu-Fv‖C1-γ≤Θ‖u-v‖C1-γ.由条件(A3)有Θ < 1，因此F是压缩的，运用Banach压缩映射原理，推出F有一个唯一的不动点且它是问题（1）的解。

接下来讨论hk[(ii)-gH]型解的情况，为此给出下列假设条件：

定理2.3假设f:J×E×E×E→E是有界连续函数且满足条件(A4)和(A5)，令序列un:J→E由

证明首先证明序列{un}是柯西列，由于

由条件(A4)，有：

因为f是Lipschitz连续，所以由定义1.5和条件(A5)有：

现在证明λ< 1 时，序列{un}在C1-γ([a,b],E)上是柯西列。因此，存在u∈C1-γ([a,b],E)使得{un}收敛于u.所以接下来说明u是问题（1）的一个解。

当n→∞时，右侧趋近于0.因此有：

通过引理2.2，得到u是问题（1）的一个解。

为了证明u(t)的唯一性，令v(t)是问题（1）的另一个解。利用距离的定义和引理2.2，得到：

类似地通过定义1.5的性质和f的Lipschitz条件，得到：

所以对于所有的t∈J=(a,b]都有u(t)=v(t)成立。

3 例子

考虑模糊非局部问题

其中

令

4 结论

文章主要研究了在非局部条件下的Hilfer-Katugampola 分数阶模糊Volterra-Fredholm 型问题解的存在唯一性结果。此外，还得到了Hilfer-Katugampola 分数阶Volterra-Fredholm 型积分微分方程的等价积分形式，并用于研究这组方程的收敛性。在今后的工作中，将应用数值方法来近似解非线性模糊分数阶积分微分方程。