怀特海“重提”柏拉图“数学与善”的形上追问

苗春梅

(广东第二师范学院 数学学院,广州 510303)

承继柏拉图对数学与善的思考,怀特海在现代历史语境下基于现代数学的进展、融入现代人的观念,再次探讨了“数学与善”这一事关数学本质和数学教育的重大理论与实践问题。从怀特海讨论这一问题的逻辑和观念可以看出,数学的善与善的数学本质上既是关乎善(目的)的证成,又是关乎数学意义的重大根本性问题。虽然这一问题早在遥远的古希腊就被提出来,但却是柏拉图希望解决而并未成功解决的难题。历史地看,“数学与善”,“自它首先被柏拉图提出以来,二者之间特定的结合一直是一个尚未展开的论题。”［1］666现实地看,“数学与善”又是一个思考科学一般性质及其发展的时候不得不面对的问题,因为“一种科学只有在成功地运用数学时,才算达到了真正完善的地步”［2］。因此,以揭示数学本有的哲学性质重回“数学与善”,哲学地追问“现代数学与善的观念之间的联系”［1］666,既是重新理解柏拉图为什么要在诸多对话中思考数学本质、数学方式及其与善关系的问题,更是要在现代思想进步和语言扩充的背景下进一步说明数学与善关系的原因之所在。也就是说,数学与善,既关乎数学成善的可能与能力,又关乎善之需要对数学进一步发展的推进。虽然在柏拉图那里,这个问题表现为数学是成善之美德的核心要素,因为人“在他们有限的与封闭的领域内达到善的成功依赖于他们拥有的知识”［3］24;但是,现代历史中数学改变现实的现实使数学成了成善的世界观前提,因为起源于欧洲的现代文明,“伽利略、笛卡尔、牛顿和莱布尼兹在17世纪精心创立系列的数学和物理概念,使整个运动限定在这些概念之中”［1］667,数学从根本上影响了现代科学和现代人的行为。由此看来,在人类知识发展史和人类社会进步史中,数学与善的上述“纠缠”并非意味着目的与手段的天然分离,而是意味着数学这一人类特有的知识类型本身所具有的世界观意义以及和目的同一性的特质。因此,数学与善统一甚至是一致在人类知识类型极速发展的今天具有极其重要的意义,如何在数学教育中真正将之揭示出来并内化成关于数学的观念,既是关系到数学发展与创新的根本问题,又是推进基础理论创新与观念变革的要求,更是关系到数学教育培植正确世界观和科学实践观的前提性问题。

一、“不能分离”的互成与“数学与善”分离的后果

在功利性追求日盛的现代世界,如何看待作为工具的知识与作为目的的善,从根本上影响着人们对知识对象和知识内容的认知、学习、运用和发展。然而,这一问题并不只是在现代社会才出现,早在《理想国》中柏拉图就已经清楚明白地阐明了这一事实。柏拉图所认为的“数学思想之于追求最终目的的重要性”［1］666,不仅被他的学生所忽视,更被往后的数学家、科学家甚至是哲学家忽略。柏拉图关于数学阐明善的直觉,并非简单地对数学和善的界定或说明,而是基于对善本质的追问以及对人类认知能力的判定。因此,被柏拉图引入而且成为哲学真理的“数学与善”,实际上是直逼数学哲学本质的问题。当数学家们知道数学细节,而忽视数学与善的关系的时候,不仅戕害了作为最高目的的善,也大大削弱了数学成善的重要性,数学也只好以作为工具的不可或缺来标示其重要性。由此看来,数学与善不能分离的洞见,其实是关于数学的真理,无论是学习数学还是运用数学,都不应该在二者分离的基础上展开。因为“既然善和美是不同的,善永远居于实践之中,美则是在不运动的东西中,那些说数学科学并不涉及善和美的人就是错误的”［4］。就此而论,对于数学不但需要熟悉、理解和掌握详细的数学公式,而且更需要通过这些具体的对象性知识在数学对象的构成性中涉及善、追问善、成就善,唯有如此数学才能真正成为数学。

第一,数学与善首先是一个哲学问题,只有哲学的透视才能通达数学与善的统一、反对二者的分立。现代数学知识的变化直接表现为知识内容的扩充与知识领域的扩展,“可以被设想为一个在1870年开始的有智力的生命发展历程,那时这个生命体刚好九到十岁的样子”［1］668。因此,现代数学发展之初就表现为对算术甚至是分数的熟稔和掌握,但是同时也被新知识所扩充,比如几何和代数的引入。但是,此时数学知识发展并没有形成对其表达对象的深刻理解,因为这时还延续柏拉图以后数学与善分离的传统。即是说,以数学自身直观对象是数学发展、创新和运用的一般情形。但是,数学概念本身的形成、阐释和传达,显然是不能离开作为目的的善。比如,几何概念“如果离开了对空间的引用,那么这些概念就没有任何意义”［1］669。因此,尽管我们可以说柏拉图关于数学与善不能分离的洞见已然久远,然而我们却不能说现代数学的发展与完善已然统一了数学与善。如果仅从数理推导的逻辑来看,只关注数学,而不在意善,显然不是问题。但是,如果我们在数学思考和传授中没有把作为目的的善甚或是作为对象属性的善与数学的知识内容一致起来的话,那么数学可能就只能遗留下逻辑自洽的概念、判断和推理。就此而论,柏拉图提出的数学与善一致判定,远远超越了对数学是实现善的功利主义肯定,而是从建立感觉与思想之间的内在联系的意义上来强调数学的特质与意义。因为,对人而言,“我们不仅仅拥有一个变化的世界,它的一切都是完全不可把握的;也不仅仅拥有单一纯粹的存在的世界,它的一切都是孤独的庄严。在技艺里这两个限度通过数学要素被融合为一个有秩序的整体”［3］31-32。

第二,数学与善的分离这个曾经引发学术进步的“辉煌错误”,一方面强化了数学的工具性,另一方面更提出了数学与善统一的重要性。当怀特海在现代知识发展的整体逻辑中重提这一问题时,显然是看到辉煌错误之后必须正视的问题。对此的重视,既是对数学自身发展状态的考量,又是对数学与其他科学关系的判断。在数学与善分离的传统中,数学是对某种具有本体确定性对象的说明。比如对空间而言,“按照柏拉图、欧几里德他们的观念,数学的目的就是对空间性概念的充分说明”［1］669。如此对数学功用的强调却疏离了数学的本质,而且也阻滞了科学的发展。因为数学与善的分离,使数学的一致性与逻辑自洽性成了数学的标识,是理性精巧之美的体现,深深地影响了现代科学。比如,“因为离开了在思想基础引进数学与善分离的简化,现代物理学没有前设性的简化来解释自身”［1］669。然而,19世纪末20世纪初非欧几何的发展,在解决现代科学的基础上使长达四千多年的数学与善的分离状态得以重新被重视。怀特海依据其表征的知识内容称之为“独一无二的几何学的错误”［1］670。当现代科学面对这一错误,并给出“我们现在知道了”［1］670的判断,显然不是对过往失误的追悔莫及,而是对数学与善分离的现代反思。因此,数学与善分离导致“过度强调欧几里德式的演绎技巧”［5］、强化“任何有限知识完全自足的观念”［1］670,必然会导致教条主义的错误,错失知识产生的背景,失去与生活目的的联系。或者说,数学与善的分离,强调有限模式在数学建构和数学教育中的重要地位,虽然能够将逻辑理性的完备和自洽表现得淋漓尽致,但是却不可避免地会产生落入武断的怀疑主义的窠臼。在此背景下,数学其实只是一种失去根基的完成状态。由此看来,数学与善的分离使完成了的数学成了数学理所当然的形象,更以理性完美的形象证明有限的自足性,从而也潜在地表明数学与善的分离在某种程度上强化了怀疑论。更直接地讲,数学与善的分离虽然使现代科学和知识体系得以产生、发展和繁荣,但是却产生怀特海所反对的两种实在之间的冲突,即脱离善的将数学作为表达“型”的实在与追求善的生活实在之间的冲突,因为这一分离产生了阻滞现代知识进步的恶。重提数学与善,也就意味着既应该从数学自身来思考数学,又要从生活存在来思考数学。

第三,数学与善的分离偏离了柏拉图基于理念论对数学本质的洞见,产生了“具体性误置”谬误,放大了自希腊以来便存在于数学之中的矛盾。数学与善的互成在柏拉图那里是基于理念论哲学的,所以苏格拉底所说的“我所知道就是无知”,本身就意味着数学与善并非自足的停留,而是不断地发展着的。因此,在数学与善的互成中,发现存在于数学知识中的矛盾,对于数学的发展与变化具有根基性意义。然而,数学与善分离却使之不再成为问题。所以,怀特海特别感叹,“关于数的观念自希腊时代以来就总是包含奇怪的小矛盾,然而有思想的人们却总是忽略了它们”［1］671。现代知识逻辑发展中“数学已丧失确定性”的观念,也并非要否定以几何学研究“型”、以数的概念表达类型的数学本身,而是要揭示数学知识构成中欣赏无用的幻觉、抛弃数学产生依赖宇宙之存在原因。或者说,数学与善的分离所产生的前文所论的自足性,不仅是数学知识发展的内在桎梏,而且要拒斥数学产生及其意义发生的本体论承诺。所以,怀特海极为赞赏弗雷格判断算术摇摇欲坠的观点,同时对罗素引进实体类型来阐释数字本质的工作充满信心。罗素虽然没有直接恢复数学与善的互成,但是他把“数限定在一种类型中来解决所有矛盾”［1］671的方式,是事实上对数学与善关系的知识论恢复。在此意义上讲,无论是面对空间位置的几何,还是处理对象存在的数,都是基于善发生学的模式真理。数学中的基本概念,“都是从某一特定实例中抽象出来的给定种类的实例”［1］672,与其产生的语境,或者说善发生过程有着本体论上的一致。因此,算术、几何和代数等具体数学知识,虽然其表达形态各异,但是都没有办法不参考无际的宇宙,数学本身是“一种从背景中抽象出来的实体性存在”“一种以思想的方式强调的客观形式”。［1］672然而,数学与善的长期分离,使人们形成了关于数学知识的刻板印象,但是如果基于数学与善一致的洞见,从人类发展数学和应用数学的历史来看,就自然能够超越柏拉图洞见中的含混与朴素,同时更能解决数学自身的客观性问题,从而使数学真正成为人类思想存在和价值的理性范例。而且,如果数学与善真正能够互成,既能够解决拉图尔对于数学重回唯物论的呼吁,也能够从根本上改变科学在讲故事中把故事当作实在的问题。因为,数学与善的分离,以及现代科学对数学的依赖,总是使科学误置具体性,“把身体变成故事,又把故事变成身体;既产生称为‘实在’的东西,又产生对实在的证词”［6］。

由此看来,数学与善的同一,是作为一个哲学洞见被提出来的,然而在数学从哲学中分离出来成为具有重大影响的独立学科的时候,这一洞见却被数学与善分离的事实所代替。这一代替在传统逻辑中虽然推动了数学发展,但是在现代知识发展中必须被重新审视。因为,这一分离一方面使数学日益工具化,另一方面使数学日益抽象概念化。然而,数学与善的本然结合和数学的发生现象学又使数学本身实现能够善的表达。因此,怀特海基于现代知识发展的背景,对数学发展表示出深深的忧虑,明确提出,“玩弄抽象概念并不能克服17世纪科学思想方法中‘具体性误置’所引起的混乱”［7］。

二、数学的确切性和善的理想性与实践的模糊性

数学与善都是从具体事物中抽象出关于事物的“类型”,具有超出直接经验和现实实践的理想性。数学与善都具有理想性这一事实,使数学与善对于表征人的理性具有逻辑的同构性与社会实践的同一性。而且,数学与善都与现实实践在表达确切性上区别开来,又在具体实践产生的效果上结合起来。所以,数学和善“作为直接超越任何现实实践的典范”［1］673,既以善的理想性定义模糊性的实践,又以数学的确切性使经验性的实践行之有效。数学与善以概念的确切性与价值的理想性,改造了模糊的知觉,真正使柏拉图致力于通过数学来讲善的追求得以实践性落实。

第一,数学和善以概念的自洽和价值的超越赋予存在以生气,使模糊的知觉变得精确与稳定,既成为实践的指引,又成为现实的追求。虽然现代知识的扩展使数学与善关系的表现形式发生了重大变化,但却在数学与美和恶的联系中重新表明出二者关系的重要性。追求数学的确切与善的理想是理性存在者所特有的。因为,唯有理性存在者才有选择性难题,他既要求具体例示,又抽象具体示例。特别是对人而言,当其以社会性智能历史地建构出例示内蕴的超历史的类型的时候,其实就创造了精确的数学概念和理想的善的观念。这是人类智能所独有的特性。这显然符合西赛罗对苏格拉底的赞美,将善拉入人间进行思考是极其重要的变革。同时也证明了数学之确切与善之理想的意义。与此同时,我们可以窥见柏拉图以数学论证善的困难。因为,数学与善在现实中是直接与实践区分开来的,“善的理想和数学的确切都是关于精确性的。精确性是实践和理论的区别。无论何时何地,也无论显性或隐性,精确性始终是理论的根本要求”［1］673。但是,这并不意味数学和善就与经验性实践和现实性活动是两种完全不同的对象。虽然在实践中,确切的数学概念和理想的善从来都不曾完全实现,也不可能真正达到,但是人们总能在模糊经验中达到数学之真与善之美。无论是成人还是孩童,都概莫能外。这也就意味数学与善只是经验实践的一体两面。这既构成了数学和善与生活的同构性关系,又意味数学概念的精确性与逻辑的自洽性内置了善的理想性。特别是现代科学解构确切与客观固定与不变之后,数学与善所表达的精确性就显然不能再诉诸绝对的实体本体,而要服从与服务于人的现实生活。其实,如果不考虑现代物理学对传统客观实体观念的解构,即使只从数学概念化的精确性的来源也可知其中必须蕴含着对生活善的理解。这也是为什么柏拉图会在《菲力布篇》明确体现出数学如何精确地从技艺中筛选出数学的要素,并隐喻性地指向善的真正原因。因为,“知识体的科学特性依赖于通过数量原理实践理智控制的能力,此后,他继续工作,并将这一概念化应用于数学本身”［3］40。而当怀特海在现代知识背景下再提数学与善时,显然是赞成柏拉图的观念并且将其推进,“请记住,无论是人类关于一英寸的长度,还是一秒钟的时间,作为确定无疑的基本单位,都与人的生活完全相关”［1］674。或者说,数学的确切与善的理想都内在于生活,但却并不是实然地存在于生活之中等待被发掘出来的知识体系,而是激活真实事件的理想性与超越性。数学与善同时使人认识到抽象无限性的无效,而数学与善则又共同揭示有限的意义,指引了有限的未来达到无限本身。所以,“有限馈赠价值,这是人类活动的必要条件。而活动意味集合模式得以产生,数学恰恰又是研究模式的学问”［1］674。由此,数学研究与善的追求在实践指引与现实追求中造就了共同的存在论基础。

第二,数学的确切性与善的理想性通过对有限与无限的证成与表达,既明确其二者的理论对象,更阐明与澄清数学和善处理有限模式的原因。虽然在《理想国》中柏拉图将数学抬高到了纯粹的高度,但却并没有从根本上解决数学沦为工具的问题。因为在柏拉图的逻辑中虽然存在着“数学与善的阐述是由善牵涉、追溯至数学而并非在数学下解释善,数学的善是一种发自人的经验但又脱离人的经验的纯形式、理想化的境界”［8］,但是,数学并没有逃脱工具化的宿命。因为,“数学搭建了物质与理念世界的桥梁,是通达善的工具和关键途径”［8］的判断为数学的工具化留下逻辑可能。我们有理由相信怀特海重提数学与善应该是明了问题的关键。因此,在其看来如何在哲学层面超越具体的数学理论(或公式)说明这一问题就至关重要。因为,这一问题不仅关涉到现代知识背景下数学的本质问题,更是关系现代知识体系中数学发展与数学教育的重大根本问题。对此,怀特海特别强调,“没有独立存在的有限实体”［1］674,只有被无限规定的有限和被有限说明的无限。也正因为如此,怀特海以近乎辩证法的逻辑判定有限与无限的互证与互成,为数学的确切与善的理想提供了本体论前提。数学从例示、实体,或者说是个体经验到的对象中抽象出模式,其既是对有限的具体还原,又是借用无限达到的对有限的理性把握。数学知识作为一般的模式,不是源于其直接思考的无限,而是对有限的抽象。因此,有限就从意义与价值赋予的角度使无限具有意义,而无限又给予有限以确定性。所以在怀特海看来,如果只是借助于思辨哲学,如同斯宾诺莎和莱布尼兹那样不将数学的根基具体化为人类的知识与价值,对有限与无限的说明就必须求助于“自然神论的无限”。但是如果从数学的确切性与善的理想性出发的话,那么这个问题就迎刃而解了。这既是在现代知识发展中必须讨论数学与善的原因,也是现代知识化逻辑中的“数学与善”和柏拉图的“数学与善”的重要区别。而要达到这种层面,必须在哲学的高度深入理解创造出数学知识的悟。因为“‘悟’这一概念既需要理解讨论有限时为何需要无限、讨论无限时为何需要有限”［1］675。或者说,数学基于有限的模式本身就是通向无限性的理想性的善。这样既规避了客观真理的数学知识源于有限的问题,又解决了善理想性的无限如何通达的问题。由此看来,柏拉图提出数学与善的问题其实就已经睿智地击中了问题的关键,但却因为知识体系尚未充分展开,只能是一个洞见。现代知识体系的发展所敞开的事实证明,数学的确切性并非善的完满性,而是模式源于生活的事实性,在有限与无限互证与互成中生成的可依赖性,以及规避恶与成就善的可能性。

第三,数学作为具有确切性的模式真理,是量的广延、形的确定和善的理想,规范着实践。数学的模式真理性是数学知识结构超越个体对象而客观具有的,现实真理性则是由善的理想性在规范实践模糊性中表达的。数学确切性是由形式结构的创造性思维和具体内容的客观对象双重本体所保证的,“数学在各个不同的抽象化水平上(即在各个抽象层次上),它总是从业已模式化的个体出发,在进一步的抽象过程中对可能产生的模式进行研究”［9］。而且,模式在实践中具有十分重要地位,“每门艺术都奠基于模式的研究,社会组织的稳定与结合也依赖于模式的保持;文明的进步也侥幸地依赖于行为模式的变更”［1］677-678。虽然怀特海这样的判断有将数学工具化的逻辑可能,但是执着于模式的数学其实和语言一样都力图将意义结构化在模式之中,并使数学在研究高阶模式中和善一致起来,具有本体化的趋势。或者说,数学本身所体现出来的逻辑合理性、模式真理性和现实真实性,构成其确切性的核心内涵,并在规范与影响实践中表达量、形和善。数学发展的逻辑告诉我们,数学并没有停留于柏拉图对永恒不变的善的逼近或表达之中,而是在其不断的发展中揭示出善的一般结构和内在构成,并以数学的模式真理性地构成善本身。因此,有学者明确提出,“通过数学知识,我们认识自然事物的组合和秩序。怀特海倡导数学的模式本质观,通过数学模式(研究对象)的构建,阐述数学知识的价值理念,从中探求数学和善两者间的关联”［8］。或者说,正是数学在其自身内容发展和观念完善之中,本质性地探问了善的问题,而这一探问的目的并没有停留于数学达成善的方式与过程(尽管这是人们对数学的常识性观念),更是深入到了数学模式真理演变本身展开善的历史现象学。这也是怀特海在面对数学与善时始终强调不能离开人的生活思考数学本质的重要原因之所在。

因此,数学确切性的面相在数学产生那一刻就被人们所认可,然而正是因为数学与善的内在一致性使得数学确切性和善的理想性关联起来。数学与善的这种关系其实展开于数学模式形成、确定、运用和修正之中,这既构成数学在模式中结构化意义与价值的能力,又构成了数学表达善、成就善的过程,同时善的理想性又不断修正模式使数学与善相互生成。正如前文所述,柏拉图承接苏格拉底思考善,但是他用数学来思考善本身就是一个伟大的创举,正是这个创举既使数学知识的发展依赖善实现的程度,又使善而非恶成为数学内在的价值构成。

三、数学对模式的智力分析与善恶对模式的存在依赖

现代数学的发展使数学不再局限于对数目和图形的分析和阐明,而是进一步深入到对模式的研究。无论是代数还是几何,均是如此。且不论为了满足数学如上发展所引发的数学思维和理论方法的进步,从“数”在代数学中的地位变化看,我们发现数已从数学的核心地位转变成为对象提供名称,“数学已转变成对模式类型的智力分析”［1］677。数学的这一转变显然不仅是知识自身逻辑发展的结果,更是现代人对模型重视的必然。其实,随着经验形而上学意义的确定,以及实验对现代科学的存在论奠基和范式改变,模型以及模型之间的关系在经验生活和理性知识中的重要性与根本性便日益凸显。模式构成经验生活的直接规定,模式关系限定善恶的发生。因此,善恶与数学在现代历史语境中的再次相遇也就绝非偶然,将柏拉图充满经验暗示的哲学洞见再一次提出来,必然需要我们重新思考数学与善的关系问题。

第一,模式成为数学核心对象确证了柏拉图对数学的正确洞见,善恶与模式的关系也再一次证明了数学与善关系之于人类知识和生活的重要性。如此看来,柏拉图讲演的不成功,不在于判断正误,而在于数学发展的状态和人对模式重要性的认知。从数学发展史的角度来看,模式并非一开始就是数学关注的对象,而是20世纪以前半个世纪知识论发展的结果。这里既有几何学的进展,更有代数学的明确。代数群论的兴起就是极佳的证明。或者说,随着知识论发展,数目和形状在数学知识中的地位逐渐退后,模式逐渐走向前台,这既是数学独有能力的证明,“对于理解模式和分析模式之间的关系,数学是最强有力的技术”［1］678;又是人类生活对模式依赖的证明,经验层面模式虽然“只是我们的经验的实现中的一个因素,或者是直接价值,或者是为了未来的价值的感觉刺激”［1］678,但存在层面的模式却是一个内置于人类行为之中的文明要素,无论是艺术、社会体系还是历史进步无一不受其影响和制约,人现实的行为已经“把模式注入自然事件之中,模式的稳定性,以及模式的发展,都是善实现的必要条件”［1］677。因此,从现代知识论和人类活动两个方面都证明一个事实,模式推动数学发展,数学明确模式状态;模式规定善的实现,善表征模式特质。因此,“数学的进步并不只存在于导致对问题的新答案的研究之中。这些问题自身依赖于程序的模式。这些程序的模式最初并没有与它们发生于其中的答案区分开来,它们并未普遍化”［3］16。显然,这既是数学发展的一般逻辑,也是柏拉图讲演在古希腊时效性不强的原因之所在。然而,随着人类历史的发展,模式却逐渐展开并呈现出前述的独立性。模式独立性的获得及其与善关系的明确,使数学与善的关系再一次深度交织。这一方面是因为数学对模式的智力理解具有“压倒性的优势”［1］678,另一方面则是人类总会在现实的生活中开创出新奇性的模式从而展开善的新命题。

第二,数学在对模式的智力性分析中与世界建构了整全性关系,既深度揭示模式规范善恶的逻辑,又培植人向善的能力。数学对模式的智力分析,并非数学知识的独立性与功能性,恰恰是在理性分析中表征模式存在的整体性。这一方面是存在自身的特性使然,因为,模式的个性或单一的关系都不能构成模式自身的规定性,更遑论其对善的规定性;另一方面数学对模式的智力分析显然不是逻辑分析,而是对内蕴模式的自然世界的直观和构造,是被康德称之为感性-知性科学的纯粹科学。因此,当怀特海重提数学与善的时候,实质上“将批评的矛头指向了独断论,他认为一个独断论者恰好是彻底怀疑的,并在此阐明作为无限的‘善’与作为处理有限模式的‘数学’之间不可分割的关联”［10］。当数学在智力分析中引入“任一”(any)这一概念的时候,就使其具有了超越有限直面无限的可能,并“与整个环境发生关系”［1］678。这既为善恶所参考的不同经验模式提供了理性依据,又以理性分析的方式还原了善恶的存在论处境。因为数学非常注意对概念与对象之间的冲突、对象与对象的不一致、概念与概念之间的矛盾的理性分析并形成对模式自洽性的判定。这既解决了经验模式的协调性问题,又使经验获得的模式得以升华成为引导经验向善。更为重要的是,数学通过对有限模式的分析,使其存在关系得以展现,使联系成为模式表征的事物本身的规定性。所以,当数学从被模式化的特殊事物中抽象出模式本身的时候,将事物从有限扩展到无限,从而具有善的特质、成为善恶的限定、引领善的行为。对此,怀特海确定无疑地宣布将数学定义为对有限模式理性分析的重要意义,“我要强调的观点是,模式对于善恶的产生不可或缺,在有限感受单位中能够获得对这种模式所带来的具体体验”［1］680。

第三,数学对模式的理性分析,内置了柏拉图珍视的“包含着强调”［1］681的抽象方法,是以有限激活无限、创造价值的善所必需的方法。虽然数学的这一特性使得数学在诸多时候和场景中被当作工具或者中介,但是数学也一直被喻为人类智慧皇冠上的明珠。因此,数学抽象方法的强调显然不是工具性的突出与强化,而是在与善互成过程中的本体性建构。这也是为什么人们也把数学称为世界观的原因。这一方面是因为数学所表征的类理性使然,另一方面则是因为数学不仅以理性开启直指事功的新世界,同时更是开启了实现善并和善统一的新途径。怀特海在重提“数学与善”时,就深深地被数学分析模式表征的理性所折服:“希腊天才逐渐突出抽象方法是特别新奇的事情。”［1］680虽然后来因为数学与善的分离,并引发了抽象的误用,或多或少地影响了数学的形而上学意义、动摇了数学的地位。但是,从柏拉图以数学来阐明善的时候本身就是以抽象的方式讲出一个事实:如果经验是具体统一的,那么数学抽象的公式和结论就会真正从有限中抽象出激活无限的模式。而且,数学与善的关系也就一直存在数学思考之中,不断地被哲学家们以不同的方式常提常新。比如康德就以数学与自由申明了数学与善的统一。这一方面是因为,就现实而言,有限之有限就在模式本身的具体性,特别是“每个人在他自己的范围内可能达到善;但是这一结果不确定、不牢靠、易于犯种种错误”［3］36。因此,“能导向对真理的理解”［11］525的抽象方法或者说数学就会必然出场,因为,这会达成一个“任何现实的创造中所涉及的抽象,具有连通无限与有限的统一性”［1］681,就如同表达具体个体的数一样。另一方面,数学,特别是“几何学会使得人们更加容易看到善的理念,迫使我们看到存在,而不仅仅是变化”［3］51。因为几何学重大的高深的部分就是让人能够“把握善的型”［11］527。总之,数学理性分析模式本身,显然不是为了确立模式自己,而是“以美与善为目的”来分析模式和建构模式,是以理性的方式使模式存在者成为模式的表达者。

因此,数学对模式的理性分析切中善恶发生的一般条件,使善恶作为对象的规定性突显出来。对人而言,明晰数学研究模式的意义与方式,明了善恶存在与发生的一般条件,显然离不开数学。这在雅典城邦的生活中是如此,在人工智能时代的今天亦是如此。正如柏拉图在《理想国》中所言一样,“只要他想做一个人,他就要学习数数和计算”［11］521。所以,数学对模式的研究不仅关乎人言说世界的语言建构,还关乎人行为的善和善的行为。

四、结论

怀特海重提数学与善,显然是一个哲学的追问,而非科学的提问。这既是以哲学的方式来展示现代数学的本质,又以哲学的方式揭示善的本性。如果说怀特海所言的“哲学不是科学”［1］681是正确的,那么我们可以说数学不是科学。这意味着对数学与善的思考既是对人学习数学意义的追问,更是对数学本质的追问,还是对时代与数学关系的追问。这一追问,使我们再一次体会到柏拉图的深刻:数学“就是我们正在寻找的那种学习之一,通过这种学习能使思想清醒,尽管它确实能够把心灵引向本质和实在,但没有人正确地使用它”［11］521。今天,身处人工智能时代的我们虽然有了更完备的理论体系和更繁杂的知识逻辑,但是人类社会理论与知识的繁荣并没有取消那些根基性问题,数学与善依然是我们需要深入思考和审慎对待的重要问题。其一,知识论意义上数学的发展依赖于哲学观念的变革是不争事实。如何将我们这个时代世界观念的变化,特别是微观物理学的发展和量子力学的发展内化到数学的观念、理论和知识之中,达到对世界之善(属性)的深刻认知,需要我们重新思考这一难题;其二,在技术兴盛并从根本上影响人类存在和未来的时代,数学的工具性日益强化、形而上学逐渐褪去的时候,数学之善与数学的意义更需要我们深入追问数学与善的关系;其三,时代的艰苦与创新的艰难,需要我们突破与创新,数学的创新更是根基性工作,我们如何突破数学知识既有体系,真正将人类之善融入数学的自洽之中,使向善之学成为善之学更需要我们重审这一追问。