复辛空间ℂ2,ℂ4 中的完全Lagrangian子空间的分类*

苏雅其其格,姚斯琴

(内蒙古大学数学科学学院,呼和浩特 010021)

自伴算子在近代物理学和其他应用科学中有着重要而广泛的应用,因此自伴算子的共轭性识别与描述问题以及谱理论等成为了数学研究的热门课题[1-2]。

辛几何是20世纪70年代发展起来的重要数学分支,它的应用领域非常广泛,如天体力学、几何光学、分子物理等。1999年,Everitt和Markus用辛几何的方法描述了对称微分算子的自伴扩张,证明了对称算子的自伴扩张与算子定义域所构造的复辛空间中的完全Lagrangian 子空间一一对应[3-4]。2002年,王万义和孙炯在文献[5]中研究了复J-辛几何在常微分算子上的应用,并且证明了J-对称微分算子的J-自伴扩张与完全J-Lagrangian子空间之间的一一对应[5-6]。

2013年,姚斯琴、孙炯和Zettl研究了实参数解刻画(LC 刻画)与辛几何的方法刻画(EM 刻画)之间的关系,初步用辛几何的方法研究了微分算子的谱问题[7]。2014年,姚斯琴、孙炯和Zettl研究了对称算子的耗散扩张问题,同样通过辛几何的方法,证明了耗散扩张构成的集合与耗散子空间构成的集合之间的一一对应关系[8-9]。2022年,刘婷和姚斯琴研究了复辛空间中的完全Lagrangian子空间的构造并且给出了子空间是完全Lagrangian子空间的充要条件[10]。

本文在文献[10]的基础上,将完全Lagrangian子空间的系数矩阵参数化,进而分别给出了复辛空间ℂ2以及复辛空间ℂ4中的完全Lagrangian子空间的分类。

1 预备知识

为便于读者理解文章,先给出必要的基本概念和引理。

定义1.1设S是一个复的线性空间,在乘积空间S×S上赋予一个复值函数,

若复值函数[∶]满足

(1)半双线性型

对任意的u,v,w∈S,以及c j∈ℂ,j=1,2,3,4;

(2)反埃尔米特型

则称S是一个预-复辛空间;

(3)非退化的

则称S是一个复辛空间[11]。

复辛空间上的复值函数[∶]称为辛形式,也即辛内积。

定义1.2复辛空间S的一个线性子空间L为Lagrangian的,若[L∶L]=0,即

进一步,一个Lagrangian子空间L⊂S称为是完全的,如果

定义1.3设S为有限维复辛空间,且维数D≥1,辛形式为[∶],令

称(p,q)为复辛空间S的正负指数,令

则分别称Δ和E x为S的Lagrangian指数与超出量将p,q,Δ,E x统称为S的辛不变量。

定义1.4设S为有限维复辛空间,且维数D≥1,其辛形式为[∶],若S的线性子空间S+和S—满足

则称S—和S+在S中辛正交互补,记为S=S—⊕S+。

引理1.1设S为有限维复辛空间,且维数D≥1,其辛形式为[∶],则存在S的一组基使得相应的反-Hermitian矩阵为

S的正负指数为

其中,0≤p,q≤D,所以反-Hermitian矩阵H的对角形式是唯一的。

引理1.2设S为有限维复辛空间,且维数D≥1,其辛形式为[∶],则

(1)S中存在完全的Lagrangian子空间⇔Ex=0即p=q。

(2)当Ex=0即dimS=D=2Δ时,S的Lagrangian子空间L是完全的⇔dimL=Δ。

引理1.3设{u1,u2,…,u m,v1,v2,…,v m}为S=ℂ2m中的一组基,满足

引理1.4设S=ℂ2m为有限维的复辛空间,其辛形式为[∶],辛不变量为(p,q),令

则S=S+⊕S—,[S+∶S—]=0。

在文献[10]中给出了复辛空间中的子空间为完全Lagrangian子空间的充要条件。

引理1.5复辛空间S=ℂ2m,辛不变量p=q=m,设{u1,u2,…,u m,v1,v2,…,v m}为S中的一组基满足(1)式,设L=span{w1,w2,…,w m},w k∈S,k=1,2,…,m,w k为Lagrangian元素

则子空间L为复辛空间S中的完全Lagrangian子空间充分必要条件为Ran k(A)=Ran k(B)=m且AA*=BB*,其中A=(akj)m×m,B=(bkj)m×m。

下面在引理1.5的基础上,探讨复辛空间ℂ2,ℂ4中的完全Lagrangian子空间的分类。

2 复辛空间ℂ2 中的完全Lagrangian子空间的分类

定理2.1考虑复辛空间S=ℂ2,辛不变量p=q=1,设{u,v}为S的一组基满足

定理2.2令定理2.1的记号和假设成立,则复辛空间S=ℂ2中的完全Lagrangian子空间L=span{eiθ1u+eiθ2v}可表示为以下5种形式之一:

因此完全Lagrangian子空间L形如L1。

此时完全Lagrangian子空间L形如L3。

例2考虑如上定义的复辛空间S=ℂ2,完全Lagrangian子空间为L=span{eiθ1u+eiθ2v}。当

因此完全Lagrangian子空间L形如L5。

3 S=ℂ4 中的完全Lagrangian子空间的分类

这一节讨论复辛空间S=ℂ4中的完全Lagrangian子空间的分类,而复辛空间S=ℂ4中的完全Lagrangian子空间的分类是比较复杂的。

考虑复辛空间S=ℂ4,设辛不变量p=q=2,设{u1,u2,v1,v2}为S中的一组基满足

其他辛内积都为零。

引理3.1设L=span{w1,w2}为S=ℂ4的子空间,其中

则L=span{w1,w2}为完全Lagrangian子空间当且仅当Ran k(A)=Ran k(B)=2且AA*=BB*,其中A=(a kj)2×2,B=(bkj)2×2。记C=AA*=BB*,

证明由引理1.5 可知L=span{w1,w2}为完全Lagrangian 子空间当且仅当Ran k(A)=Ran k(B)=2且AA*=BB*。下面证明(2)式,由AA*=BB*可知,矩阵A,B地位均等,只需对矩阵A证明即可。已知矩阵A=(a kj)2×2,则C*=(AA*)*=(A*)*A*=AA*=C,因此矩阵C是2阶Her mitian矩阵。

设a kj=r kje iθkj,其中rkj≥0,θkj∈[0,2π),k,j=1,2,则

则矩阵C的对角线上的元素都大于零,又由C是Hermitian矩阵,于是矩阵C形如

下面,我们从矩阵C的不同形式入手,探讨完全Lagrangian子空间L的系数矩阵A,B的形式并给出完全Lagrangian子空间L的分类。为研究方便,进一步将矩阵C记为

其中0≤r≤1,θkj∈[0,2π),k,j=1,2且θ11—θ12—θ21+θ22=2nπ+π,n∈ℤ。

特别地,当r=1,r=0时,矩阵分别为

由Euler公式可知,公式(5)的实部和虚部分别写成如下式子

上式代入到公式(7)得

两边同时平方,经整理得到

(9)、(10)两式平方相加可得

由和差化积公式得

其中θ11—θ12—θ21+θ22=2nπ+π,n∈ℤ,0≤r≤1,θkj∈[0,2π),k,j=1,2。

特别地,当r=1时,矩阵为

当r=0时,矩阵分别为

接着讨论一般的完全Lagrangian子空间L与完全Lagrangian子空间￡1,￡2的关系。

定理3.4令定理2.1的记号和假设成立,系数矩阵取

证明 证明完全Lagrangian子空间L=span{w1,w2}可用￡1=span{˜w1,˜w2}线性表示当且仅当证明￡的基向量组w1,w2与￡1的基向量组˜w1,˜w2等价,即证明

当r=s时,完全Lagrangian子空间￡为

令￡的基向量组分别为

对完全Lagrangian子空间￡1作变换得到

令￡1 的基向量组分别为

构造矩阵

对矩阵作初等行变换得到

同理可证第二种情况。

再由定理3.1可知,完全Lagrangian子空间￡的系数矩阵不一定都满足条件(1),(2),则当系数矩阵A,B不满足(1),(2)中的条件,￡记为￡3。

注 由定理可知,完全Lagrangian子空间￡满足条件(1)则可由￡1线性表示。而￡的系数矩阵A,B并不只是对角矩阵形式。对于条件(2)也有同样的结论。

例3 考虑如上定义的复辛空间S=ℂ4,完全Lagrangian子空间为

对矩阵A作初等变换得到

由Euler公式上式实部和虚部可以展开为如下式子

当r11=0时,得到r12=1,代入到(14)、(15)两式得到

又从(13)式可知r22＞0,则cos(θ12—θ22)=0,sin(θ12—θ22)=1,于是得到

此时得到定理中的A1。

又从(11)式可知r22＞0,则cos(θ12—θ22)=0,sin(θ12—θ22)=1,于是代入到(16),(17)式得到

此时得到定理中的A3。分别令r12,r22为0时,同理可证定理中的矩阵A2,A4。

定理3.6令定理2.1的记号和假设成立。当AA*=BB*=时,复辛空间中相应的完全Lagrangian子空间都能用￡1,￡2,￡3线性表示。

证明 根据定理3.5可知,当AA*=BB*=时,系数矩阵分解形式并不唯一,因此复辛空间中相应的完全Lagrangian子空间也不同,所以只证以下2种完全Lagrangian子空间:系数矩阵分别取A1和A2形式,系数矩阵分别取A1和A3形式。

设系数矩阵

复辛空间中的完全Lagrangian子空间为

则完全Lagrangian子空间L可用￡2=span{u2+ei(ρ21—θ22)v1,u1+ei(ρ22—θ21)v2}线性表示。

设系数矩阵为

复辛空间中的完全Lagrangian子空间为

设完全Lagrangian子空间

设完全Lagrangian子空间￡3 的基向量组为

设完全Lagrangian子空间L的基向量组为

构造矩阵(w1,w2,˜w1,˜w2)

作初等行变换得到

则Rank(w1,w2)=Ran k(˜w1,˜w2)=Ran k(w1,w2,˜w1,˜w2)=2,于是完全Lagrangian子空间可由￡3线性表示。

例4 考虑如上定义的复辛空间S=ℂ4,设系数L矩阵

则复辛空间中的完全Lagrangian子空间为

可用复辛空间中的完全Lagrangian子空间￡2=span{u1+v2,u2+iv1}线性表示。根据定理3.4可以进一步分类为L7。

例5 考虑如上定义的复辛空间S=ℂ4,设系数矩阵

则复辛空间中的完全Lagrangian子空间为

可用完全Lagrangian子空间

线性表示。