二维八次对称准晶平面弹性问题的Hamilton混合能变分原理*

周海英,侯国林

(内蒙古大学数学科学学院,呼和浩特 010021)

准晶是一种介于晶体和非晶体之间的固体,具有高硬度、高光滑度、良好的弹性等优越性能,于1984年被Shechtman等发现[1]。之后,Bak和Socolar提出了准晶的弹性理论[2-4],范天佑研究了准晶弹性静力学的广义变分原理和有限元方法,并讨论了准晶弹性边值问题解的存在性、唯一性和收敛条件[5]。

钟万勰创造性地将Hamilton体系及辛状态空间理论应用到弹性力学,扩大了分离变量法的适用范围,开创了弹性力学求解辛体系[6-8]。罗建辉等进一步拓展了辛弹性力学求解方法,推导了薄板和厚板弯曲理论与耦合应力问题之间的变分原理[9-10]。侯国林等利用可分Hamilton系统和相应的斜对角Hamilton算子在扇形区域和Mindlin板弯曲问题中建立了平面弹性问题的变分原理[11-12]。

Qiao等[13]将辛弹性力学求解方法推广到二维八次对称准晶的平面弹性问题,这是二维准晶平面弹性问题中最复杂的情况。本文建立了二维八次对称准晶弹性问题的变分原理。通过构造新的状态向量,得到了二维八次对称准晶的可分Hamilton系统和斜对角Hamilton算子。最后,基于斜对角Hamilton算子的结构特点和相应的边界条件,导出了Hamilton混合能变分原理的完整表达式。

1 二维八次对称准晶的基本方程和Hamilton体系

二维八次对称准晶不含体力的平衡方程如下:

由几何方程和广义胡克定律可得

其中w x和w y是相子位移,u x和u y是声子位移,H xx、H xy、H yx、H yy是相子应力,σxx、σxy、σyx、σyy是声子应力,L和M是声子弹性常数,K1、K2、K3是相子弹性常数,R1是声子相子耦合弹性常数。

简单起见,引入以下记号:

观察公式(1)—(11),并引入新的状态向量:

可得到如下可分Hamilton系统:

其中

将状态向量进行分块表示为对偶形式:

其中

则公式(12)可以被表示成

2 Hamilton混合能变分原理

将区域Ω的边界S拆分为S=Sξ+Sφ,其中Sξ表示位移边界,Sφ表示应力边界。相应的边界条件如下:

其中

m和l是方向余弦。

设U*是任意状态向量,且U满足式(15)和边界条件(20)—(21),则

其中

将式(16)—(19)代入(23)可得

设定边界为直线段,由格林公式得

由公式(22)中的U和U*可以得到

引入变分运算

用公式(22)减去(26),可得

即

对式(27)进行变分的逆运算,可以得到如下Hamilton混合能变分原理

其中

公式(29)含有位移和应力的积分形式的泛函表达式。通过对(29)的变分进行逆运算,可以得到微分方程(15)和边界条件(20)—(21)。

3 总结

通过构造新的状态向量,给出了二维八次对称准晶弹性问题的可分Hamilton系统,可分系统与文献[13]的Hamilton系统相比,状态向量的分量有真实的力学含义。观察导出的斜对角Hamilton算子的结构特点,构造了两个对偶微分方程,推导了二维八次准晶的Hamilton混合能变分原理。本文的结果充分地利用了哈密顿算子的结构特性,所得结论是Hamilton型的,与文献[5]中的变分原理等价但不等效,为今后进行Hamilton系统保能量或保辛的有限元计算提供了参考。