2×2分块算子矩阵本质数值半径上下界估计*

刘 熠,吴德玉

(内蒙古大学数学科学学院,呼和浩特 010021)

无穷维的Hilbert空间X中的有界线性算子T是紧算子的充要条件是:当时,有→0(n→∞)。因此容易验证在无穷维复可分Hilbert空间X中,有界线性算子T是紧算子当且仅当对X中的任意正交基{en}有

但对于一些非紧的算子,例如右移算子Sr也可能存在正交基{en}∞n=1满足(1)式。因此,学者们开始研究有界线性算子满足什么条件时会存在正交基{en}使得(1)式成立。为了回答上述问题,Stampfli[1]首先引入本质数值域的概念。此后,Fillmore[2]给出了本质数值域的等价描述,进而确定了本质数值域新的性质。又因为本质数值半径是刻画本质数值域的有力工具,所以文献[3]对本质数值半径进行了研究。

Hilbert空间X中有界线性算子数值半径在双曲型初值问题的有限差分近似解的稳定理论领域具有重要应用。文献[4-6]中给出了一般有界算子数值半径的不等式。值得注意的是,越来越多的学者开始关注分块算子矩阵,它广泛出现于系统理论、非线性分析、发展方程问题、偏微分方程求解问题以及弹性力学等领域[7-9]。鉴于此,本文将Hirzallah[10]关于2×2分块算子矩阵数值半径的结论推广到本质数值半径上,给出了两类特殊的2×2分块算子矩阵本质数值半径的上下界估计式。

1 预备知识

在本文中,X表示无穷维的Hilbert空间,B(X)表示Hilbert空间X中的全体有界线性算子,而K(X)表示Hilbert空间X中的全体紧算子。W(T)、ω(T)分别表示数值域和数值半径,W e(T)、ωe(T)分别表示本质数值域和本质数值半径,则分别表示范数与本质范数。下面给出将要用到的定义。

定义1[11]设T∈B(X),其数值域W(T),数值半径ω(T)分别定义为

定义2[1]设T∈B(X),其本质数值域W e(T),本质数值半径ωe(T)分别定义为

2 主要结论及证明

下面将给出2×2斜对角分块算子矩阵本质数值半径的上下界估计式。

定理1令B,C∈B(X),则

将C替换为—C,并利用引理4,则有

成立。因此有

然后互换上式中B与C的位置,再由引理4

则有

定理2 令B,C∈B(X),则

证明 由引理1、引理2、性质1与等式

其中a,b∈R,有

因此

成立。

定理3 令B,C∈B(X),则

成立,则根据引理4、引理6与性质1有

再由引理1可得

在上式中,将C替换为—C,并利用引理4,则有

即得

然后互换上式中B与C的位置,再由引理4即得

因此

又因

由引理4与性质1有

再由引理1与引理6可得

将C替换为—C,则有

即

然后互换上式中B与C的位置,则有

因此

下面给出一类特殊的2×2分块算子矩阵本质数值半径的上下界估计式。

证明 先证(ⅰ)。由于

则由引理3有

并且

与

成立。因此由式(2)、(3)、引理4与引理9有

因此(ⅰ)得证。

因此由性质2与引理4可得

再由引理1有

因此(ⅱ)得证。