例析求解二项式展开式系数的常见策略

张 平

(广东省珠海市实验中学)

二项式定理是对初中完全平方公式与多项式乘法的拓展与延伸,既是排列组合知识的直接应用,又与概率中的二项分布有着紧密的联系,在高考中多以填空题或选择题的形式呈现,属于基础题,以考查二项式定理基础知识与方法的应用为主,重点考查学生的转化与化归能力、数学运算能力,兼顾数学抽象、逻辑推理等素养.本文结合题目进行分类剖析,以提高解决此类问题的能力.

1 基础知识

2 常用性质

2.1 二项式系数相关性质

1)二项式(a＋b)n展开式各项的二项式系数的

2)二项式(a＋b)n展开式中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等,即

2.2 赋值法求展开式系数和

3 应用举例

3.1 求特定项系数

例1(2020年北京卷3)在的展开式中,x2的系数为( ).

A.－5 B.5 C.－10 D.10

方法3(x2＋4x－5)4表示4个(x2＋4x－5)的乘积,要得到x的一次项,则必须在1 个(x2＋4x－5)中选择4x,同时其余3个(x2＋4x－5)中均选择(－5),由排列组合知识得展开式中x的一次项的系数为

方法4易知(x2＋4x－5)4的展开式中x的最高次数为8,最低次数为0,故可设(x2＋4x－5)4＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8,求x的一次项的系数即是求a1的值.将等式两边同时对x求导得4(x2＋4x－5)3(2x＋4)＝a1＋2a2x＋…＋8a8x7,令x＝0,得a1＝4×(－5)3×4＝－2000.

例4(2014年浙江卷理5)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝( ).

A.45 B.60 C.120 D.210

故选C.

方法2(1＋x)6的展开式通项为其中k＝0,1,2,…,6;同理,(1＋y)4的展开式通项为,其中r＝0,1,2,3,4,则(1＋x)6(1＋y)4的展开式通项为

其中k＝0,1,2,…,6,r＝0,1,2,3,4,从而f(m,n)＝,则

故选C.

3.2 求参数的值

例5(2017年山东卷理11)已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n＝________.

方法2由排列组合知识知(1＋3x)n的展开式中x2项的系数为54,得n2－n－12＝0,解得n＝4(负值舍去).

例6已知的展开式中含有x2y4项的系数为80,则m的值为( ).

A.－2 B.2 C.－1 D.1

3.3 与最大系数相关

例7设m为正整数,(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b,若13a＝7b,则m＝( ).

A.5 B.6 C.7 D.8

解得m＝6,故选B.

例8已知(ax＋1)9的展开式中系数最大的是第3项,且a∈N∗,则a＝_________,展开式中二项式系数最大的是第_________项.解得,所以a＝3或4,展开式中二项式系数最大的是第5项和第6项.

3.4 求系数和

例9(2015年湖北卷理3)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( ).

A.212B.211C.210D.29

例10(2022年北京卷8)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0,则a0＋a2＋a4＝( ).

A.40 B.41 C.－40 D.－41

方法2(2x－1)4的展开式通项为

其中k＝0,1,2,3,4 则a0＋a2＋a4＝(－1)4＋,故选B.

方法3(2x－1)4表示4个(2x－1)的乘积,由排列组合可得,故选B.

例11(x＋2y－3z)5的展开式中所有不含y的项的系数之和为( ).

A.－32 B.－16 C.10 D.64

(x＋2y－3z)5＝[(x－3z)＋2y]5,则其展开式的通项为.若展开式中的项不含y,则k＝0,此时符合条件的项为(x－3z)5的展开式中的所有项.令x＝z＝1可得这些项的系数之和为(－2)5＝－32,故选A.

3.5 综合提升

(2)方法1(1－2x)7的展开式通项为Tk＋1＝,其中k＝0,1,2,…,7,所以当k为偶数时,ak＞0;当k为奇数时,ak＜0,则

方法2求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|的值,实质是求(1＋2x)7的展开式的各项系数和.令x＝1,得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2187.

(3)将(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7两边对x求导得

令x＝1,得a1＋2a2＋3a3＋…＋7a7＝－14.

(4)将－14(1－2x)6＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋7a7x6两边对x求导得

令x＝1,得2a2＋6a3＋12a4＋…＋42a7＝－168.

(5)由导数公式易知

二项式定理的相关问题还是有“法”可依、有章可循的,因此我们应牢牢抓住二项式展开式的通项公式,结合题设的结构特征,灵活进行合理转化,选择合适方法进行求解.

(完)