利用数学方法解决物理中的极值问题

叶中辉

(安徽省阜阳市第五中学 236072)

1 利用二次函数求极值问题

1.1 利用一元二次函数判别式求极值

对于二次函数y=ax2+bx+c，用根的判别式法，利用b2-4ac≥0，(式中含y).若y≥A，则ymin=A.若y≤A，则ymax=A.

例1汽车A以v1=20m/s速度匀速行驶，在司机的正前方100m处有另一列汽车B正以v2=10m/s速度匀速行驶，A车立即做匀减速直线运动，加速度为a.为避免两车相撞，a应满足的条件是什么？

解若两车恰好相撞，其位移关系应为：

∵不相撞,∴Δ<0

1.2 利用配方法求极值

对于二次函数y=ax2+bx+c，函数解析式经配方可变为y=(x-A)2+C,当x=A时，常数为极小值；

例2电路如图1所示，电阻R为可变电阻，电动势为E，内阻为r的电源，求R为何值时，电源的输出功率有最大值？最大值是多少？

图1

解P出=I2R

2 利用基本不等式求极值问题

例3 如图2所示，在水平地面上固定一个半圆形光滑轨道，轨道直径与地面相垂直.一物块以速度v从轨道底端滑入，从轨道最高点飞出，物块落地点与轨道下端的水平距离与轨道半径有关，当此距离最大时，对应的轨道半径为多少(重力加速度为g)( ).

图2

解物块做平抛运动的水平距离x为：

图3

3 利用三角函数求极值问题

例5如图4所示，在斜上抛运动中，斜上抛物体初速度为v，与水平方向夹角为α，在初速度一定的情况下，为α多大时水平射程最大.

图4

3.2 当三角函数的形式为y=asinφ+bcosφ时利用等效变化的方式，可以将上转化为：

4 利用导数求极值问题

利用导数求物理极值可以拓宽学生的解题思路，让学生体会物理与数学的密切关系.应用导数方法求极值的步骤如下：

4.1 根据物理问题所遵循的规律得出物理函数表达式；

4.2 求函数的导数;

4.3 令导数等于零，求解这个方程，得到自变量的解；

4.4 判断出该解对应的是极大值点还是极小值点；

4.5 把该解代入原方程求出对应的极值.

例6 汽车A以v1=20m/s速度匀速行驶，在司机的正前方100m处有另一列汽车B正以v2=10m/s速度匀速行驶，A车立即做匀减速直线运动，加速度为a.为避免两车相撞，a应满足的条件是什么？

解若两车恰好相撞，其位移关系应为：

得：a=0.5m/s2

∴要使两车不相撞，a>0.5m/s2

5 利用图像求极值问题

各种极值问题，还可以利用函数图像、矢量图、几何图和光路图等进行分析和解答.图像法和其他方法比较，不仅具有形象、直观、简捷和概括力强的优点，而且对培养形象思维能力具有更重要的意义.在利用函数图像求极值时，首先，应根据各物理量的函数关系，在直角坐标系上画出相应的函数图像，然后根据交点的坐标、斜率、截距和与坐标轴包围的面积等的物理意义，进行分析、推理和计算.

例7如图5，斜面倾角为α，动摩擦因数为μ，质量为M的小车沿斜面匀速向上运动，求拉力F与斜面夹角θ是多少时，拉力有最小值？

图5

解小车在四个力作用下处于平衡状态，将支持力N和摩擦力f，用其合力R代替，并设R与N的夹角为φ，把四个力转化为三个力的平衡问题.

当θ角变化时：Mg为恒力，R方向不变，与竖直方向成(α+φ)；F的大小和方向都变化.

根据三个力构成的矢量三角形可以看出：当拉力F与R成90°时，拉力最小，且θ=φ(同角的余弦相等).

拉力的最小值为Fmin=Mgsin(α+tan-1μ).

高中物理中的求极值问题可以准确地考察学生对物理知识理解的程度，培养学生数学运算能力.物理学中的求极值问题属于知识性很强，涉及面非常广的问题，在力学、热学、电磁学、光学中都有涉及，笔者只是选择了几个代表性的问题进行分析.近年来，高考加强了数学知识在物理中的运用，对学生数学方法的掌握和运算能力提出了更高的要求，要求学生能根据具体问题列出关系式并会进行相关推导和求解，也重视定性和半定量的分析和推理.教师在平时的教学中应根据不同的物理问题，一点一滴地把一些数学方法渗透进去，使学生对物理规律的理解更加深刻，使数学和物理这两门学科互相渗透、互相促进.