浅谈带电粒子在电磁场中运动的多变量问题的处理策略——以带电粒子在“质谱仪”情景下的运动为例

夏建平

(浙江省杭州市余杭中学 311121)

1 选考背景

带电粒子在电磁场中的运动问题是浙江选考中重点考查的知识点，是电场知识、磁场知识和力学知识的综合问题，从考查知识的角度来看，带电粒子在电磁场中的运动是将电磁场知识和力学中的牛顿运动定律、动能定理、运动的合成与分解、平抛运动、圆周运动的规律等主干知识相结合；从考查情景的角度来看，带电粒子在电磁场中的运动情景可以与生活实际、生产技术、科学研究、前沿科技等联系起来，如回旋加速器、质谱仪、霍尔元件、磁分析仪，离子推进器等，这些现代科技都可以成为新情景综合问题的命题素材；从考查能力的角度来看，带电粒子在电磁场中的运动对学生的空间想象能力、分析综合能力、应用数学知识处理物理问题的能力有很高的要求.因此带电粒子在电磁场中的运动与现代科技结合紧密、知识综合性强，是考查考生知识、能力、素养的极好载体.

1.1 以下内容是笔者整理的近几年浙江选考卷中带电粒子在电磁场中运动试题的一些基本情况.

1.1.1 2018年4月选考

场的特点：变化的磁场

考查重点：(1)霍尔效应的分析;(2)霍尔电压表达式的推导;(3)结合题干给出的信息分析新事物的能力(函数表达式的处理)

待求量：(1)电势高低的判断;(2)霍尔电压;(3)压力波的振幅和频率.

1.1.2 2018年11月选考

场的特点：交变的匀强电场和组合匀强磁场(磁场等大反向)

考查重点：(1)回旋加速器的周期问题;(2)带电粒子在磁场中运动的处理(几何关系);(3)带电粒子在电场中运动的多解问题(分类讨论的能力)

待求量：(1)发射位置和初动能;(2)粒子源发射位置x和探测位置y的关系.

1.1.3 2019年4月选考

场的特点：径向电场和直线边界的匀强磁场

考查重点：(1)带电粒子在径向电场下的圆周运动和加速电场的处理;(2)带电粒子在磁场中运动的处理(几何关系);(3)临界问题的处理(几何问题和三角函数问题).

1.1.4 2020年1月选考

场的特点：直线边界的匀强磁场

考查重点：(1)核反应方程和单位转化;(2)粒子源在直线边界的匀强磁场中的计数率问题(几何关系，三角函数问题).

待求量：(1)核反应方程;(2)计数率;(3)B与a的关系.

1.1.5 2020年7月选考

场的特点：矩形边界的匀强磁场

考查重点：(1)核反应方程和单位转化(2)利用动量定理求解带电粒子与收集板的作用力

待求量：(1)离子速度和出射点的距离;(2)离子束对探测板的平均作用力

1.1.6 2021年1月选考

场的特点：扇形边界匀强磁场和矩形边界匀强磁场

考查重点：(1)速度选择器中的平衡关系;(2)磁分析仪中的洛伦兹力;(3)矩形磁场边界的几何关系(磁偏转和电偏转).

待求量：(1)速度和比荷;(2)离子注入晶圆的位置坐标(电场，磁场，电磁场).

1.2 由上述浙江选考卷中带电粒子在电磁场中运动试题的一些基本情况可以发现:

1.2.1 浙江选考的基本体系

图1

1.2.2 浙江选考的基本要求

1.2.2.1 物理主干知识是考查的重点内容，如带电粒子运动所处的场主要是各种边界的匀强磁场(圆形边界，直线边界为主)或者匀强电场，径向电场，交变电场与磁场的组合场；

1.2.2.2 在考查主干知识的同时，会把考查能力放在首要位置，如带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时对圆、三角形等几何图形的分析能力，应用数学函数知识来处理物理问题的能力要求较高.

1.2.2.3 注重理论联系实际，常常和生产技术、科学研究、前沿科技联系起来，特别是质谱仪，回旋加速器，霍尔元件三种高中教材中常见，但是学生又比较“陌生”的科学仪器相结合，注重空间想象能力、分析综合能力、应用数学知识处理物理问题的能力等科学方法的考查和渗透；

综上所述，带电粒子在电磁场中运动的问题在选考考题中综合性强，对学生能力有很高的要求，所以在教学过程中教师要突出方法，提出解题策略，启发学生思维并从中总结规律，进行联想、推广、延伸，培养开发学生的思维能力，提高学生的分析能力、综合能力和解决问题的能力尤为重要.

2 多变量问题

普通高中物理课程标准要求着力培养学生的核心素养，浙江选考通过带电粒子在电磁场中的运动考查学生核心素养中的“科学思维”，会不会建构模型，会不会利用规律，会不会推理论证，会不会综合应用.而考查学生“科学思维”最有效的手段是多变量问题的综合，而造成带电粒子在电磁场中运动的多变量问题的原因主要有以下几种：带电粒子所带电荷电性和质量的不确定，速度大小的不确定，运动方向的不确定，运动的周期性，磁场方向的不确定.

图2

接下来，笔者将结合例题进行带电粒子在“质谱仪”情景下的多变量问题的处理思路和策略.

3 例题解析

例题一台质谱仪的工作原理如图3所示，大量的甲，乙两种离子从A点飘入电压为U的加速电场(初速度为零)，经过加速后从O点垂直边界MN进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打到照相底片上并被全部吸收，已知甲、乙两种离子的电荷量均为+q，质量分别为2m和m.不考虑离子间的相互作用.

(1)求甲、乙两种离子离开电场时的速度大小；

(2)求所有离子打在底片上距O孔的最远距离xm；

(4)加速电压恒定为U，但两种离子进入O孔时速度方向分布在y轴两侧各为θ的范围内，要使两种离子在底片上没有重叠，θ应小于多少？

图3

4 策略总结

4.1 基本方法，如图4所示.

图4

4.2 多变量问题的核心步骤

以最基本的质谱仪质谱仪模型为例，如图5所示.

图5

4.2.2 逐步叠加：通过控制变量的分析后，我们就要逐步叠加，如离子的质量m变大，落点往右侧移动，加速电压U变大，落点会进一步往右侧移动，但如果进入磁场的速度方向发生偏移，与y轴的夹角θ变大，则落点会往左侧移动，如此逐步叠加分析，明确题干中的临界条件.

4.2.3 综合分析：通过基本规律和数学方法(几何关系，三角函数等)的综合应用，联系临界条件等，联立方程求解.