同构视角下高考函数类试题求解策略——以2022年高考试题为例

许雯雯

(江苏省扬州大学数学科学学院 225009)

函数类试题作为高考中的高频考点，题型灵活多变 ,解题方法也往往不唯一，近年来更是与导数相结合常常坐镇高考数学的压轴地位.这类试题考查数学抽象、逻辑推理与数学运算等基本核心素养，试题有较好的区分度.无论试题如何变，背后通常都有不变的元素以及解决问题的基本方法.本文从2022 年的部分函数类试题出发,探究与分析试题背景与命题意图,基于同构的视角探究解决该类问题的基本做法.

所谓同构原理,就是通过观察原式的代数特征，利用代数运算性质构造出统一的形式(同构的本质是结构相同)，进而构造函数，结合函数单调性直接转化为自变量的关系，从而使形式得到很大程度的化简.合理运用同构思想解题可以大大优化数学运算，简化推理步骤.同构往往涉及到指对数互化、整体换元与不等式放缩等过程，融合在比较大小、三角函数、不等式恒成立等问题中.

1 比较大小问题

比较大小是高中数学中常见的题型,近年来考查难度也逐渐上升.这类问题通常以不等式的基本性质为主要依据,涉及不等式、函数等多方面的数学知识及数学思想方法,具有涉及面广、立意新、角度新、解法灵活多样等特点,解决此类问题，需要对已知的关系式进行观察变形得到同构关系式，构造函数，利用函数单调性来比较大小，这类问题实质上考查了等价转化思想，是高考考查的重点.

例1 (2022年全国甲卷文科第12题)已知9m=10，a=10m-11，b=8m-9，则( ).

A.a>0>bB.a>b>0

C.b>a>0 D.b>0>a

思路1 不等式放缩.首先将9m=10写成对数形式，即m=log910，与1作比较，再将a与b写成含有9m的形式，利用m>1进行放缩，从而得到答案.

思路2 同构的思想.通过观察已有的三个式子的结构特点，将其化成同一形式，构造同构函数，再求导，利用函数的单调性求解.

解析此处重点阐述同构思想下的求解过程.

因为9m=10，所以m=log910>log99=1.

又因为a=10m-10-1，b=8m-8-1，0=9m-9-1，所以可设f(x)=xm-x-1(x>1).

则f′(x)=mxm-1-1>xm-1-1>0.

所以f(x)在(1,+∞)上单调递增.

所以f(10)>f(9)>f(8).即a>0>b.

故选A.

A.a

思路2同构法，仍然是两两比较的思路，通过对a,c和b,c作差，构造恰当的同构函数利用单调性比较出大小，而对a,b，通过同时扩大到原来的9倍，再观察出特征直接构造同构函数，利用单调性比出大小.

思路3泰勒公式法.对ex与ln(1+x)通过泰勒公式进行有限项的展开，计算出a,c的近似值，再与b进行比较，即可比较出三者大小.

解析此处阐述同构的方法.

首先比较a,c，作差有a-c=0.1e0.1+ln(1-0.1).

构造函数f(x)=xex+ln(1-x)，

知x∈(0,1)，f(0)=0.

令h(x)=(x2-1)ex+1，

求导有h′(x)=(x2+2x-1)ex.

于是h(x)

所以在x∈(0,0.1]时，f′(x)>0，f(x)单调递增，于是有f(0.1)>f(0)=0，即a-c>0，a>c.

其次比较a,b，可比较9a和9b的大小，

9a=(1-0.1)e0.1，9b=1=(1-0)e0，

因此构造函数f(x)=(1-x)ex，比较f(0.1)和f(0)即可.求导有f′(x)=-xex.

因为x∈(0,0.1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(0)>f(0.1)，于是9b>9a，即b>a.

因此可以设f(x)=x-ln(1+x)，有f(0)=0.

即b-c>0，故b>c.

综上，b>a>c，故选C.

评析从同构法的思路来看，将a,b,c进行两两比较时，只需稍加观察和变形，构造出同构式再进行作差，利用函数单调性可得到大小关系.

2 三角函数问题

三角函数是高考的必考题型之一，属于中档题.此类问题的情境创设通常简单新颖,设置方式多种多样，难度适中.由于三角公式众多,因此往往切入点不唯一,破解方法多种,对各层次学生能力的考查都有一定的体现,可以很好地考查学生的数学运算与逻辑推理能力,解决此类问题，除了从诱导公式入手，还可以通过观察，巧妙地将原式转化成同构式，构造函数，利用单调性求解.

思路1对原等式进行变形，将等式右边用二倍角公式进行转化，最后用两角和差公式得到cos(A+B)=sinB，最后根据C的范围确定sinB，由此求出B.

思路2利用同构思想，将等式两边构造成同一形式，利用同构函数及其单调性，得出A,B的关系，进而求解.

解析此处阐述同构法，原式可写成

令x1=sinA，x2=cos2B，有f(x1)=f(x2).

因为f(x)是单调递减的，所以x1=x2，

评析本题的巧妙之处在于，题目给的等式是长得很像的，因此可以考虑构造同构方程，根据sinA与cosA，sin2B与cos2B的关系，可以用同角三角函数的基本关系进行替换，因而不难构造出同构式，从而构造函数，利用函数单调性得到自变量之间的关系，从而再利用诱导公式以及三角关系进行转化.

3 不等式的恒成立问题

函数大题是高考必考题之一，并且往往与导数结合作为压轴题出现，属于难题，当中就有一类不等式恒成立问题，若采取常规方法处理，则会呈现运算量大，变形复杂等特点，此时若能通过合理变形，采用同构策略，则可以迅速化繁为简，揭示问题本质.

思路1直接对原函数求导，根据导数确定函数单调性及最值求解.

思路2通过构造同构函数，换元，再根据导数确定单调性，求解.

解析此处重点阐述同构的方法.

即ex-lnx+x-lnx≥a.

可知当x∈(0,1)时t′<0，t单调递减，x∈(1,+∞)时t′>0，t单调递增，x=1时t′=0，因此x=1时有tmin=1.

又因为et+t≥a，令q(t)=et+t(t≥1),

求导有q′(t)=et+1>0.

所以q(t)在[1,+∞)上单调递增.

于是有q(t)min=q(1)=e+1.所以a≤e+1.

点拨解决不等式恒成立问题主要有三个基本思路,一是通过研究函数的单调性确定函数在给定区间上的取值范围；二是将不等式拆分成两部分, 分别求其最大值与最小值进行比较；三是利用同构思想合理使用切线放缩进行证明.

通过上述例题，不难发现，同构视角下函数类试题的处理策略，可概括为三点：(1)通过观察与变形构造同构式；(2)利用函数的性质解题；(3)根据题意，进行解答.虽然看起来过程比较清晰简单，但是真正要使用同构进行解题，需要学生熟练、灵活地掌握代数运算性质，并能够对题目所给的式子进行观察，根据个人的做题情况进行归类与整理，形成同构的独到视角，那么同构的方法将会是高考数学解题的一大利器.