符号意识：直抵数学本质的教学——符号意识的本质内涵及培养策略

■段安阳，严微

数学发展到今天，已成为一个符号化的世界，符号就是数学存在的具体化身。《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：“符号意识主要是指能够感悟符号等数学功能。知道符号表达的现实意义，能够初步运用符号表示数量、关系和一般规律。符号意识是形成抽象能力和推理能力的经验基础。”[1]数学符号是数学学科特有的语言，具有表达形式简单、信息含量丰富的特点。数学符号在数学的方方面面都有使用，包括概念、运算、公式、推理等，它不仅能使数学思维过程更加准确、简洁，还能使得出的结论更具一般性，凸显数学抽象的本质。“如何培养小学生的符号意识”也成为越来越多教育工作者关注的话题。加强符号意识发展和培养，引领学生学会数学表达，用最数学化的符号系统直抵数学本质，能够引领更多的学生感悟数学的魅力。

一、符号意识的本质内涵

符号意识是学习者对所学数学知识与数学符号之间建立的对应关系的一种积极的心理认知活动。具备数学符号意识能帮助学生高效认知与理解，学生在对数学符号的感知与理解、运算与推理、交流与表达的同时，在运用数学思考方式解决数学问题的过程中，积累数学活动经验，历练数学核心素养。认知数学符号作为学生树立符号意识的基础，也是小学生数学思维提升的重点。“培养学生的符号意识” 这一目标始终贯穿在小学数学教学始终。数学符号是一种人为的数学规定，约定后得到认同，得以推广。它不仅是数学的语言，也是数学的工具，更是数学的方法。

数学符号的产生和发展对整个数学史起到了巨大的推动作用。可以说，数学发展史就是“数学符号意识”的产生和发展的历史，通过“数学符号意识”的培养，可以使学生的数学思维过程更加精确、概括与简洁，也更容易揭示数学本质。从心理学角度来看，符号意识是学习者在感知、认识、运用数学符号时的一种积极的认知心理倾向[2]。符号感与符号意识既有区别又有联系，符号感倾向于学生借助直觉和经验，运用数学符号进行数学表达和进行数学思考；而符号意识侧重于让学生自发主动地把现实问题符号化，运用数学符号解决问题。因此，培养学生的符号意识有助于其更本质、更高阶的数学核心素养的形成。

二、培养符号意识的价值意义

在新课标新理念引领下，符号意识被赋予了新的教育内涵，在学生数学符号化学习进程中，学生的高阶思维能力得到培养，数学本质更加凸显，有利于培养学生的数学核心素养。

（一）培养符号意识有利于学生理解数学本质

数学符号简洁明了， 但其高度的抽象概括性，使得很多学生对数学符号记忆模糊， 无法灵活运用。因此，加强符号意识的培养能帮助学生准确识记、理解并应用这些符号，提高学生的抽象思维能力和逻辑思维能力，为后续学习打下坚实的基础。相较于文字语言，数学符号的表达更加简洁、准确、深刻。如果学生在数学学习的过程中建立了较好的符号意识，那么他在解决问题的过程中就可以把具体问题转化为符号，再对符号进行操作，得到高度统一、高度概括的结论。这样就更接近数学问题的核心本质，促进深度学习的真正发生。

（二）培养符号意识有利于学生感悟数学之美

多数学生认为，“美”存在于美术、音乐等学科中，而数学往往与美无关。这其实是对数学的本质缺乏真正的了解和认识。数学符号作为数学语言的重要组成部分，完美地阐释了数学的统一美、简洁美、对称美[3]。因此，有效培养学生的符号意识，可以促进学生在数学学习与运用中体会到数学的美，领悟到数学的魅力。

（三）培养符号意识有利于学生形成核心素养

符号意识作为数学核心素养的主要表现之一，与数感、量感等紧密相连。由此可以看出，新课标中的符号意识， 不仅仅局限于数学知识和技能的获得，它更强调学生在符号学习的过程中，逐步提升综合思维能力，加深对数学核心本质的理解。教师在实际教学中，不但要关注学生对数学符号知识的掌握情况，还要努力提升他们自发主动地应用符号去解决问题的能力，加深对数学本质的理解。

三、构建符号意识的培养策略

符号意识是隐性思维和显性思维的和谐统一。符号意识的培养要强化从具体的生活情境中辨别符号信息，积极主动地建立起具体事物和数学符号之间的对应关系。

（一）挖掘生活经验，唤醒符号意识

小学生以直观形象思维为主，而数学符号是抽象概括的，如果按照传统的讲授法，把符号意识强加给学生，不但教学效果不明显，而且会减弱学生的学习兴趣。其实，我们本身就生活在一个符号化世界中。例如，路口有标志“ ”，表示禁止驶入；公路上有标志“ ！ ”，表示注意危险；货车上的“5t”表示限重5 吨；“KFC” 表示肯德基，“M” 表示麦当劳……并且，在进入小学之前，学生就已经在接触数学符号了。比如，玩具积木中的三角形、正方形、长方形、圆形等图形符号，认知卡片中的1、2、3、4 等数字符号，幼儿园老师口中的“+”“-”等运算符号……在教学中， 教师应充分利用这些已有的经验，引导学生走进数学符号的世界,唤醒他们的符号意识。例如，在教学“用字母表示数”时，可以利用扑克牌引入：“同学们，你们认识扑克牌吗？”当屏幕出示2-10 的扑克牌时，教师可以提问：“后面还有吗？”学生基于生活经验，会回答：“还有J，Q，K。”教师还可以追问：“你在玩扑克牌时，9 和J, 哪个大？为什么？”这样就自然地引出J 代表11。然后教师可以板书课题——用字母表示数。

通过挖掘学生身边的符号经验，去唤醒学生的符号意识，不仅加深了学生对数学符号的理解，还让他们获得了学习的乐趣，增加了学习的动力。

（二）了解符号历史，建立符号意识

每一个数学符号的诞生和发展，其背后都凝聚着人类辛勤的努力和无穷的智慧。教师在教学中，要适当地渗透符号的历史，让学生了解数学符号的产生、运用和推广的过程，从而建立符号意识。例如，在教学“乘法的初步认识”时，在教师引入乘号后，可以给学生介绍一下乘号的历史：“1631年，英国数学家奥特雷德在他编著的《数学之钥》中，创造了150 多种符号，但是很多都被淘汰了，乘号是极少数被留存下来的符号之一。你知道为什么乘号能幸存下来吗？你们看，‘×’可以看作是由‘+’斜过来写的，这说明乘法与加法有联系。”再如，在教学“除法的初步认识”时，教师也可以渗透一下除号的发展史：“早期，‘÷’是作为减号在欧洲长期流行的。直到1631年，英国数学家奥屈特用‘∶’表示除或者比。另外，还有人用‘-’（除线）表示除。1659年，瑞士数学家拉恩在他的《代数》一书中首先使用‘÷’来表示除法。‘÷’用一条横线把两个圆点分开，恰好表示平均分的意思。”在这样的讲解下，学生对“×”和“÷”的本质含义会有更加深刻的认识，从而在一些复杂的情境中，他们能够快速准确地判断出使用哪一种符号。

通过讲解数学符号的历史，学生可以切实感受到数学符号产生的意义和丰富的内涵，符号意识也在潜移默化中逐渐建立起来了。

（三）解决实际问题，发展符号意识

解决问题是小学数学中极其重要的一环，也是把数学知识与生活问题联系起来的纽带。在这个过程中，学生需要用数学的眼光去观察现实世界，用数学的思维去思考现实世界，用数学的语言去表达现实世界。数学语言，指的就是数学符号系统。因此，让学生经历解决实际问题的过程是强化符号运用，发展符号意识，发现数学本质的重要途径。例如，在教学“搭配”这一课时，教师提出问题：“2 件上装和3 件下装，每次上装和下装只能各穿1 件，一共有多少种穿法？”接下来，可以让学生选择自己喜欢的方式解决问题——摆一摆，画一画，算一算（如图1）。

图1

虽然学生没有接受过“乘法原理”的专题训练，但是通过把具体实物符号化，运用符号进行数学表达和数学思考，他们也可以找到具体的思路。并且，通过符号的运用，学生也体会到了此类问题的数学模型和核心本质，即“若上装有m 件，下装有n 件，每次上装和下装只能各穿1 件， 则一共有m·n 种搭配方法”。

通过经历解决问题的全过程，学生积累了运用数学符号的活动经验，领悟了蕴含核心本质的数学思想，他们的符号意识得到了发展。

（四）创造数学符号，深化符号意识

符号意识的最高境界就是能根据现实情境，积极主动地去创造数学符号，解决相关问题。数学问题通常是以文字叙述呈现的，学生分析起来比较吃力， 这时候如果能把复杂的文字转化为简明的符号，那么就可以简化思维过程，找到问题本质。例如，在教学三年级下册“位置与方向”这一单元时，有这样一道题目：早晨，芳芳坐车上学。她面朝前坐着，发现太阳在右边，这时汽车向哪一面开？对于三年级的学生来说，如果直接通过字面上的意思来解题，学生分析起来比较困难，容易出错。教师可以引导学生将文字用合适的图形符号表示出来 （如图2）：用小圆点表示芳芳，箭头所指的方向就是芳芳面朝的方向，红圆代表太阳。通过这样的转化，学生能很快找到解题的方法。

图2

在数学学习中，学生会遇到各种各样需要符号化的问题，这时候教师要积极地去启发学生的创造力，引导他们创造出简明实用的符号去解决有关的问题，同时让其感受符号的独特魅力，深化学生的符号意识。

四、揭秘符号意识的教学建议

布鲁纳在《教学论》中指出，任何领域的知识都可以用三种方式来表示：用于达到某个结果的一组正确动作（动作性表征）；用一组简要图形或图表来代表着未充分定义的概念（映像性表征）；源于符号系统，在形成和转换命题时受一定规则和规律制约的一组符号或逻辑命题（符号性表征）[4]。动作性表征经过抽象概括转换为映像性表征，映像性表征经过二次抽象和二次概括转换为符号性表征。在培养学生符号意识的过程中，教师要处理好这三种表征之间的关系。

（一）处理好动作性表征与符号性表征的关系

小学生通过动手操作来积累经验是他们获取知识的重要途径。如果符号学习缺乏实际操作经验的依托，那么数学符号在学生心目中只会越来越抽象，学生对符号的理解也只是停留于表面，更谈不上应用符号去解决问题。因此，教师要根据学生的智力发展水平，进行适度的符号化教学。在解决“一条船最多坐4 人，14 人至少需要几条船” 这一问题时，有的学生可能会通过实际“排列”找到答案；有的学生可能会用圆片表示船，用小棒表示人，然后通过操作找到答案；还有的学生可能会在白纸上画图，用椭圆表示船，用竖线表示人，找到答案；当然，也有的学生会通过算式求得结果。由此可见，符号感的发展需要坚实的经验基础， 在教学中应促进学生在交流分享的过程中积累经验，学习符号化的多种途径，逐步体会用数、形将实际问题“符号化”的优越性。

（二）处理好映像性表征与符号性表征的关系

映像性表征和符号性表征在很多时候都是相辅相成的。在解决问题的过程中，人们往往先通过画图理解题意，然后运用符号去运算、推理，得到一般性的结论。因此，教师在日常教学中，要渗透数形结合的意识，千万不能把映像性表征和符号性表征割裂开来。初入学的儿童在学习10 以内的数时，例如，教学“认数6”，就要通过实物、画片，在具体情境中数出“6”个人、“6”棵树、“6”只鸟、“6”朵花……它们的数量都是“6”，我们可以用“6”个圆片来表示6 个人、6 棵树、6 只鸟、6 朵花，还可以用数字“6”来表示。这就是对数量进行“符号化”。当我们看到数字“6”时，就会和数量是6 的具体实物联系起来。让学生摆出6 根小棒，拨出6 颗珠子，击掌6 下，理解数字6 的实际含义。当学生理解了数字6 的实际含义后，进一步扩大其外延，数字6 还可以表示顺序，如同学们排成一横队时，从左往右数，小红在第6；数字6 还可以表示代号，如国安队6 号队员是×××。

（三）处理好多种符号表征之间的关系

深度学习要求学生不仅要会“用”符号，还要“懂”符号，而“懂”符号的一个最主要表现就是能在多样化的符号性表征中进行转换。例如，教师可以引导学生用语言、表格、图像、关系式等多种符号性表征来表示同一个数量关系，让学生体会到符号表达的多样性，加深对符号的理解。鼓励学生用自己独特的方式表示具体情境中的数量关系和变化规律。学生在生活中会接触很多用符号表示的情境，如上公共厕所，见到标志上画的是男士，表示是男厕所，标志上画的是女士，表示是女厕所。我们要充分利用学生生活中潜藏的“符号意识”，给学生提供机会，让学生经历“从具体事物——学生个性化的符号表示——学会数学地表示”这一逐步符号化的过程。再如，引进用字母表示数、数量关系和变化规律的基础。用符号表示具体情境中的数量关系，也像普通语言一样，首先要引进基本字母。在数学语言中，像数字以及表示数字的字母、表示点的字母、运算符号、关系符号等，都是用数学语言刻画各种现实问题的基础。

符号意识是小学数学核心素养主要表现之一，也是培养学生抽象思维的重要一环。在教学中，教师要先厘清符号意识的本质内涵，再根据学生的认知基础和生活经验，渗透符号意识，并通过让学生了解符号历史和解决实际问题，不断发展他们对符号的识记、理解、应用和创新能力，从而让教学直抵数学的核心本质，为培养学生的数学素养和全面人格服务。