非齐型度量测度空间上Calder´on-Zygmund算子与Campanato函数的交换子

姜伟伟,赵凯

(1.青岛黄海学院大数据学院,山东 青岛 266427;2.青岛大学数学与统计学院,山东 青岛 266071)

1.引言

虽然双倍条件在实调和分析中是非常重要的,但许多作者在非双倍条件下得到了Rn上函数空间理论以及奇异积分算子有界性理论的相应结论.[1−5]2010年,Hytnen在文[6]中引入了一类既满足上双倍条件又满足几何双倍条件的非齐型度量测度空间,这类空间同时包含了文[7]的齐型空间和文[2]的非双倍测度空间.此后,文[8-10]的作者研究了非齐型度量测度空间上的Hardy空间和一些等价刻画,并讨论了几类奇异积分算子的有界性等.一些关于非齐型度量测度空间的结论以及奇异积分算子在其上的有界性问题被许多作者关注.[11−15]

上世纪九十年代始,Herz型空间理论及其上许多奇异积分算子的有界性问题得到了迅速发展.[16−20]2018年,作者在文[21]中引进了非齐型度量测度空间上的Herz空间和Herz型Hardy空间,并讨论了一些等价刻画、以及Calder´on-Zygmund算子的有界性.自然的问题是继续探讨Calder´on-Zygmund算子与某些函数构成的交换子的有界性问题,基于此,又因为Campanato空间的特别情形包含了Lebesgue空间、RBMO空间和Lipschitz函数空间,本文主要讨论非齐型度量测度空间上Calder´on-Zygmund算子与Campanato空间中函数生成的交换子在非齐型度量测度空间上Herz空间和Herz型Hardy空间的有界性,得到了Calder´on-Zygmund算子与Campanato函数生成的交换子在非齐型度量测度空间上Herz空间和Herz型Hardy空间的有界性结果.

2.基本概念和引理

定义2.1[6]如果µ是X上的Borel测度,并存在一个控制函数λ:X ×(0,∞)→(0,∞),使得对每一个x ∈X,λ(x,r)关于r都单调不减,且存在一个依赖于λ的正常数C(λ),使得对任意的x ∈X和r ∈(0,∞),有

则称度量测度空间(X,d,µ)是上双倍的.记ν=log2C(λ).

(i) suppb ⊂B(x0,r),r >0,其中B(x0,r)={x ∈X:d(x0,x)

非齐型度量测度空间上齐次Herz空间的分解定理是下面的结果.

作者在文[21]中引进了Herz型Hardy空间,并给出了其分解.

定义2.8[21]设(X,d,µ)是一个非齐型度量测度空间,0

非齐型度量测度空间上的Calder´on-Zygmund算子定义如下.

定义2.12[11]如果存在一个正常数C(K),使得

引理2.6[11]假设(X,d,µ)是一个非齐型度量测度空间,T是一个Calder´on-Zygmund算子,则以下三个条件是等价的: (i)T在L2(µ)上是有界的;(ii) 对于q >1,T在Lq(µ)上是有界的;(iii)T是L1(µ)到弱-L1(µ)有界的.

3.主要结果及证明

本文的主要结果是两个定理.

这样,当0

当1

对于I1,注意到j ≤ l −2,x ∈ Cl,y ∈ Bj,则x ∈ X 2Bj,意味着λ(x,d(x,y))∼λ(x0,d(x,x0)).因此,由式(2.4)知

同样,当0

当1

至此,定理3.1证毕.

其中c4是不依赖于b和k的正常数.

这就完成了定理3.2的证明.