二维Navier-Stokes-Cahn-Hilliard系统光滑解的全局存在性和L2衰减估计

刘烨芳,滕凯民

(太原理工大学数学学院,山西 晋中 030600)

1.引言

本文研究如下的二维Navier-Stokes-Cahn-Hilliard系统

其中u(x,t)=(u1(x,t),u2(x,t)表示平均速度,φ=φ(x,t)是与两个流体浓度差有关的参数,P表示压力,该系统起源于两相流扩散界面模型[9]

其中g是与时间无关的外力,ν是正常数,κ ≥0是与流体的毛细管应力有关的正常数,µ表示混合物的化学势并且

特别地,取

则系统(1.2)简化为系统(1.1).本文我们赋予该系统初值条件

以及远场行为

近几年来,Navier-Stokes-Cahn-Hilliard系统在不同背景假设下已经被许多数学工作者做了大量的研究.[9−10,13,20]例如,文[6]中,在初始密度ρ0有正下界的假设下,DING和LI 考虑了一维有界域中可压缩Navier-Stokes-Cahn-Hilliard方程,在粘性系数ν依赖于浓度φ的情况下,假设ρ0∈H3证明了强解的局部存在性及唯一性;在粘性系数ν=1 的情况下,分别假设ρ0∈C3,α,ρ0∈H1,ρ0∈H2,依次证明了该系统经典解、弱解和强解的全局存在性.Abels在文[1]中研究了二维有界区域中具有光滑边界

的不可压缩Navier-Stokes-Cahn-Hilliard系统,取

假设u0∈H1(Ω)且divu0=0,φ0∈H2(Ω)且‖φ0‖L∞≤1,通过利用标准的伽辽金逼近方法,证明了该系统全局强解的存在性和唯一性.Gal和Grasselli在文[9]中,令

而言,当迁移率参数ρ0和粘性系数ν是常数时,存在常数M >0及α>0使得

其中(ue,φe)是Navier-Stokes-Cahn-Hilliard系统的稳定解,即证明了该系统的稳定解是指数型衰减的.文[11]中,HE和WU研究了光滑有界区域Ω ⊂R2中Navier-Stokes-Cahn-Hilliard系统的初边值问题.假设u0∈H1(Ω),φ0∈H2(Ω)且divu0=0,通过利用伽辽金逼近方法,证明了该系统强解的适定性.此外作者还证明了能量范数中强解对初始数据的连续依赖性以及全局弱解的正则性.Deugoué和Medjo在文[8]中研究了三维有界区域Ω中具有光滑Dirichlet边界

以及初始条件

的Cahn-Hilliard-Navier-Stokes系统.首先利用Riesz定理,Brouwer不动点定理以及不等式技巧证明了该系统稳定解的存在性和唯一性.之后证明了弱解指数型收敛到稳定解,即存在常数M0(‖u0‖L2,‖φ0‖L2)>0及实数η ∈(0,ρ),使得

在文[2]中,Depner和Abels取

通过利用能量估计的方法,证明了二、三维有界区域中具有衰退流动性不可压缩Navier-Stokes-Cahn-Hilliard方程弱解的存在性.在文[20]中,ZHAO和WU考虑了具有相同密度的两个粘性不可压缩牛顿流体Navier-Stokes-Cahn-Hilliard系统,满足初值条件

以及边界条件

当ν,ρ0适当大时,通过利用标准的伽辽金逼近方法,证明了在三维情况下该系统全局强解的存在性.此外,用′Lojasiewicz-Simon方法得到了二维和三维有界区域中,当时间t →+∞时,全局强解收敛到一个稳定状态,之后通过利用一些能量估计以及构造微分不等式的方法证明了对于高低阶范数而言这个收敛率都是成立的.Deugoué等人在文[7]中令双肼势

研究了具有剪切粘度的三维随机非局部区域中的Navier-Stokes-Cahn-Hilliard系统,当p ∈]时,结合伽辽金逼近方法,紧性原理以及单调性证明了弱解的全局存在性.之后利用不等式的方法证明了当时间t →+∞时弱解的大时间行为

其中C依赖于‖u0‖L2和‖φ0‖L2,且b ∈(0,θ).文[19]中,ZHAO在(u0,φ0)∈H1(R3),(u0,φ0)∈HN(R3)×HN+1(R3)的假设下,用能量估计方法证明了三维Navier-Stokes-Cahn-Hilliard系统柯西问题强解的局部适定性以及在临界空间中经典解的全局适定性,之后用基本不等式方法得出了解的高阶空间导数的最优衰减率

其中k=0,1,···,N −1.

受文[4-5]的启发,本文我们利用传统的能量估计方法证明系统(1.1)柯西问题光滑解的存在性及唯一性.此外,采用Schonbek在上个世纪90年代发展的Fourier分离方法[15−18],研究系统(1.1)光滑解及其高阶空间导数的L2-衰减估计.主要困难在于Cahn-Hilliard方程中的双调和项∆2ϕ.为了克服上述困难,我们大量借助了不等式的技巧得到本文所需要的估计.

我们的主要结果陈述如下:

定理1.1假设s ∈N是正整数,(u0,φ0)∈Hs(R2)×Hs(R2),满足divu0=0.那么系统(1.1)存在唯一的全局光滑解(u(x,t),φ(x,t)),满足对于∀T >0,有

其中C >0是只与u0,φ0有关的常数.

定理1.2假设u0∈Hs(R2)∩L1(R2),φ0∈Hs(R2)∩L1(R2),∇φ0∈Hs(R2)∩L1(R2),∇u0∈Hs(R2)∩L1(R2),且divu0=0,则系统(1.1)的光滑解(u(x,t),φ(x,t))满足下列L2-衰减估计:

其中常数C仅依赖于‖u0‖L1,‖φ0‖L1,‖∇φ0‖L1,‖∇u0‖L1,‖u0‖H2,‖φ0‖H2.

定理1.3假设u0∈Hs(R2)∩L1(R2),φ0∈Hs(R2)∩L1(R2),∇φ0∈L1(R2),∇u0∈L1(R2),且divu0=0,其中s >1且s ∈N是正整数,则系统(1.1)的光滑解(u(x,t),φ(x,t))满足下列L2-衰减估计:

其中常数C仅依赖于‖u0‖L1,‖φ0‖L1,‖∇φ0‖L1,‖∇u0‖L1,‖u0‖Hs,‖φ0‖Hs.

本文中,我们将使用如下的一些符号:

本文的结构安排如下: 第二节我们将给出一些先验估计并且证明了系统(1.1)全局光滑解的存在性以及唯一性.第三节利用Fourier分离方法给出了光滑解及其梯度的L2-衰减估计.第四节同样利用Fourier分离方法给出了光滑解高阶空间导数的L2-衰减估计.

2.全局正则性

引理2.1[14](Gagliardo-Nirenberg不等式) 令0≤l,α ≤m,n ∈N是维数,则有

其中θ ∈[0,1]且满足

当p=∞时,要求0<θ <1.

引理2.2[12](Kato-Ponce不等式) 令00.则存在一个正常数C满足

其中p2,q1∈(1,∞),p1,q2∈[1,∞]满足

定理1.1的证明本质上由下面的先验估计可推导出,下面我们只给出先验估计,存在性可通过标准的证明方法得到,省略.

定理1.1的证明对系统(1.1)第一个方程左右同乘u,第三个方程的左右同乘φ,分别在R2上积分,利用分部积分,得

对系统(1.1)第三个方程的左右同乘∆φ,在R2上积分,得

在上式两端关于时间t>0积分,可得

对系统(1.1)第一个方程左右同乘∆u,第三个方程的左右同乘∆2φ,在R2上积分,由(2.2),Hlder不等式,Cauchy不等式和Gagliardo-Nirenberg不等式,得

接下来我们估计Ii(i=1,2,3).

在上式两端关于时间t>0积分,可得

利用Gronwall不等式,得

联合(2.2)(2.3),得

下面作高阶估计.算子Λs(其中s>1)作用于系统(1.1)第一个方程和第三个方程,分别左右同乘Λsu和Λsφ,并在R2上积分,得

接下来分别估计Ji(i=1,2,3,4).由(2.4),利用Hlder不等式,Cauchy不等式,Gagliardo-Nirenberg不等式和Kato-Ponce不等式,得

因此,联合(2.5)-(2.8),推得

利用Gronwall不等式,根据(2.4),得

把(2.4)和(2.10)相加,得

其中C >0是只与u0和φ0有关的常数.

下证唯一性.

利用分部积分,得

下面分别估计Ki(i=1,2,3,4): 利用Hlder不等式,Cauchy不等式,Gagliardo-Nirenberg不等式和Kato-Ponce不等式,计算得

联合上面四个估计,推得

对上式利用Gronwall不等式,得

因此u1=u2,φ1=φ2,唯一性得证.

3.衰减性

下面我们假设系统(1.1)的光滑解u(x,t)和φ(x,t)在无穷远处满足消失性质.下面的推导都是形式上成立,可通过逼近解方法和取极限获得严格的证明.

引理3.1假设φ0∈L1(R2),则有下列估计成立

证 对(1.1)的第三个方程的空间变量x取傅里叶变换,得

结论得证.

引理3.2假设u0∈L1(R2),则有下列估计成立

证对(1.1)的第一个方程的空间变量x取傅里叶变换,得

解上述常微分方程初值问题,有

利用Fourier变换的性质以及Cauchy不等式,得

对(1.1)的第一个方程的空间变量x取散度,得

对上式取Fourier变换,由(3.5)(3.6)(3.7),推得

上式蕴含

因此,联合上面四个估计,可得

代入(3.4),计算得

结论得证.

引理3.3假设∇φ0∈L1(R2),则有下列估计成立

证对(1.1)的第三个方程求∇,得

对上式的空间变量x取傅里叶变换,利用数量函数∇和∆可交换的性质,得

联合上述两个不等式,推得

由(3.10),得

结论得证.

结合引理3.1-3.3,可得

对上述方程的空间变量x取傅里叶变换,得

联合上面四个不等式,推得

结论得证.

定理1.2的证明由(2.1),可得

利用Plancherel定理,得

设f(t)是关于t ≥0的连续可微函数,满足f(0)=1,f(t)≥1,f′(t)>0,∀t >0.在上式左右同乘f(t),可得

根据(3.15)以及球坐标变换,得

最后,我们估计∇u的L2-衰减估计.对系统(1.1)的第一个方程左右同乘∆u,并在R2上积分,利用∫R2u·∇u·∆udx,得

利用Plancherel 定理,得

上式左右同乘(t+1)2,得

根据引理3.4与(3.18),可推得

上式两端关于t>0积分,利用Hlder不等式,可得

综上,定理1.2得证.

4.高阶空间导数的衰减

定理1.3的证明将算子Λs(其中s >1且s ∈N)作用于系统(1.1)的第一个方程和第三个方程,分别左右同乘Λsu和Λsφ,并在R2上积分,得

接下来分别估计Mi(i=1,2,3,4): 由(2.4),利用Hlder不等式,Cauchy不等式,Gagliardo-Nirenberg不等式和Kato-Ponce不等式,得

因此,联合上面四个估计,推得

根据定理1.2结果,推得

上式左右同乘(t+1)p,得

关于时间t>0积分,得

下面利用数学归纳法验证结论.

假设s=m ∈N时,下述结果成立

当s=(m+1)∈N时

综上所述,对于∀s>1且s ∈N,下述结果成立

定理1.3得证.